[3.4 第1课时 棱柱的表面展开图]
一、选择题
1．2016·绍兴如图K－57－1是一个正方体，则它的表面展开图可以是( )
图K－57－1
图K－57－2
2．2017·北京如图K－57－3是某个几何体的表面展开图，则该几何体是( )
图K－57－3
A．三棱柱 B．圆锥
C．四棱柱 D．圆柱
3．2017·舟山一个立方体的表面展开图如图K－57－4所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是( )21*cnjy*com
图K－57－4
A. 中 B．考 C．顺 D．利
4．下列图形中沿虚线折叠能围成一个棱柱的是( )
图K－57－5
5．如图K－57－6，有一个正方体纸巾盒，它的表面展开图是( )
图K－57－6
图K－57－7
6．如图K－57－8，正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开(外表面朝上)，展开图可能是( ) 21·cn·jy·com
图K－57－8
图K－57－9
7．2016·枣庄有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置(如图K－57－10)，请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是( )21世纪教育网
图K－57－10
A．白 B．红 C．黄 D．黑
8．如图K－57－11①是由六个边长为1的小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是( )
图K－57－11
A．0 B．1 C. D.
二、填空题
9．以下三组图形都是由四个等边三角形组成的，能折成多面体的图形序号是________．
图K－57－12
10．把图K－57－13折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的平方根与y的算术平方根之积为________.www.21-cn-jy.com
图K－57－13
11．如图K－57－14所示为一个无盖长方体盒子的展开图(重叠部分不计)，根据图中数据，可知该无盖长方体盒子的容积为________．21cnjy.com
图K－57－14
12．如图K－57－15，将一张边长为6 cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好能围成一个底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为________cm2.【21·世纪·教育·网】
图K－57－15
三、解答题
13．如图K－57－16所示，在无阴影的方格中选出两个涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成一正方体的表面展开图．(给出两种答案)
图K－57－16
14．如图K－57－17是某品牌牙膏的软包装盒，其尺寸如图所标(单位： cm)，请画出这种包装盒的表面展开图，并计算这个包装盒的表面积.21·世纪*教育网
图K－57－17
15．如图K－57－18是一个食品包装盒的表面展开图．
(1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称；
(2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积．
图K－57－18
16．如图K－57－19，一只蚂蚁要沿着正方体的外表面从正方体的一个顶点A爬到另一个顶点B，如果正方体的棱长是2，求蚂蚁爬行的最短路线长.21教育网
图K－57－19
17综合探究如图K－57－20①②所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图②所示．已知展开图中每个小正方形的边长均为1.2·1·c·n·j·y
(1)在该展开图中画出最长长度的线段，这样的线段可画几条？
(2)试比较立体图中∠BAC与表面展开图中∠B′A′C′的大小关系．
图K－57－20
1．[解析] B A．含有“田”字形，不能折成正方体，故A错误；B.能折成正方体，故B正确；C.含有“凹”字形，不能折成正方体，故C错误；D.含有“田”字形，不能折成正方体，故D错误．故选B.www-2-1-cnjy-com
2．[答案] A
3．[答案] C
4．[答案] D
5．[答案] B
6．[答案] D
7．[答案] C
8．[答案] B
9．[答案] ①③
[解析] 只有图①、图③能够折成一个三棱锥．故答案为①③.
10．[答案] ±
11．[答案] 6
[解析] 观察图形可知长方体盒子的长＝5－(3－1)＝3，宽＝3－1＝2，高＝1，
则盒子的容积＝3×2×1＝6.
12．[答案] (36－12 )
[解析] ∵将一张边长为6 cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，
∴侧面为长为6 cm，宽为(6－2 )cm的长方形，
∴这个六棱柱的侧面积为6×(6－2 )＝(36－12 )cm2.
13．解：如图所示(答案不唯一)：
14．解：表面展开图如图(答案不唯一)．
S表＝2×(4×5＋4×21＋5×21)＝418(cm2)．
即这个包装盒的表面积为418 cm2.
15．解：(1)直六棱柱．
(2)S侧＝6ab.
