1.4 二次函数的应用（2）同步作业

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1.4 二次函数的应用（2）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．某商店经营皮鞋，所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系为y=－x2+24x+2956，则获利最多为( )．
A. 3144 B. 3100 C. 144 D. 2956
2．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出；若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出……为了投资少而获利大，每个每天应提高(　　)
A. 4元或6元 B. 4元 C. 6元 D. 8元
3．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A.
B.
C.
D.
4．出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售出(6－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y最大时，x的值为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（　　）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
6．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是(　　)
A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 180元
7．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )
A. 5月 B. 6月 C. 7月 D. 8月
8．如图为某菜农搭建的一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，某菜农身高1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚内左右活动的范围是( )
A. 米 B. 米 C. 1.6米 D. 0.8米
二、填空题
9．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为________________________________.
10．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为___ .
11．数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销量（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x（x≥100）元，则月销量是___________件，销售该运动服的月利润为___________元（用含x的式子表示）.
12．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）。未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元。通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件。在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为_____________。
三、解答题
13．面对国际金融危机．某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，现推出如下标准：某单位组织员工去该风景区旅游，设有x人参加，应付旅游费y元．
（1）请写出y与x的函数关系式；
（2）若该单位现有45人，本次旅游至少去26人，则该单位最多应付旅游费多少元？
人数 不超过25人 超过25人但不超过50人 超过50人
人均旅游费 1500元 每增加1人，人均旅游费降低20元 1000元
14．仙游度尾文旦柚，是莆田四大名果之一，获得“国家地理标志保护产品”。近年来，在政府的指导下，该地果农大力种植文旦柚，取得了较好的经济收入。某果园有130棵柚子树，每棵树结150个柚子，现准备多种一些柚子树以提高果园产量，但如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少,根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结1个柚子。假设果园多种了x棵柚子树．
(1)直接写出平均每棵树结的柚子个数n(个)与x之间的关系；
(2)果园多种多少棵柚子树时，可使柚子的总产量y最大？最大值为多少？
15．旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金是x（元）．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？（注：净收入=租车收入管理费）
16．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式确定；雨天行驶时，这一公式为.
(1)如果行车速度是70 km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？
(2)如果行车速度分别是60 km/h与80 km/h，那么同在雨天行驶(相同的路面)相比，刹车距离相差多少？
(3)根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？
17．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为（m2），种草所需费用1（元）与（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用2（元）与x（m2）的函数关系式为2=﹣0.012﹣20+30000（0≤≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
18．某批发部某一玩具价格如图所示，现有甲、乙两个商店，计划在“六一”儿童节前到该批发部购买此类玩具．两商店所需玩具总数为120个，乙商店所需数量不超过50个，设甲商店购买个．如果甲、乙两商店分别购买玩具，两商店需付款总和为y元．
（1）求y关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若甲商店购买不超过100个，请说明甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约多少钱；
（3）“六一”儿童节之后，该批发部对此玩具价格作了如下调整：数量不超过100个时，价格不变；数量超过100个时，每个玩具降价a元．在（2）的条件下，若甲、乙两商店“六一”儿童节之后去批发玩具，最多可节约2800元，求a的值．
19．每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲. 节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元每件，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量（件）是销售单价（元/件）的一次函数.
销售单价 (元/件) … 30 40 50 60 …
每天销售量 (件) … 350 300 250 200 …
（1）求出与的函数关系；
（2）物价局要求,销售该鲜花礼盒获得的利润不得高于100﹪：
①当销售单价取何值时,该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元 (利润=销售总价-成本价)；
②试确定销售单价取何值时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大？并求出花店销该鲜花礼盒每天获得的最大利润.
20．某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）． 若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．
（1）若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？
（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？若不能，请说明理由．
参考答案
1．B
【解析】试题解析：利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为
∵ 1<0
∴当x=12元时，y最大为3100元，
故选B.
3．C
【解析】分析：设销售单价定为每千克x元,获得利润为y元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.
详解：设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为，每千克赚的钱为
则.
故选C.
点睛：此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)销量,列出函数解析式,求最值是解题关键.
4．C
【解析】y=x(6-x)=-x2+6x,
x=-==3.故选C.
