1.2 二次函数的图象（3）同步作业

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1.2 二次函数的图象（3）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（ ）
A. （1，0） B. （﹣1，0） C. （﹣2，1） D. （2，﹣1）
2．抛物线的对称轴是
A. 直线x=1 B. 直线x= -1 C. 直线x=-2 D. 直线x=2
3．若抛物线y=x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（　　）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
4．二次函数y=x2+2x+3的图象的开口方向为（　　）
A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右
5．抛物线y=﹣x2+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（　　）
A. B.
C. D.
6．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华添加的条件是过点(3，0)；小彬添加的条件是过点(4，3)；小明添加的条件是a＝1；小颖添加的条件是抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人添加的条件中，正确的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7．如图，已知二次函数的部分图象与坐标轴交于A（3，0）和C（0，2）两点，对称轴为直线，当函数值＞0时，自变量的取值范围是( )
A. ＜3 B. 0≤＜3 C. －2＜＜3 D. －1＜＜3
8．二次函数在的范围内有最小值，则的值是（ ）
A. B. C. D.
9．为了得到函数y=3x2的图象，可以将函数y=﹣3x2﹣6x﹣1的图象（　　）
A. 先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移2个单位
B. 先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移2个单位
C. 先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移2个单位
D. 先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移2个单位
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边轴，项点的坐标为．二次函数的图象的项点在正方形的边上运动，则的值可以（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题
11．已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式3﹣a﹣b的值为_____．
12．抛物线的顶点坐标是________，对称轴是________.
13．已知抛物线y=3x2﹣4x+c的顶点在x轴上方，则c应满足的条件_____．
14．已知抛物线y=（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为_____．
15．如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是.
16．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是____．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
三、解答题
17．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．已知二次函数y=﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
19．对于函数y=﹣x2﹣2x﹣1，请回答下列问题：
（1）图象的对称轴，顶点坐标各是什么？
当x取何值时，函数有最大（小）值，函数最大（小）值是多少？
（2）求抛物线与x轴的交点，与y轴的交点坐标是什么？
20．已知函数的顶点为点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求函数的图象与x轴的交点坐标；
（3）若函数的图象在直线y=m的上方，求m的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标．
22．已知一次函数（k≠0）的图象经过， 两点，二次函数（其中a＞2）.
（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题：
①若，求当且≤0时，自变量x的取值范围；
②如果满足且≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】由原方程，得
y=（x﹣1）2，
∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）．
故选A．
2．B
【解析】分析：先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．
详解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶点坐标是（-，），对称轴为直线x=-．
3．C
【解析】将二次函数写成顶点式，为y=（x－1）2+m－1，所以n=m－1，m－n=1.
故选C.
点睛：抛物线最低点的纵坐标即为顶点的纵坐标.
4．A
【解析】分析：根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a 、b、c为常数)中的系数与函数图象间的关系(其中 a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下)解答．
详解：
∵二次函数y=x2+2x+3中a=1＞0，
∴二次函数y=x2+2x+3的图象的开口向上，
故选：A．
点睛：熟记二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a 、b、c为常数)中的系数与函数图象间的关系：其中 a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下.
5．C
【解析】y=﹣x2+x﹣1=﹣ (x2﹣2x)﹣1=﹣ [(x﹣1)2﹣1]﹣1=﹣ (x﹣1)2﹣，故选C．
6．C
【解析】根据图上给出的条件是与x轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x=2，意思就是抛物线的对称轴是x=2是题目的已知条件，这样可以求出a、b的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．
解：∵抛物线过(1,0)，对称轴是x=2，
∴，
解得a=1，b= 4，
∴y=x2 4x+3，
当x=3时，y=0，所以小华正确；
当x=4时，y=3，小彬也正确，
∵a=1，
∴小明也正确；
抛物线被x轴截得的线段长为2,已知过点(1,0),则可得另一点为( 1,0)或(3,0)，所以对称轴为y轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖错误.
故选C.
点睛：本题考查二次函数的性质.将对称轴是x=2作为已知条件求出二次函数解析式是解题的关键.