16．解：将正方体的表面展开，如图所示，显然线段AB即为最短路线， 由勾股定理可得AB＝＝2 .2-1-c-n-j-y
17解：(1)在表面展开图中可画出最长的线段长为，如图①中的A′C′，
这样的线段可画4条(另三条用虚线标出)．
(2)∵立体图中∠BAC为等腰直角三角形的一个锐角，∴∠BAC＝45°.
在表面展开图中，连结B′C′，如图②，
由勾股定理可得A′B′＝，B′C′＝.
∵A′B′2＋B′C′2＝A′C′2，
∴由勾股定理的逆定理可得△A′B′C′为直角三角形．
又∵A′B′＝B′C′，
∴△A′B′C′为等腰直角三角形．
∴∠B′A′C＝45°.
∴∠BAC与∠B′A′C′相等．
[3.4 第2课时 圆柱的表面展开图]
一、选择题
1．2017·湖州如图K－58－1是按1∶10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( )21cnjy.com
图K－58－1
A．200 cm2
B．600 cm2
C．100π cm2
D．200π cm2
2．用一张边长为20 cm的正方形纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径是( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
3．有一个圆柱形油罐，其底面直径与高相等. 现要在储油罐的表面均匀涂上一层油漆(不计损耗)，则两个底面所需油漆量与侧面所需油漆量之比是( )21·cn·jy·com
A．1∶1 B．2∶1
C．1∶2 D．1∶4
4．如图K－58－2，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( )21教育网
图K－58－2
A．4 dm B．2 dm
C．2 dm D．4 dm
二、填空题
5．已知圆柱的底面半径为2，其侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是________．
6．已知圆柱的母线长为5 cm，侧面积为20π cm，则底面圆的半径为________．
7．无盖圆柱形环保清洁桶底面半径为0.3 m，高为0.8 m，用来做底的材料每平方米的造价为30元，做侧面的材料每平方米的造价为20元，则做一个这样的清洁桶的材料费为________元．www.21-cn-jy.com
8．已知矩形ABCD的一边AB＝10，AD＝3，若分别以直线AB，AD为轴旋转一周，则所得几何体的全面积的比为________．21世纪教育网
三、解答题
9．在矩形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝4 cm，若以AB为轴，将矩形旋转一周，请以适当的比例画出所得圆柱的表面展开图，并计算它的侧面积和全面积．
10．如图K－58－3①，O为圆柱形铁桶底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝30 cm.测量出AD所对的圆心角为120°，如图②所示．求⊙O的半径．2·1·c·n·j·y
图K－58－3
11分类讨论如图K－58－4，地面上有一个圆柱，在圆柱的下底面的点A处有一只蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行吃到上底面与点A相对的点B处的食物．【21·世纪·教育·网】
(1)若圆柱的母线长l＝12π，底面半径r＝9，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程；
(2)若圆柱的母线长为l，底面半径为r，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程．
图K－58－4
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[答案] A
3．[答案] C
4．[答案] A
5．[答案] 16π2
6．[答案] 2 cm
7．[答案] 12.3π
8．[答案] 39∶130
9．解：表面展开图如图所示：
S侧＝2πrl＝2π×4×8＝64π(cm2)；
S全＝2πr2＋2πrl＝2π×42＋2π×4×8＝96π(cm2)．
10．解：过点O作OE⊥AD，垂足为E，如图所示．
∵OE⊥AD，∠AOD＝120°，AD＝30 cm，
∴AE＝DE＝AD＝15 cm，∠AOE＝∠AOD＝60°.
在Rt△AOE中，sin∠AOE＝，
∴OA＝＝＝10 (cm)，
即⊙O的半径为10 cm.
11解：(1)如图，将圆柱的侧面沿母线AC所在的直线展开，连结AB.
由题意，得BC＝×2π×9＝9π.
在Rt△ABC中，AB＝＝＝15π.
即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为15π.
(2)方案1：若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，同(1)，AB＝.
方案2：若蚂蚁沿圆柱母线和底面直径爬行，则AB＝l＋2r.
