1.2 二次函数的图象（4）同步作业

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二次函数图象与系数的关系
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．二次函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象一定不经过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限．
2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（　　）
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A. a＞0 B. b＜0 C. c＜0 D. b+2a＞0
3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）
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A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+a的图象大致是（　　）
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A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / )C. ( http: / / www.21cnjy.com / )D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　）
A. x=﹣4 B. x=4 C. x=﹣2 D. x=2
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论：（1）c＜0；（2）b＞0； （3）4a+2b+c＞0； （4）（a+c）2＜b2．其中不正确的有（　　）
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（　　）
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A. a＞0 B. b＜0 C. ac＜0 D. bc＜0．
8．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B两点，交y轴于C点，其中﹣2＜h＜﹣1，﹣1＜xB＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0；④若OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（　　）21·cn·jy·com
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A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象经过点(1，1)和点(3，0)．关于这个二次函数的描述：① a＜0，b＞0，c＜0；② 当x＝2时，y的值等于1；③ 当x＞3时，y的值小于0．正确的是（ ）
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A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
10．如图，抛 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 物线 QUOTE （a≠0）的对称轴为直＝1，与轴的一个交点坐标为（－1,0），其部分图象如图所示.下列结论：① ；②方程＝0的两个根是,； ③；④当时，的取值范围是；⑤当x1＜x2＜0时，y1＜y2.其中结论正确的个数是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
11．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为　 　．
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12．如图所示的抛物线y=x2+bx+b2﹣4的图象，那么b的值是　 　．
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13．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．
14．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有_____．
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15．二次函数y=ax2+bx+c的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象如图所示，则下列结论：①a<0 ②b<0 ③c>0 ④4a+2b+c=0, ⑤b+2a=0 ⑥ b2-4ac>0其中正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
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16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ① c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am+bm+a＞0（m≠﹣1）；⑤设A（100，y），B（﹣100，y）在该抛物线上，则y＞y．其中正确的结论有___________ ．（写出所有正确结论的序号）
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三、解答题
17．已知抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如图所示，试确定a，b，c，b2－4ac及a+b+c的符号．
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18．(6分)已知二次函数y＝x2－2x－3．
(1)用配方法将表达式化为y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)求这个函数图象与x轴的交点坐标．
19．二次函数y＝ax2＋bx＋c ( http: / / www.21cnjy.com )的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．【21教育名师】
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20．已知抛物线的解析式为
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值.．
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21．如图，抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）若点M为抛物线第四象限内一点，连接BC、CM、BM，求当△BCM的面积最大时点M的坐标.
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参考答案
1．A
【解析】∵二次函数y=ax2-2x-3（a＜0）的对称轴为直线x,
∴其顶点坐标在第二或三象限，
∵当x=0时，y=-3，
∴抛物线一定经过第四象限，
∴此函数的图象一定不经过第一象限．
故选A．2-1-c-n-j-y
2．D
【解析】分析：根据抛物线的开口、对称轴及与y轴的交点的位置，可得出a＜0、c＞0、b＞﹣2a，进而即可得出结论．21-cnjy*com
详解：∵抛物线开口向下，对称轴大于1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，﹣＞1，c＞0，∴b＞﹣2a，∴b+2a＞0．
故选D．
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的对称轴大于1找出b＞﹣2a是解题的关键．
3．D
【解析】分析：首先根据二次函数图象 ( http: / / www.21cnjy.com )开口方向可得a>0，根据图象与y轴交点可得c<0，再根据二次函数的对称轴x=-，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b<0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用抛物线与x轴有两个交点即可判断出③的正误；利用当x=4时，y>0，则16a+4b+c>0，由①知，b=-2a，得出8a+c>0，即可判断出④的正误．
详解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a>0.抛物线与y交与负半轴，则c<0，
对称轴：x= >0，
①∵它与x轴的两个交点分别为( 1,0),(3,0)，
∴对称轴是x=1，
∴ =1，
∴b+2a=0，
故①正确；
②∵a>0， =1，
∴b<0，
又∵c<0，
∴abc>0，
故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④根据图示知，当x=4时，y>0，
∴16a+4b+c>0，
由①知，b= 2a，
∴8a+c>0；
故④正确；
综上所述，正确的结论是：①③④，
故选D.