7．D
【解析】分析：利用函数值y,即对应图像在x轴上半部分，得出x的取值范围即可.
详解：∵二次函数的对称轴为直线，且与x轴的交点为（3,0），
∴它与x轴的另一个交点为（-1,0）.
当函数值y时，即在x轴的上半部分，
∴.
故答案选：D.
点睛：考查了二次函数的图像问题.
8．D
【解析】分析：对称轴为x＝－1，－1－(－3)＝2，2－(－1)＝3，3＞2，则x＝2函数取最小值.
详解：抛物线的开口向下时，离对称轴越远的点，其函数值越小，
因为对称轴为x＝－1，－1－(－3)＝2，2－(－1)＝3，3＞2，则x＝2函数取最小值.
当x＝2时，y＝－4－4＋c＝－8＋c，则－8＋c＝－5，解得c＝3.
故选D.
点睛：抛物线的开口向上时，坐标平面内的点离对称越远，则函数值越大；抛物线的开口向下时，坐标平面内的点离对称越远，则函数值越小.
9．A
【解析】分析：将函数y＝﹣3x2﹣6x﹣1化为顶点式，根据二次项系数与顶点坐标的变化求解.
详解：函数y＝﹣3x2﹣6x﹣1＝﹣3(x＋1)2＋2，顶点的坐标为(﹣1，2)，二次项系数是－3，函数y＝3x2的顶点坐标为(0，0)，二次项系数是3.
∴先把函数y＝3x2的图象关于x轴对称，向右平移1个单位，再向上平移2单位.
故选A．
点睛：本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象的平移规律是：“左加右减”，相对于自变量；“上加下减”，相对于函数值；二次项系数相等则抛物线的开口方向与大小都一样，二次项系数互为相反数由抛物线的开口方向相反，大小相同.
10．C
【解析】试题解析：（）项点在时， 取最小值．
∵，∴ ，
代入解析式得．
（）项点在时， 取最大值．
∵，∴ ，
代入解析式得．
综上， 的取值范围是．
故选．
11．1
【解析】分析：将点代入求出a+b的值，然后得出答案．
详解：将(1，1)代入可得：a+b－1=1，则a+b=2， ∴原式=3－(a+b)=3－2=1．
点睛：本题主要考查的是整体思想求代数式的值，属于基础题型．根据点的坐标得出a+b的值是解题的关键．
12． （-2,1） 直线x= - 2
【解析】试题解析：
=
=
∴抛物线的顶点坐标是（-2，1），对称轴是:直线x=-2.
13．c＞
【解析】【分析】根据抛物线的解析式，求出其顶点坐标，令其纵坐标大于0，即可求出c应满足的条件.
【详解】抛物线y=3x2﹣4x+c的开口向上，
其顶点的纵坐标为：==，
由于抛物线的顶点在x轴上方，
所以＞0，
解得：c＞，
故答案为：c＞.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，本题中的抛物线开口向上，因此也可以通过根的判别式小于0来求解..
14．﹣1≤x≤5
【解析】试题解析：∵y=（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x=2，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
则（﹣1，0）关于x=2对称的点为（5，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（5，0），
所以y＜0时，x的取值范围是﹣1≤x≤5．
故答案为：﹣1≤x≤5．
16．③④
【解析】分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a>0;然后根据对称轴为 ,可得b<0,据此判断即可；②根据抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，可得x=-1时，y>0，即 a-b+c>0, 据此判断即可;③首先判断阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积＝底 高，求出阴影部分的面积即可；④根据函数的最小值是 ，判断c=-1时，a和 b的关系即可；
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，
∴a>0,
又∵对称轴 ，
∴b<0
∴结论①是错误的；
∵x=-1时，y>0,
∴a-b+c>0,
∴结论②是错误的；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数y＝ax2＋bx＋c的最小值是y=-2,
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是 ,
∴结论③是正确的；
∵，c=-1,
∴b2=4a,
∴结论④是正确的；
故答案是③④。
17．（1）y=x2-2x-3 （2）开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标（1，-4）
【解析】试题分析：已知抛物线上三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；进而可根据函数的解析式求出抛物线的开口方向，及对称轴方程与顶点坐标（用配方法或公式法求解均可）．
试题解析：（1）把（-1，0），（0，-3），（2，-3）代入y=ax2+bx+c，
得：
解得： ，
则抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴抛物线的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-4）．
18．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．
【解析】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
试题解析：（1）∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；
（2）列表得：
x … -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -5 0 3 4 3 0 -5 …
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
19．见解析.
