6.3 反比例函数的应用同步练习

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6.3 反比例函数的应用同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
2. （1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．若长方形的长为，宽为，面积为10，则与的函数关系用图象表示大致为（ ）
A. B. C. D.
2．已知面积为2的三角形ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（如图所示）（ ）
A. B. C. D.
3．当温度不变时，某气球内的气压p(kPa)与气体体积V(m3)的函数关系如图所示，已知当气球内的气压p＞120 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积V应(　　)
A. 不大于m3 B. 大于m3 C. 不小于 m3 D. 小于m3
4．某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ）
A.16小时 B.小时 C.小时 D.17小时
5．今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（　　）
A. B. C. D.
6．在物理学中压力F，P与受力面积S的关系是：则下列描述中正确的是（ ）
A. 当压力F一定时，压强P是受力面积S的正比例函数
B. 当压强P一定时，压力F是受力面积S的反比例函数
C. 当受力面积S一定时，压强P是压力F的反比例函数
D. 当压力F一定时，压强P是受力面积S的反比例函数
7．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x之间的函数关系式是（　　）
A. y=（x取正整数） B. y= C. y= D. y=8000x
8．一定质量的干松木，当它的体积V＝2m3时，它的密度为ρ＝0.5×103kg/m3，且ρ与V成反比例，则ρ与V的函数关系式为( )
A. ρ＝1000V B. ρ＝V＋1000 C. ρ＝ D. ρ＝
9．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　）
A. EMBED Equation.DSMT4 B. C. D.
二、填空题
10．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为.如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为_____．
11．己知蓄电池的电压为定值．使用蓄电池时，测出每一组电流（单位：）和电阻（单位：），如下表，发现电流是关于电阻的函数，则电流与电阻之间的函数关系式是__________．
电阻（单位：）
电流（单位：）
12．一司机驾汽车从甲地去乙地，以80km/h的平均速度用4h到达目的地．当他按原路返回时，汽车的速度v(km/h)与时间t(h)之间的函数关系式是_________.
13．某村利用秋冬季节兴修水利，计划请运输公司用90～150天（含90与150天）完成总量300万米3的土石方运送，设运输公司完成任务所需的时间为y（单位：天），平均每天运输土石方量为x（单位：万米3），请写出y关于x的函数关系式并给出自变量x的取值范围_____．
14．如图所示是一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数关系图象，若要5小时排完水池中的水，则每小时的排水量应为________m3.
15．某小区要种植一个面积为3500m2的矩形草坪，已知草坪的长y（m）随宽x（m）的变化而变化，可用函数的表达式表示为（____）
三、解答题
16．在温度不变的条件下，一定量的气体的压强p (Pa)与它的体积V(m3)成反比例函数.已知当V=200m3时，p=50 Pa.
（1）求出V与p的函数表达式；
（2）当V=100m3时，求p的值.
17．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求一般成人喝半斤低度白酒后， 与之间的两个函数关系式及相应的自变量 取值范围；
（2）依据人的生理数据显示，当≥80时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少小时？
18．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光明且温度为18℃的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=15时，大棚内的温度约为多少度？
19．为了筹款支持希望工程，某“爱心”小组决定利用暑假销售一批进价为10元的小商品，为寻求合适的销售价格，他们进行了试销，试销情况如表：
　第1天 第2天　 　第3天 　第4天 ……
　日单价x（元） 　20 　30 　40 　50 ……
　日量y（个） 　30 　20 　15 　12 ……
（1）若y是x的反比例函数，请求出这个函数关系式；
（2）若该小组计划每天的销售利润为450元，则其单价应为多少元？
20．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且大棚内温度为20℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭后大棚内温度y（单位：℃）随光照时间x（单位：h）变化的大致图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）这天恒温系统在保持大棚内温度20℃的时间有 h；
（2）求k的值；
（3）当x=16 h时，大棚内的温度约为多少℃？
21．一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）“E”图案的面积是多少？
（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围．
22．水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天
售价x(元/千克) 400 250 240 200 150 125 120
销售量y(千克) 30 40 48 60 80 96 100
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．
（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
23．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；
（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？
参考答案
1．C
【解析】分析: 首先由矩形的面积公式，得出它的长x与宽y之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．注意本题中自变量x的取值范围．
详解: ∵矩形的长为x，宽为y，面积为10，
∴xy＝10，
∴y与x之间的函数关系式为y＝ (x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．
故选：C．
点睛: 本题考查了反比例函数的应用以及反比例函数的图象与性质，反比例函数y＝kx的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
2．C
【解析】∵xy=2
∴y=(x>0,y>0)
故选：C.
