1.4 二次函数的应用（1）同步作业
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1.4 二次函数的应用（1）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m
2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A. y= B. y=﹣ C. y=﹣ D. y=
3．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A. 32×20﹣20x﹣30x=540 B. 32×20﹣20x﹣30x﹣x2=540
C. （32﹣x）（20﹣x）=540 D. 32×20﹣20x﹣30x+2x2=540
4．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 25米
5．如图所示是二次函数y=的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（ ）
A. 4 B. C. 2π D. 8
6．将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线， 与轴交于、两点， 的顶点记为，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
7．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=1，在BC的延长线上任取一点P，过点P作PD⊥BC，使得PD=2PC，则当点P在BC延长线上向左移动时，△ABD的面积大小变化情况是（ ）
A. 一直变大 B. 一直变小 C. 先变小再变大 D. 先变大再变小
8．小明以二次函数y=2x2－4x+8的图象为灵感为“2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（ ）
A. 14 B. 11 C. 6 D. 3
二、填空题
9．用的铁丝所围的长方形的面积与长的关系__________．
10．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为_____米．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，抛物线（a<0）的顶点为D，且经过点A、B．若△ABD为等腰直角三角形，则a的值为___________．
12．如图，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则线段的长为 .
13．如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是_______．
14．如图，线段的长为2，为上一个动点，分别以、为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，那么长的最小值是_______.
三、解答题
15．某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m.）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；
（3）若要求 0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.
16．有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x，建立直角坐标xOy．
求该抛物线的表达式；
如果水面BC上升3米即至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长．
17．甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC表示甲公司销售价y1（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．
（1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；
（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？
18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图 ），水面宽 时，水面离桥孔顶部 ，因降暴雨水面上升 ．
（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；（结果保留根号）
（2）一艘装满物资的小船，露出水面的部分高为 ，宽 （横断面如图 所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗
19．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图）做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）计算所需不锈钢管的总长度．
参考答案
1．B
【解析】试题解析：设抛物线的解析式为 由题意，得
∴抛物线的解析式为：
当y=0时，
解得： (舍去)，
OB=3m.
故选B.
2．C
【解析】如图，由题意可设抛物线的解析式为，
∵由题意可知点A、B的坐标分别为（-5，-4）、（5，-4），且抛物线过点A、B，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：.
故选C.
3．C
【解析】
如图，将小路平移，则草地的长为（32-x）米，小路的宽为(20-x)米，故可列方程为：
（32﹣x）（20﹣x）=540 .
故选C.
4．A
【解析】设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为40-2x，
S=（40-2x）x= -2x2+40x．
要使矩形ABCD面积最大，
则
即x的长为10m．
故选A．
5．B
【解析】函数与y轴交于（0，2）点，与x轴交于（-2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三角形面积S1=4，则以半径为2的半圆的面积为S2=π××22=2π，则阴影部分的面积S有：4＜S＜2π．因为选项A、C、D均不在S取值范围内．故选 B
6．A
【解析】试题解析：根据题意可得，抛物线的解析式为：
解得：
即
故选A.
点睛：二次函数的平移规律：左加右减，上加下减.
7．C
【解析】试题解析：设PC=x，则PD=2x
∴SΔBPD=×PB×PD= (x+1)×2x=x2+x
SΔABC=×AC×BC= ×1×1=
S梯形ACPD= (2x+1)×x=x2+x
∴SΔABD= S梯形ACPD+ SΔABC- SΔBPD=-x+2
∴△ABD的面积先变小再变大.
故选C.
8．B
【解析】∵，
∴在坐标系中，该二次函数图象的顶点D的坐标为（1，6），
设此时点A、B的坐标分别为，则由题意可知，AB=，而是关于x的一元二次方程的解，
∴，
∴，
又∵AB==4，
∴，解得： ，
∴点A、B的纵坐标为14，
∴DC=14-6=8，
又∵DE=3，
∴CE=DC+DE=11.
故选B.
9．
【解析】试题解析：．
故答案为：
10．0.2
【解析】如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36），
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为﹣0.4，
∴当x=﹣0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36﹣0.16=0.2米
故答案为0.2．
点睛：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，熟练掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．
11．-1
【解析】分析：抛物线的对称轴方程为即点的横坐标为1，△ABD为等腰直角三角形，则点的横坐标为2，正方形的边长为2，进而求出点的纵坐标为2+1=3，把点代入抛物线解析式，即可求出的值.
详解：抛物线的对称轴方程为
即点的横坐标为1，
△ABD为等腰直角三角形，则点的横坐标为2，正方形的边长为2，
,
代入抛物线解析式得：解得：
故答案为：
点睛:属于二次函数综合体，考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象与性质等，重点掌握待定系数法.