【解析】整体分析：
(1)把函数y=﹣x2﹣2x﹣1配方为顶点式y=a(x+k)2+m，由二次函数的性质求解；(2)分别设y=0，x=0，解方程.
解：(1)y=﹣x2﹣2x﹣1=﹣(x2+2x+1)=﹣(x+1)2．
∴抛物线的对称轴为x=﹣1，顶点坐标为(﹣1，0)，当x=﹣1时，抛物线有最大值，最大值为0．
(2)当y=0时，0=﹣x2﹣2x﹣1，解得x1=x2=﹣1，
所以抛物线与x轴交点坐标为(﹣1，0)．
当x=0时，y=﹣1，
抛物线与y轴交点的坐标为(0，﹣1)．
20．（1）D（m， ）；（2）与x轴的交点坐标（0，0），（2m，0）；（3）﹣1＜m＜0．
【解析】试题分析：（1）通过配方把一般式化成顶点式，可求出顶点坐标；（2）令y=0，解方程x2-2mx=0即可；（3）①由顶点D在直线y=m的上方得-m2>m，结合y=m2-m的图象可知﹣1＜m＜0；②解不等式x2-2mx＞m，当x2-2mx=m时，抛物线和直线有唯一交点，由△=0解得m1=0,m2=-1从而m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
解：（1）
∴D（m， ）．
（2）令y=0，得．
解得，∴函数的图象与x轴的交点坐标（0，0），（2m，0）．
（3）方法一：∵函数的图象在直线y=m的上方，∴顶点D在直线y=m的上方，∴＞m．
即＜0．
由y= 的图象可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
方法二：∵函数的图象在直线y=m的上方，∴＞m，∴当=m时，抛物线和直线有唯一交点，∴
=．
解得，∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
21．(1) ﹣≤y≤12;(2) P的坐标为（1，0）.
【解析】分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式，然后利用一次函数增减性得出即可．
（2）根据题意得出n=1-m，联立方程，解方程即可求得．
详解：将（1，0），（0，2）代入y=x2+bx+c得：
，
解得：，
∴这个函数的解析式为：y=x2-3x+2=（x-）2-；
把x=-2代入y=x2-3x+2得，y=12，
∴y的取值范围是-≤y≤12．
（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n=m2-3m+2，
∵m+n=1，
∴m2-2m+1=0，
解得m=1，n=0，
∴点P的坐标为（1，0）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，求得解析式上解题的关键．
22．（1）；二次函数图象的顶点坐标为；（2）①2＜x≤4.②≤a＜.
【解析】（1）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；把y2=x2-2ax+4通过配方转化成顶点式即可求得顶点坐标．
（2）①当a=时，y2=x2-5x+4，画出函数的图象，根据图象即可求得自变量x的取值范围；
②根据题意结合图象可知x=3，把x=3代入y2=x2-2ax+4≥0即可求得a的取值；
解：（1）∵ 一次函数（k≠0）的图象经过， 两点，
∴
解得
∴.
∵，
∴ 二次函数图象的顶点坐标为；
（2）①当时， ，
如图,
因为y1>0且y2 0，由图象得2②由①可知a=时，2∴a<，
∵如果满足y1>0且y2 0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，
∴x=3，
当x=3时,y2=x2 2ax+4 0，
解得a ，
∴ a<.
点睛：本题主要考查二次函数的性质.利用二次函数的性质及与二次函数与一次函数的图象关系是解题的关键.
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