点睛：本题考查学生对二次函数图象与系数的理解，并且会巧妙的对一些式子进行变形得到想要的结论．
4．C
【解析】分析：由二次函数的图像开口方向可得a＞0，由对称轴的位置可得b＜0，然后根据一次函数的系数与图像的关系求出一次函数经过的象限.【21cnj*y.co*m】
详解：∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x=﹣，
∴b＜0，
∴一次函数y=bx+a的图象经过二、一、四象限，
故选：C．
点睛：对于一次函数y=kx+b，当k＞0，b ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．2·1·c·n·j·y
5．C
【解析】分析：根据配方法，把函数的解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k的形式，然后可确定对称轴，或者根据对称轴的公式x=-计算即可.
详解：∵y=x2+4x﹣5=（x+2）2﹣9，
∴对称轴为x=﹣2，
故选：C．
点睛：此题考查了二次函数的对称轴的求法，可通过配方法化为顶点式或对称轴的公式直接求解.
6．C
【解析】抛物线的开口向上，则a＞0；
对称轴为x=﹣=1，即b=﹣2a，故b＜0，故（2）错误；
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，故（1）正确；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＜0，故（3）错误；
把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c＜0，把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c＜0，
则（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，故（4）错误；
不正确的是（2）（3）（4）；
故选：C．
7．C
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，bc＞0．
故选：C．
8．C
【解析】分析：①由抛物线对称轴位置确定ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而对所得结论进行判断；21cnjy.com
②根据对称轴公式和-2＜h＜-1可得：4a-b＜0，根据a＜0，b＜0可知：2a+b＜0，可作判断；
③根据b＞4a，得2b-8a＞0①，当x=-2时，4a-2b+c＞0②，两式相加可得结论；
④根据OB=OC可知：c是 ( http: / / www.21cnjy.com )方程ax2+bx+c=0的一个根，代入后可得：ac+b+1=0，则ac=-b-c，将所求的式子去括号再将ac的式子代入可得结论．【21·世纪·教育·网】
详解：①∵抛物线开口向下，
抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故ab＞0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0，
故①正确；
②∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵x=-=h，且-2＜h＜-1，
∴4a＜b＜2a，
∴4a-b＜0，
又∵h＜0，
∴-＜1
∴2a+b＜0，
∴（4a-b）（2a+b）＞0，
故②错误；
③由②知：b＞4a，
∴2b-8a＞0①．
当x=-2时，4a-2b+c＞0②，
由①+②得：4a-8a+c＞0，即4a-c＜0．
故③正确；
④∵当x=-1时，a-b+c＞0，
∵OC=OB，
∴当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，
∵c≠0，
∴ac+b+1=0，
∴ac=-b-1，
则（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0，
故④正确；
所以本题正确的有：①③④，
故选C．
点睛：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，不等式性质的熟练运用．【21教育】
9．B
【解析】分析：根据二次函数的开口方向、对称轴与y轴的交点得出①、根据对称性得出②、根据函数图像得出③．
详解：根据图像可得：a＜ ( http: / / www.21cnjy.com )0，b＞0，c＜0，故正确；∵对称轴大于1.5，∴x=2时的值大于x=1的函数值，故错误；根据图像可得：当x＞3时，y的值小于0，故正确；故选B．
点睛：本题主要考查的是二次函数的图象与系数之间的关系，属于中等难度的题型．理解函数图像与系数之间的关系是解题的关键．
10．C
【解析】分析：利用抛物线与x轴的交点个 ( http: / / www.21cnjy.com )数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
详解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以②正确；
∵x=-=1，即b=-2a，
而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0），
∴当-1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故答案为①②⑤．
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11．﹣3．
【解析】由图象可知二次函数y=ax2+bx的最小值为﹣3，
∴，解得b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx=m有实数根，
∴△≥0，即b2+4am≥0，
∴12a+4am≥0，
∵a＞0，
∴12+4m≥0，
∴m≥﹣3，即m的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
点睛：本题考查了二次函数的图像与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，二次函数与一元二次方程的关系：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；二次函数图像与x轴的交点横坐标是一元二次方程的根.当△=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当△>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根.
12．﹣2
【解析】把（0,0）代入y=x2+bx+b2﹣4得
解得b=±2,
∵抛物线的对称轴在y轴的右边,
∴ EMBED Equation.DSMT4 ,
∵a=1>0,
∴b<0,
∴b=-2
故答案为:-2.