12．1
【解析】由题意得A(0,1),所以直线BC是y=1,与抛物线联立知，
B(-,1),C(,1),故BC=1.
故答案为1.
13．
【解析】解：∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，对角线OB在y轴上，且OB=2，∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，故1=，解得：x=±，故A（，1），C（﹣，1），故菱形OABC的面积是：2×（×2×）=．故答案为： ．
点睛：本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题的关键．
14．
【解析】【分析】设AC=x，则BC=2-x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式，利用函数的知识进行解答即可．
【详解】设AC=x，则BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x，CE=（2-x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2=x2+（2-x）2=x2-2x+2=（x-1）2+1，
当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式．
16．（1） （2）5m
【解析】分析：直接假设出二次函数解析式进而得出答案；
根据题意得出y=3进而求出x的值，即可得出答案．
详解：(1)设抛物线解析式为：，
由题意可得图象经过，，
则，
解得：，
故抛物线解析为：；
由题意可得：时，
解得：，
故EF，
答：水面宽度EF的长为5m．
点睛：此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
17．（1）y2＝―0.4(x―75)2＋2250；（2）当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．
【解析】分析：（1）由图象可知y与x之间是一次函数关系，可设y=kx+b，把（0，120），（80，72）代入可得；（2）根据：销售利润W=该产品每千克利润×销售量，列出函数关系式，配成二次函数顶点式，结合自变量取值范围可得其最值．
详解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b．
根据题意，当x＝0时，y1＝120；当x＝80时，y1＝72．
所以，解得
所以，y1与x之间的函数表达式为y1＝－0.6x＋120．
设y2与x之间的函数表达式为y2＝a(x―75)2＋2250，
当x＝0时，y2＝0，解得a＝―0.4．
所以，y2与x之间的函数表达式为y2＝―0.4(x―75)2＋2250．
（2）解：设甲、乙两公司的销售总利润的差为w（元）．
当0＜x≤80时，
w＝（y1－40）x―y2＝ (－0.6x＋120―40)x－[(－0.4(x―75)2＋2250］
＝－0.2x2＋20x＝－0.2(x－50)2＋500．
∵－0.2＜0，0＜x≤80
∴当x＝50时， w有最大值，最大值为500．
当80＜x≤84时，
w＝(72―40)x―[―0.4(x―75)2＋2250］＝0.4x2―28x，
∵当80＜x≤84时，w随x的增大而增大，
∴当x＝84时， 有最大值，最大值为470.4．
综上所述，当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．
点睛：本题考查了一次函数和二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式的知识 ，解答本题的关键是根据图象找出图象中所包含的有用信息.
18．（1）水面宽为 米；（2）这艘船能从这座拱桥下通过．
【解析】试题分析：
（1）建立如下图所示的平面直角坐标系，由题意设抛物线型拱桥的解析式为：y=ax2，由题意可知此抛物线过点（3，-3），由此即可求出抛物线的解析式，把y=-2代入所得解析式，解此对应的x的值，即可求得此时水面的宽；
（2）由题意在（1）中所得的解析式中，求出当x=2时对应的y的值，比较此时y的值的绝对值和1.5的大小即可得出结论.
试题解析：
（1） 如图，以抛物线的顶点为原点，以桥面为 轴，建立平面直角坐标系，由题意可知抛物线过点 ，
设抛物线的函数表达式为： ．
把 代入 ，可求 ，
则抛物线对应的函数表达式为 ．
当水面上涨 米后，水面所在的位置为直线 ，
令 得，则，解得： ， ，
∴此时水面宽为为： （米）；
（2）由题意 ：当船在桥拱的正中心航行时，船的边缘距抛物线对称轴水平距离为 米，在中，令 得， ，
∵船上货物最高点距拱顶为： （米）且 ，
∴这艘船能从这座拱桥下通过．
19．（1）y=﹣0.5x2+0.5；（2）所需不锈钢管的总长度为80米．
【解析】试题分析：（1）根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式，结合图象易求B点和C点坐标，代入解析式解方程组求出a，c的值得解析式；
（2）根据对称性求B3、B4的纵坐标后再求出总长度．
试题解析：（1）由题意得B（0，0.5）、C（1，0）
设抛物线的解析式为：y=ax2+c
代入得a=﹣0.5，c=0.5，
故解析式为y=﹣0.5x2+0.5；
（2）如图1所示：
∵当x=0.2时，y=0.48，
当x=0.6时，y=0.32，
∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6米
∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．
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1.4 二次函数的应用（1）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m
2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A. y= B. y=﹣ C. y=﹣ D. y=
3．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A. 32×20﹣20x﹣30x=540 B. 32×20﹣20x﹣30x﹣x2=540
C. （32﹣x）（20﹣x）=540 D. 32×20﹣20x﹣30x+2x2=540
4．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 25米
5．如图所示是二次函数y=的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（ ）
A. 4 B. C. 2π D. 8
6．将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线， 与轴交于、两点， 的顶点记为，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
7．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=1，在BC的延长线上任取一点P，过点P作PD⊥BC，使得PD=2PC，则当点P在BC延长线上向左移动时，△ABD的面积大小变化情况是（ ）
A. 一直变大 B. 一直变小 C. 先变小再变大 D. 先变大再变小
8．小明以二次函数y=2x2－4x+8的图象为灵感为“2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（ ）
A. 14 B. 11 C. 6 D. 3
二、填空题
9．用的铁丝所围的长方形的面积与长的关系__________．
10．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为_____米．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，抛物线（a<0）的顶点为D，且经过点A、B．若△ABD为等腰直角三角形，则a的值为___________．
12．如图，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则线段的长为 .