5．A
【解析】试题解析：设应降价x元，
则（20+x）（100-x-70）=-x2+10x+600=-（x-5）2+625，
∵-1＜0
∴当x=5元时，二次函数有最大值．
∴为了获得最大利润，则应降价5元．
故选A．
6．C
【解析】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y=（100+20x）（100-10x）
=-200x2+1000x+10000．
当x=-时，可使y有最大值．
又x为整数，则x=2时，y=11200；
x=3时，y=11200；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元．
故选C．
7．C
【解析】试题解析：y=-n2+14n-24=-（n-7）2+25，
∵-1＜0，
∴开口向下，y有最大值，
即n=7时，y取最大值25，
故7月能够获得最大利润
故选C.
8．B
【解析】如图，设抛物线的解析式为y=a（x-2.5）2+2，由待定系数法求出抛物线的解析式y=- （x-2.5）2+2，将y=1.6时代入解析式得- （x-2.5）2+2=1.6，解得， ，他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是：x1-x2=．
故选：B.
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，由解析式根据函数值求自变量的值的运用，解答时正确理解方程与函数关系求函数解析式是关键．
9．
【解析】解：抛物线 的顶点坐标为（0，-1），
∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，-3），
∴得到的抛物线的解析式为y= （x-1）2-3。
故答案是y= （x-1）2-3。
10．y=x2+2x+1
【解析】试题解析：第一轮流感后的人数为
第二轮流感后的人数为
与之间的函数关系式为:
故答案为：
11．
【解析】分析：运用待定系数法求出月销量；根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式．
详解：设月销量y与x的关系式为y=kx+b，
由题意得，，
解得.
则y=-2x+400；
由题意得，y=（x-60）（-2x+400）
=-2x2+520x-24000
点睛：本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
12．0＜a≤5
【解析】试题解析：设未来30天每天获得的利润为y，
y=（110-40-t）（20+4t）-（20+4t）a
化简，得
y=-4t2+（260-4a）t+1400-20a
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴
解得，a＜6，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a＜6．
13．（1）见解析；（2）该单位最多应付旅游费49500元
【解析】试题分析：（1）显然分三部分表示；
（2）根据人数对应找函数关系式，运用函数性质求解．
试题解析：
（1）由题意可知：
当0≤x≤25时，y=1500x．
当25＜x≤50时，y=x[1500﹣20（x﹣25）]
即y=﹣20x2+2000x
当x＞50时，y=1000x．
（2）由题意，得26≤x≤45，
所以选择函数关系式为：y=﹣20x2+2000x．
配方，得y=﹣20（x﹣50）2+50000．
∵a=﹣20＜0，所以抛物线开口向下．又因为对称轴是直线x=50．
∴当x=45时，y有最大值，
即y最大值=﹣20×（45﹣50）2+50000=49500（元）
因此，该单位最多应付旅游费49500元．
【点睛】解题关键是重点搞清楚所求问题对应的函数关系式，再应用性质求解．
14．(1) n＝150－x(0≤x＜150)；（2）当果园多种10棵柚子树时，可使柚子的总产量最大，最大为19600个．
【解析】试题分析：对于（1），根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结1个橙子，列式即可；
对于（2），根据题意有：总产量=橙子树的棵树×每棵树结的橙子数量，据此列出函数解析式；然后利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可.
解：(1)平均每棵树结的柚子个数n(个)与x之间的关系为：
n＝150－x(0≤x＜150)．
(2)设果园多种x棵柚子树时，可使柚子的总产量为y，则
y＝(150－x)(130＋x)=-x2+20x＋19500＝－(x－10)2＋19600，
∴当x＝10时，y最大＝19600.
即当果园多种10棵柚子树时，可使柚子的总产量最大，最大为19600个．
点睛：本题考查了二次函数关系式在实际问题中的应用，也是数学在生活中应用的重要体现.解决类似问题的方法是：先根据题意找出自变量、因变量，用自变量的代数式表示相关的量，恰当列出函数关系式，再依据题目特征，找出符合题意的自变量x的取值范围.在解答题目的过程中，应能够从题设的语言叙述中提炼出数学模型.
15．当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
【解析】试题分析：由于函数解析式是分段函数，因此在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
试题解析：设每天的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1=50x-1100，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x=100时，y1的最大值为50×100-1100=3900；
当x＞100时，
y2=（50-）x-1100
=-x2+70x-1100
=-（x-175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
16．（1）49（2）56（3）请司机师傅一定要注意天气情况与车速
【解析】试题分析：
（1）由题意把（km/h）分别代入两个公式计算，并求差可得结果；
（2）把（km/h）和（km/h）分别代入： 中计算，再求二者的差即可得到答案；
（3）根据（1）、（2）两问中的结果提出建议即可.