13．一、二、三．
【解析】试题分析：抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)对称轴为x= <0，抛物线开口向上，c=0，与y轴交点为（0,0）所以函数图像过一、二、三象限
14．①②③．
【解析】试题解析：
∵抛物线的开口向下，
∵与轴的交点为在轴的正半轴上，
故①正确；
∵对称轴为 抛物线与轴的一个交点为
∴另一个交点为
∴方程 的根是
故②正确；
当时，
故③正确；
异号，即
当时，随的增大而减小，故④错误．
∴其中正确的说法有①②③；
故答案为：①②③．
15．D
【解析】试题解析：①如图，抛物线开口方向向下，则a＜0．故①正确；
②如图，抛物线对称轴x=-=1，则b=-2a＞0．即b＞，故②错误；
③如图，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故③正确；
④如图，当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故④错误；
⑤由抛物线对称轴x=-=1得到b+2a=0．故⑤正确；
⑥如图，抛物线与x轴有2个交点，则b2-4ac＞0
综上所述，正确的结论有4个．
16．①②④⑤
【解析】解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；
该抛物线的对称轴是： ，直线x=﹣1，故②正确；
当x=1时，y=a+b+c
∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a．又∵c=0，∴y=3a，故③错误；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c ( http: / / www.21cnjy.com )，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c．又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm．∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．∵|100+1|＞|﹣100+1|，且开口向上，∴y1＞y2．故⑤正确．21世纪教育网
故答案为：①②④⑤．
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．21*cnjy*com
17．a＋b＋c＞0
【解析】分析:根据二次函数的图形确定a、b、c的符号,根据抛物线与x轴的交点确定的符号,由当x=1时,函数值的符号确定a+b+c的符号.21*教*育*名*师
本题解析：
∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线与 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴的交点在y轴的负半轴上，∴C＜0．又∵对称轴在y轴左侧，∴ab＞0．∵a＞0，∴b＞0．∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2－4ac＞0．∵当x=1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0．
18．（1）(x－1)2－4；（2）图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)．
【解析】试题分析：（1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可；
（2）令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
试题解析：(1)y＝(x2－2x＋1)－4＝(x－1)2－4；
(2)令y＝0，得x2－2x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1，
函数图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)．
19．P＞Q.
【解析】试题分析：先根据图象判断出2a＋b，3b－2c，2a－b，3b＋2c的正负，然后将P，Q去绝对值，再用作差法来比较两数的大小．www.21-cn-jy.com
试题解析：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0.
∵＞0，
∴b＞0，
∴2a－b＜0.
∵＝1，
∴b＋2a＝0.
当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，
∴－ b－b＋c＜0，
∴3b－2c＞0.
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴3b＋2c＞0，
∴P＝3b－2c，Q＝b－2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，
∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0.
∴P＞Q.
点睛：本题考查了二次函数的图象与系数的关系、去绝对值、二次函数的性质.熟记而出函数的性质是解题的关键.21·世纪*教育网
20．（1）证明见解析；（2）m=-1+或-1-
【解析】试题分析：（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；
（2）根据题意，令x=0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．
试题解析：（1）令y=0得：x2-（2m-1）x+m2-m=0①
∵△=（2m-1）2-4（m2-m）×1＞0
∴方程①有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）令：x=0，根据题意有：m2-m=-3m+4
解得m=-1+或-1-
21．（1）抛物线解析式为y=（x﹣）2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，抛物线的顶点坐标为（，﹣），（3）点M的坐标为（1，－1）.21教育网
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）确定出当△ACP的周长最小时，点P就是BC和对称轴的交点，利用两点间的距离公式计算即可．
（3）作出辅助线，利用tan∠MDN=2或，建立关于点N的横坐标的方程，求出即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴
∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1=（x﹣）2﹣，
∴抛物线的顶点坐标为（，﹣），
（2）如图1，
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连接BC与抛物线对称轴的交点就是点P，连接AC，AP，
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴PA=PB，
∵B（2，0），C（0，﹣1），
∴直线BC解析式为y=x﹣1，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴点P的横坐标为，
∴点P的纵坐标为﹣，
∴P（，﹣），
（3）设M（x， ），过点M作x轴的垂线交BC于点N，则点N（x， ）
∴==
故当x=1时，S△BMC面积最大，此时，
所以当△BCM的面积最大时点M的坐标为（1，－1）.
【点睛】此题是二次函数综合题， ( http: / / www.21cnjy.com )主要考查了待定系数法，抛物线的对称性，三角函数，三角形周长的计算，绝对值方程，过点N作抛物线对称轴的垂线是解本题的关键也是难点．
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