13．如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是_______．
14．如图，线段的长为2，为上一个动点，分别以、为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，那么长的最小值是_______.
三、解答题
15．某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m.）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；
（3）若要求 0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.
16．有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x，建立直角坐标xOy．
求该抛物线的表达式；
如果水面BC上升3米即至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长．
17．甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC表示甲公司销售价y1（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．
（1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；
（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？
18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图 ），水面宽 时，水面离桥孔顶部 ，因降暴雨水面上升 ．
（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；（结果保留根号）
（2）一艘装满物资的小船，露出水面的部分高为 ，宽 （横断面如图 所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗
19．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图）做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）计算所需不锈钢管的总长度．
参考答案
1．B
【解析】试题解析：设抛物线的解析式为 由题意，得
∴抛物线的解析式为：
当y=0时，
解得： (舍去)，
OB=3m.
故选B.
2．C
【解析】如图，由题意可设抛物线的解析式为，
∵由题意可知点A、B的坐标分别为（-5，-4）、（5，-4），且抛物线过点A、B，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：.
故选C.
3．C
【解析】
如图，将小路平移，则草地的长为（32-x）米，小路的宽为(20-x)米，故可列方程为：
（32﹣x）（20﹣x）=540 .
故选C.
4．A
【解析】设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为40-2x，
S=（40-2x）x= -2x2+40x．
要使矩形ABCD面积最大，
则
即x的长为10m．
故选A．
5．B
【解析】函数与y轴交于（0，2）点，与x轴交于（-2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三角形面积S1=4，则以半径为2的半圆的面积为S2=π××22=2π，则阴影部分的面积S有：4＜S＜2π．因为选项A、C、D均不在S取值范围内．故选 B
6．A
【解析】试题解析：根据题意可得，抛物线的解析式为：
解得：
即
故选A.
点睛：二次函数的平移规律：左加右减，上加下减.
7．C
【解析】试题解析：设PC=x，则PD=2x
∴SΔBPD=×PB×PD= (x+1)×2x=x2+x
SΔABC=×AC×BC= ×1×1=
S梯形ACPD= (2x+1)×x=x2+x
∴SΔABD= S梯形ACPD+ SΔABC- SΔBPD=-x+2
∴△ABD的面积先变小再变大.
故选C.
8．B
【解析】∵，
∴在坐标系中，该二次函数图象的顶点D的坐标为（1，6），
设此时点A、B的坐标分别为，则由题意可知，AB=，而是关于x的一元二次方程的解，
∴，
∴，
又∵AB==4，
∴，解得： ，
∴点A、B的纵坐标为14，
∴DC=14-6=8，
又∵DE=3，
∴CE=DC+DE=11.
故选B.
9．
【解析】试题解析：．
故答案为：
10．0.2
【解析】如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36），
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为﹣0.4，
∴当x=﹣0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36﹣0.16=0.2米
故答案为0.2．
点睛：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，熟练掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．
11．-1
【解析】分析：抛物线的对称轴方程为即点的横坐标为1，△ABD为等腰直角三角形，则点的横坐标为2，正方形的边长为2，进而求出点的纵坐标为2+1=3，把点代入抛物线解析式，即可求出的值.
详解：抛物线的对称轴方程为
即点的横坐标为1，
△ABD为等腰直角三角形，则点的横坐标为2，正方形的边长为2，
,
代入抛物线解析式得：解得：
故答案为：
点睛:属于二次函数综合体，考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象与性质等，重点掌握待定系数法.
