1.2 二次函数的图象（1）同步作业

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1.2 二次函数的图象（1）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（）
A. ±2 B. －2 C. 2 D. 3
2．抛物线y=﹣x2不具有的性质是（　　）
A. 对称轴是y轴
B. 开口向下
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小
D. 顶点坐标是（0，0）
3．对于函数，下列结论正确的是 (　　)
A. 随的增大而增大 B. 图象开口向下
C. 图象关于轴对称 D. 无论取何值， 的值总是正的
4．已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0
5．下列抛物线中，开口最大的是（　　）
A. y= B. C. y ＝－ x 2 D. y=-
6．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
7．在同一坐标系中，抛物线， ， 的共同特点是（　 ）
A. 关于y轴对称，开口向上
B. 关于y轴对称，y随x增大而减小
C. 关于y轴对称，y随x增大而增大
D. 关于y轴对称，顶点在原点
8．下列说法中错误的是( )
A ．在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0
B．在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
C．抛物线y＝2x2，y＝－x2，中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口最大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点
9．如果抛物线 的开口向上，那么m的取值范围是 （ ）
A. m>1 B. m≥1 C. m＜1 D. m≤1
10．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，－1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A. a≤－1或a≥2 B. ≤a≤2 C. －1≤a＜0或1＜a≤ D. －1≤a＜0或0＜a≤2
二、填空题
11．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．
12．抛物线y=x2，y=﹣2x2，y=﹣x2中开口最大的抛物线是___________ .
13．已知二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是______ ．
14．请写出一个开口向上，并且与y轴的交点为（0，0）的抛物线解析式是__________．
15．函数y=2x2的图象对称轴是______，顶点坐标是______.
16．抛物线y＝－0.35x2的开口向下，顶点坐标为____，对称轴是y轴；当x＝0时，y有最大值(填“大”或“小”)，这个值为_____．
三、解答题
17．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
18．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
19．已知点A（2，a）在抛物线y=x2上
（1）求A点的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由．
20．已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)．
(1)求a的值；
(2)当x＝3时，求y的值；
(3)说出此二次函数的三条性质．
21．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
参考答案
3．C
【解析】∵在函数中， ，
∴该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，
∴该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0.
综上所述，上述结论中只有C是正确的，其余三个结论都是错误的.
故选C.
4．C
【解析】∵抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴是y轴，
∴A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，且当x=0时，y=0，
∴0故选C．
点睛：在二次函数中，（1）当时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；（2）当时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大.
5．D
【解析】抛物线y＝ax 2 ，| a |越小，抛物线的开口越大．
∵
∴
∴y=-开口最大.
故选：D.
6．A
【解析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：
.
故选A.
点睛：（1）二次函数的图象的开口方向由“的符号”确定，当时，图象的开口向上，当时，图象的开口向下；（2）二次函数的图象的开口大小由的大小确定，当越大时，图象的开口越小.
7．D
【解析】解：∵函数y=2x2，y=x2，y=x2中，a取值范围分别为：a＞0，a＞0，a＜0，∴抛物线的开口方向分别为：向上、向上、向下，即开口方向不同；
由函数y=2x2，y=x2，y=x2的解析式可知：顶点坐标都为（0，0）；
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故选D．
8．C
【解析】由函数的解析式y＝－x2，可知a=-1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故A正确；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B正确；
根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的值越大开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而开口最大，故不正确；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，正确.
故选：C.
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确y=ax2的图像的特点，直接按断即可.
9．A
【解析】因为抛物线y=(m 1)x 的开口向上，
所以m 1>0，即m>1，故m的取值范围是m>1.
故选A.
10．D
【解析】分析：分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a的取值范围即可.
详解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）
∴-1=a×12
∴a=-1
∴-1≤a<0
若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）
∴2=a×12
∴a=2
∴0∴a的取值范围是-1≤a<0或0故选B.
点睛：本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．
11． 向下 相同， (0，0) y轴．
【解析】解：抛物线y＝－2x2的开口方向是向下，它的形状与y＝2x2的形状相同，它的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
故答案为：向下；相同； （0，0） ；y轴．
12．
【解析】试题分析：抛物线的开口大小由|a|确定，先求每一个二次函数的|a|，再比较大小．
解：∵｜-2｜>|-1|>||，
∴抛物线的图象开口最大.
故答案为：.
13．m＜2
【解析】∵二次函数的图象开口向下，
∴m-2<0，解得：m<2.
故答案为：m<2.
14．y=x （答案不唯一）
【解析】抛物线y=x 开口向上,且与y轴的交点为(0,0).故答案为：y=x (答案不唯一).
15． y轴 （0，0）
【解析】函数的对称轴是“y轴”，顶点坐标是：（0，0）.
16． (0，0), y，大，0.
【解析】抛物线y=-0.35x 的定点坐标为（0,0）,对称轴是y轴，当x=0时y有最大值，最大值为0.故答案为：（0,0）；y；大；0.
17．见解析
【解析】试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到的。
解：如图所示：
(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．
(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到．
18．（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【解析】试题分析：（1）根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值；
（2）利用（1）中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴即可得出答案．
试题解析：解：（1）∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
19．（1）A点的坐标为：（2，4）；（2）（2，0），（﹣2，0），（4，0），（5，0）．
【解析】试题分析：（1）直接将A点代入解析式求出即可A点坐标即可；
（2）分别根据以O为顶点时，以A为顶点时，以P为顶点时求出符合题意的点的坐标即可．
试题解析：（1）∵点A（2，a）在抛物线y=x2上，∴a=22=4，
∴A点的坐标为：（2，4）；
（2）如图所示：以O为顶点时，AO=P1O=2或AO=AP2=2
∴点P坐标：（2，0），（﹣2，0），以A为顶点时，AO=OP，
∴点P坐标：（4，0）；以P为顶点时，OP′=AP′，
∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x则42+（x﹣2）2=x2，解得：x=5，
∴点P坐标：（5，0），
综上所述使△OAP是等腰三角形则P点坐标为：（2，0），（﹣2，0），（4，0），（5，0）．
20．(1) 3；(2) 27；(3)答案不唯一，
【解析】试题分析：抛物线y＝ax2经过点(1，3)，将点代入即可求得a=3,将x=3代入函数中求得y=27.二次函数的性质可以通过从开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性等方面进行分析.
解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，
∴a·1＝3.∴a＝3.
(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.
(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等．
21．（1）a=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析
【解析】试题分析：
（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；
（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.
试题解析：
（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；
（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）作函数y=ax2的草图如下：
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