①解＝l＋2r，得l＝r，即l＝r时，方案1，2路程相同，均是最短路程；
②解>l＋2r，得l③解r，即l>r时，方案1路程最短．
3.4 第3课时 圆锥的表面展开图
一、选择题
图K－59－1
1．2017·南充如图K－59－1，在Rt△ABC中，AC＝5 cm，BC＝12 cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( )
A．60π cm2 B．65π cm2
C．120π cm2 D．130π cm2
2．若圆锥侧面展开图是半径为3 cm的半圆，则此圆锥的底面半径是( )
A．1.5 cm B．2 cm C．2.5 cm D．3 cm
3．已知圆锥的母线长为6 cm，底面圆的半径为3 cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．180°
4．如图K－59－2所示，在正方形铁皮图(a)上剪下一个圆和一个扇形，使之恰好围成一个如图(b)所示的圆锥模型，设圆的半径为r，扇形的半径为R，则R与r之间的关系为( )21世纪教育网
A．R＝2r B．R＝r C．R＝3r D．R＝4r
图K－59－2
5．2017·绵阳“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图K－59－3所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱部分的高BC＝6 cm，圆锥体部分的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是( )21教育网
图K－59－3
A．68π cm2 B．74π cm2
C．84π cm2 D．100π cm2
二、填空题
6．若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则将这个圆锥的侧面展开后所得的扇形圆心角的度数是________．21·cn·jy·com
7．2017·莱芜圆锥的底面周长为，母线长为2，P是母线OA的中点，一根细绳(无弹性)从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为__________.
三、解答题
8．如图K－59－4，在⊙O中，AB＝4 ，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，∠A＝30°.
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面半径.
图K－59－4
9．如图K－59－5所示，有一个圆锥形的粮堆，过一条直径两端点的两条母线与该直径组成一个边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程.
图K－59－5
10拓展探究如图K－59－6，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 ，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所得几何体的表面积．
图K－59－6
1．[答案] B
2．[解析] A ∵扇形是半径为3 cm的半圆，∴侧面展开图的弧长为π×3＝3π(cm)，∴圆锥底面圆的周长为3π cm，设其半径为r cm，则2πr＝3π.由此可求出r＝1.5.
3．[答案] D
4．D.
5．[答案] C
6．[答案] 180°
7．[答案] 1
[解析] 将圆锥的侧面展开，如图．
取OA′的中点P′，连结PP′，则PP′ 的长即为细绳的最短长度．
设∠O＝n°，由题意得＝，
∴∠O＝60°.
∵OP＝OP′＝×2＝1，
∴△OPP′是等边三角形，
∴PP′＝1.
8．[解析] 要求图中扇形的面积，关键是求出⊙O的半径及圆心角∠BOD的度数．
解：(1)连结BC.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，∵AB＝4 ，∠A＝30°，
∴AC＝8.
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°.
∵AC⊥BD，∴∠BOD＝2∠BOC＝120°，
∴S阴影＝＝＝.
即阴影部分的面积为π.
(2)设圆锥的底面半径为r，则底面周长为2πr，∴2πr＝，解得r＝.
故这个圆锥的底面半径为.
9．解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，
侧面展开后扇形圆心角为n°，故2πr＝πl，
由题设知2r＝l＝6 m，
∴n＝180，即侧面展开图为一个半圆，如图所示．
则△ABP为直角三角形，BP即为最短路线．
在Rt△ABP中，AB＝6 m，AP＝AB＝3 m，
∴BP＝＝＝3 (m)．
答：小猫所经过的最短路程是3 m.
10解：如图，过点C作CE⊥AD交其延长线于点E，延长AD，BC交于点F.
∵∠ADC＝135°，
∴∠CDE＝45°.
∵CD＝2，
∴DE＝CE＝2.
∵AD＝2，∴AE＝4.
∵∠DAB＝90°，
∴CE∥AB，
∴△FEC∽△FAB，
∴＝＝，
∴＝，
∴FE＝，∴FC＝＝.
由勾股定理可求得FB＝，∴BC＝5.
∴S表＝S圆锥FAB侧－S圆锥FCE侧＋S圆锥DCE侧＋S⊙A＝π×5×－π×2×＋π×2×2＋π×52＝(60＋4 )π.21cnjy.com