点睛：此题考查了反比例函数的图象及应用.由△ABC的面积及一边长为x，这边上的高为y可得关系式，即2=xy，y=（x＞0）．根据反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限，因为x＞0，所以其图象在第一象限，即可得出答案．
3．C
【解析】因为函数图象是双曲线的一条分支，且过点（1.6，60），所以k=1.6×60=96，则，所以，则，故选C.
4．C
【解析】由题意和图可知：线段和曲线都过点(1，4)，
∴，
∴，
当时，有，
解得：和，
∵，
∴服一次药的有效治疗时间为小时.
故选C
点睛：（1）服药后血液中含药量随时间变化而变化的关系是分段函数，需根据已知条件分别求出两段函数的解析式；（2）根据两段函数的解析式求出与y=0.25所对应的t的值，两个t的值的差的绝对值就是所求的有效治疗时间.
5．C
【解析】由题意可得：y= ．故选C．
6．D
【解析】试题解析：
A. 当压力F一定时，压强P是受力面积S的反比例函数，故错误.
B. 当压强P一定时，压力F是受力面积S的正比例函数，故错误.
C. 当受力面积S一定时，压强P是压力F的正比例函数,故错误.
D. 当压力F一定时，压强P是受力面积S的反比例函数，正确.
故选D.
7．A
【解析】由题意可知，后期分期付款总额为：12000-4000=8000（元），每个月的付款额为y（元），付款期数为x，
∴（x为正整数）.
故选A.
8．D
【解析】试题解析：根据物理知识得：
∵体积时,它的密度
故选D.
9．D
【解析】由题意可设，
∵该函数的图象过点（2，3），
∴，
∴该函数的表达式为： .
10．400
【解析】分析：把代入函数关系式为.求出的值即可.
详解：当时，
即近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为400.
故答案为：400.
点睛：考查反比例函数的定义，把自变量的值直接代入到函数关系式中计算，即可得到函数值；
11．
【解析】由表格得，即．
12．V＝
【解析】试题解析：∵一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了4小时到达乙地，那么路程为80×4=320千米，
∴汽车的速度v(千米/小时)与时间t(小时)的函数关系为
故答案为：
13．y=（2≤x≤）．
【解析】试题解析：
由题意得，
把y=90代入得
把y=150代入得，
所以自变量的取值范围为：
故答案为： （）．
14．9.6
【解析】由图可知中，蓄水池中的总水量是12×4=48m3，所以每小时的排水量为48÷5=9.6m3，故答案为9.6.
15．y=
【解析】由矩形面积=矩形长×矩形宽可得：，
∴.
故答案为：.
16．（1）；（2）p=100 Pa
【解析】分析：(1)根据反比例的定义求V与p的函数表达式，(2)根据函数关系代入求值.
详解：由反比例函数关系知，p=, V=200m3时，p=50 Pa,50=,k=10000,所以；
（2）当V=100m3时，
= Pa.
点睛：实际物理问题需要建立函数关系，如果满足反比例关系，就设出反比例函数，相当于建立数学模型，利用待定系数法求函数关系式,这个方法是研究数学，物理问题的常用方法.