12．1
【解析】由题意得A(0,1),所以直线BC是y=1,与抛物线联立知，
B(-,1),C(,1),故BC=1.
故答案为1.
13．
【解析】解：∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，对角线OB在y轴上，且OB=2，∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，故1=，解得：x=±，故A（，1），C（﹣，1），故菱形OABC的面积是：2×（×2×）=．故答案为： ．
点睛：本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题的关键．
14．
【解析】【分析】设AC=x，则BC=2-x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式，利用函数的知识进行解答即可．
【详解】设AC=x，则BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x，CE=（2-x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2=x2+（2-x）2=x2-2x+2=（x-1）2+1，
当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式．
16．（1） （2）5m
【解析】分析：直接假设出二次函数解析式进而得出答案；
根据题意得出y=3进而求出x的值，即可得出答案．
详解：(1)设抛物线解析式为：，
由题意可得图象经过，，
则，
解得：，
故抛物线解析为：；
由题意可得：时，
解得：，
故EF，
答：水面宽度EF的长为5m．
点睛：此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
17．（1）y2＝―0.4(x―75)2＋2250；（2）当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．
【解析】分析：（1）由图象可知y与x之间是一次函数关系，可设y=kx+b，把（0，120），（80，72）代入可得；（2）根据：销售利润W=该产品每千克利润×销售量，列出函数关系式，配成二次函数顶点式，结合自变量取值范围可得其最值．
详解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b．
根据题意，当x＝0时，y1＝120；当x＝80时，y1＝72．
所以，解得
所以，y1与x之间的函数表达式为y1＝－0.6x＋120．
设y2与x之间的函数表达式为y2＝a(x―75)2＋2250，
当x＝0时，y2＝0，解得a＝―0.4．
所以，y2与x之间的函数表达式为y2＝―0.4(x―75)2＋2250．
（2）解：设甲、乙两公司的销售总利润的差为w（元）．
当0＜x≤80时，
w＝（y1－40）x―y2＝ (－0.6x＋120―40)x－[(－0.4(x―75)2＋2250］
＝－0.2x2＋20x＝－0.2(x－50)2＋500．
∵－0.2＜0，0＜x≤80
∴当x＝50时， w有最大值，最大值为500．
当80＜x≤84时，
w＝(72―40)x―[―0.4(x―75)2＋2250］＝0.4x2―28x，
∵当80＜x≤84时，w随x的增大而增大，
∴当x＝84时， 有最大值，最大值为470.4．
综上所述，当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．
点睛：本题考查了一次函数和二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式的知识 ，解答本题的关键是根据图象找出图象中所包含的有用信息.
18．（1）水面宽为 米；（2）这艘船能从这座拱桥下通过．
【解析】试题分析：
（1）建立如下图所示的平面直角坐标系，由题意设抛物线型拱桥的解析式为：y=ax2，由题意可知此抛物线过点（3，-3），由此即可求出抛物线的解析式，把y=-2代入所得解析式，解此对应的x的值，即可求得此时水面的宽；
（2）由题意在（1）中所得的解析式中，求出当x=2时对应的y的值，比较此时y的值的绝对值和1.5的大小即可得出结论.
试题解析：
（1） 如图，以抛物线的顶点为原点，以桥面为 轴，建立平面直角坐标系，由题意可知抛物线过点 ，
设抛物线的函数表达式为： ．
把 代入 ，可求 ，
则抛物线对应的函数表达式为 ．
当水面上涨 米后，水面所在的位置为直线 ，
令 得，则，解得： ， ，
∴此时水面宽为为： （米）；
（2）由题意 ：当船在桥拱的正中心航行时，船的边缘距抛物线对称轴水平距离为 米，在中，令 得， ，
∵船上货物最高点距拱顶为： （米）且 ，
∴这艘船能从这座拱桥下通过．
19．（1）y=﹣0.5x2+0.5；（2）所需不锈钢管的总长度为80米．
【解析】试题分析：（1）根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式，结合图象易求B点和C点坐标，代入解析式解方程组求出a，c的值得解析式；
（2）根据对称性求B3、B4的纵坐标后再求出总长度．
试题解析：（1）由题意得B（0，0.5）、C（1，0）
设抛物线的解析式为：y=ax2+c
代入得a=﹣0.5，c=0.5，
故解析式为y=﹣0.5x2+0.5；
（2）如图1所示：
∵当x=0.2时，y=0.48，
当x=0.6时，y=0.32，
∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6米
∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．
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