试题解析：
（1）当v=70km/h时，
S晴= 1100v2= 1100×702=49（m），S雨= 150v2=×702=98（m），
∴S雨-S晴=98-49=49（m）．
（2）当v1=80km/h， S1= 150v12=×802=128（m），
当v2=60km/h，S2=v22=×602=72（m），
刹车距离相差：S1-S2=128-72=56（m）．
（3）由（1）中的计算结果可知：在汽车速度相同的情况下，雨天的刹车距离要大于晴大的刹车距离；由（2）中的计算结果可知：在同是雨天的情况下，汽车速度越大，刹车距离也就越大．
因此请司机师傅在行车时一定要注意天气情况与车速．
17．（1）k2=20，b=6000（2）W取最大值为32500元；（3）当x=900时，W取得最小值27900元．
【解析】试题分析：（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x可得k1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y1=k2x+b可得k2、b．
（2）分0≤x<600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；
（3）根据种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2求得x的范围，依据二次函数的性质可得．
解：（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；
将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：，
解得：；
（2）当0≤x＜600时，
W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，
∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，
∴当x=500时，W取得最大值为32500元；
当600≤x≤1000时，
W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，
∵﹣0.01＜0，
∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x=600时，W取最大值为32400，
∵32400＜32500，
∴W取最大值为32500元；
（3）由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，
由x≥700，
则700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，
∴当x=900时，W取得最小值27900元．
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的实际应用，利用二次函数的增减性求最值，利用配方法求二次函数的最值.
18．（1）①当时，;②当时, ；（2）最多可节约9040-7200=1840元；（3）a=8.
【解析】分析：
（1）设玩具的批发价为m，购买的数量为n，则由已知条件易得（）；由题意可得，由此可得，然后分①；②两种情况结合已知条件求出y与x的函数关系式即可；
（2）由题意将（1）中所得当时所得的函数关系式配方，即可求得两个商店分别购买所需资金的最大量，再由已知条件计算出两个商店联合购买所需的资金两，两者比较，即可得到所求的值；
（3）由题意可知，单独购买时，所需的最大金额不变，而联合购买所需资金为：120（60- a）=7200-120a，由题意可得：9040-（7200-120a）=2800，解此关于a的方程即可求得所求的值.
详解：
（1）由图可设玩具批发价m，数量为n，则m=kn+b()，
把 (50,80),(100,60)代入可求得.
由题意得,解得.
①当时，;
②当时, .
（2）∵甲商店数量不超过100个，∴，∴.
∵，.
∴x=70时，y最大值=9040（元）.
两商店联合购买需120×60=7200（元），
∴最多可节约9040-7200=1840（元）.
（3）单独购买不变，联合购买需120（60- a）=7200-120a（元）,
∴9040-（7200-120a）=2800，解得a=8.
点睛：（1）解第1小题时，读懂题意，分析出存在①；②两种情况是解题的关键；（2）解第3小题时，读懂题意，知道单独购买，不符合降价条件，由此得到单独购买所需最大资金和第2小题相同是解题的关键.
19．见解析
【解析】分析：(1)、利用待定系数法求出函数解析式；(2)①、根据题意列出方程，从而求出x的值，然后根据利润不高于100%得出答案；②、根据题意得出W与x的函数关系式，然后根据二次函数的增减性得出答案．
详解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，将和分别的代入y=kx+b得，
，解得，所以，
（2）①据题意得： ，
又因为，
当销售单价时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元．
②据题意得，，，
即当
所以，当销售单价时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大，最大利润．
点睛：本题主要考查的是待定系数法求函数解析式、一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是列出方程和函数解析式．
20．（1）每份套餐的售价应不低于9元（2）该套餐售价应定为11元
【解析】分析：(1)、根据利润=(售价－进价)×数量－固定支出列出函数表达式；(2)、根据题意得出不等式，从而得出答案；(2)、根据题意得出函数关系式，然后将y=1560代入函数解析式，从而求出x的值得出答案．
详解：（1）①y=400（x﹣5）﹣600．（5＜x≤10），
②依题意得：400（x﹣5）﹣600≥800， 解得：x≥8.5，
∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x（元）取整数， ∴每份套餐的售价应不低于9元．
（2）依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，
y=（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，
当y=1560时， （x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600=1560，
解得：x1=11，x2=14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1=11，即x2=14不符合题意．
故该套餐售价应定为11元．
点睛：本题主要考查的是一次函数和二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题型．理解题意，列出关系式是解决这个问题的关键．
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