17．（1） ；（2）2.0125（或）（小时）
【解析】分析: （1）首先根据题意，1.5小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）与成反比例，y与t的函数关系式为（a为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）把y＝80代入两个函数求得x值相减即可求得肝部被严重损伤持续时间．
详解:
（1）由题意，得
①当时，
设函数关系式为： ，
则，解得，
故，
②当时，
设函数关系式为： ，
则，解得 ，
故
综上所述：
（2）当时， 解得（或）
当时， 解得（或 ）
由图象可知，肝部被严重损伤持续时间（或
）（小时）
点睛: 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
18．（1）10小时；（2）k=216；（3）14.4℃．
【解析】试题分析：（1）根据图象直接得出保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（3）将x=15代入函数解析式求出y的值即可．
试题解析：解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时；
（2）∵点B（12，18）在双曲线y=上，∴18=，∴解得：k=216；
（3）当x=15时，y==14.4，所以当x=15时，大棚内的温度约为14.4℃．
19．（1）函数关系式为y=；（2）若该小组计划每天的销售利润为450元，则其单价应为40元．
【解析】试题分析：（1）根据表格中x与y的值，确定出关系式，判断即可；
（2）根据利润=售价-进价表示出利润，由每天的销售利润为450元列出方程，求出方程的解即可得到结果．
试题解析：（1）由表中数据得：xy=600，
∴y=，
∴所求函数关系式为y=；
（2）由题意得（x﹣10）y=450，
把y=代入得：（x﹣10）=450，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的根，且符合题意，
所以若该小组计划每天的销售利润为450元，则其单价应为40元．
20．（1）8; （2）200;（3）12.5
【解析】整体分析：
(1)从点A到点B时的温度是20℃；(2)由点B的坐标求k值；(3)把x=16代入在(2)中求出的函数解析式中求解.
解：(1)10-2=8；
(2)∵B(10，20)，
∴k=10×20=200.
(3)由，当x=16时， =12.5.
答：当h时，大棚内的温度约为12.5℃.
21．（1）；（2）216；（3）cm．
【解析】【试题分析】（1）根据图像易知，y是x 的反比例函数，将（10,2）代入反比例函数解析式即可；
（2）“E”图案的面积等于正方形的面积减去2xy，即可；
（3）根据图像回答问题即可.
【试题解析】
（1）设函数关系式为，
∵函数图象经过（10，2） ∴
∴k=20， ∴
∵0＜x＜16，0＜y＜16，
∴0＜x＜16，0＜＜16，∴ ＜x＜16；
（2）∵ ∴xy=20，∴SE=S正=162﹣2×20=216；
（3）当x=6时，，
当x=12时，，
∴小矩形的长是6≤x≤12cm，小矩形宽的范围为cm．
【方法点睛】这是一道反比例函数的综合题，涉及求反比例函数解析式，根据自变量的额范围确定函数值的范围，或者根据函数值的范围求自变量的范围，通常通过数形结合来做.
22．（1） EMBED Equation.DSMT4 ，表格中填：300，50；（2）20天（3）最高不超过每千克60元。.
【解析】整体分析：
（1）根据表格中x，y的对应值确定x，y的函数关系式，补全表格；（2）分别求出8天后剩余的产品数量及第8天的产品价格；（3）确定继续销售15天后的产品数量，求出后2天每天的销售量，即可求解.
（1）∵xy=12000，
∴反比例函数的解析式y＝.
当y=40时，x==300；
当x=240时y==50.
（2）销售8天后剩下的数量2104-（30+40+48+50+60+80+96+100）=1600，
当x=150时，y＝=80，
∴1600÷80=20天，
∴余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．
（3）1600-80×15=400千克，
400÷2=200千克/天，
即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克．
当y=200时，x＝=60.
所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务．
23．（1）AB解析式为：y1=2x+30（0≤x≤10），曲线CD的解析式为：y2=（x≥44）；（2）完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟
【解析】分析：(1)、利用待定系数法分别求出函数解析式；(2)、将y=40分别代入两个函数解析式分别求出x的值，然后进行做差得出答案．
详解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+30， 把B（10，50）代入得，k1=2，
∴AB解析式为：y1=2x+30（0≤x≤10）． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（44，50）代入得，k2=2200， ∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥44）；
（2）将y=40代入y1=2x+30得：2x+30=40，解得：x=5，
将y=40代入y2=得：x=55． 55﹣5=50．
所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．
点睛：本题主要考查的就是函数图像的基本应用问题，属于基础题型．求函数解析式的时候我们用的就是待定系数法，在设函数关系式的时候一定要正确．
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