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浙教版八下数学期末总复习平行四边形学案（2)答案
考点四：平行四边形的综合应用：
典例精讲：
例4.(1)解析：∵平行四边形ABCD，∴，
∴,∴,
∵F是AD的中点，∴，
∵，∴，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）分别过A，F作，
∵，∵AB=4，
，
∴，
∵∴，
在中，∵FN=，，
∴
变式训练：
解析：⑴证明：∵AE⊥BD CF⊥BD ， ∴AE∥CF，
又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD
∴四边形CMAN是平行四边形
⑵由⑴知四边形CMAN是平行四边形，∴CM=AN.
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，∠MDE=∠NBF.
∴AB-AN=CD-CM，即DM=BN.
在△MDE和∠NBF中
∴△MDE≌∠NBF， ∴DE=BF=4，
由勾股定理得BN=.
∴BN的长为5.
典例精讲：
例5.解析：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，，
∴DG=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6．21cnjy.com
变式训练：
解析：（1）证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=AB，BE=AB．∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四边形BCFD是平行四边形．
（3）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，
∴∠CAH=90°．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2．∴AD=AB=2．
设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2﹣x，
在Rt△ABC中，AC2=22﹣12=3，
在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3=（2﹣x）2，
解得x=，即AH=．
典例精讲：
例6.解析：（1）当点PD在AB上运动时，
∵平行四边形ABCD，∴，
∴，，
∴△DOQ≌△BOP（AAS）
∴，
∴四边形PBQD是平行四边形；
（2）当点P在AB上时，
由（1）知四边形PBQD是平行四边形，
当时，平行四边形PBQD是矩形，
∵，∴，
∴当秒时，平行四边形PBQD是矩形，
当P在BC上运动时，同理（1）可证BPDQ是平行四边形，
当时，平行四边形BPDQ是矩形，
∵，
∴当，即时，平行四边形BPDQ是矩形，
变式训练：
解析：（1）∵直线，
∴A，C，∴
∴，
设， ∵，
∴，解得：，∴E
∵直线CE过，C
∴直线CE的解析式为：
（2）过D作，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∵D在上，∴D
（3）当MDCN是平行四边形时，，
∵轴，∴轴，
∵M在上，设，
∴
∵，∴MN的解析式为：，过
∴，
∴
∴，解得：
∴
∴当时，四边形MDCN是平行四边形
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典例精讲：
例7.解析：（1）过D作轴于H，在中，
∵，∴
∴，
∵，∴，，
∵，
∴，∴
（3）证明∵过，∴，
过C作轴于K，得：△AHD≌△BKC，
∴，∴，
∵，
∴C不在上，
（3）∵，∴
∴
∴在上，∴，
∵在上，∴，
当C，D同时在同一反比例函数的图象上时，，
∴，解得，∴不存在
变式训练：
1.解析：(1)∵两个完全相同的平行四边形纸片ABCD、BFDE，
根据平行四边形的对边平行，
∴BC∥AD,BE∥DF，
∴四边形BNDM是平行四边形，
(2)当AB=BF时，四边形BNDM是菱形。
在△ABM和△FBN中，
∠ABM=∠FBN；AB=BF；∠A=∠BFN
∴△ABM≌△FBN(ASA)，
∴BM=BN，
∴四边形BNDM是菱形。
2.解析：①以PQAD构成四边形
设X秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24-3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设Y秒成为平行四边形
根据题意得：
10-y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
故答案为6秒、2.5秒．21教育网
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浙教版八下数学期末总复习平行四边形学案（2）作业
1.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形．21·cn·jy·com
2. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及 等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF. 2·1·c·n·j·y
（1）试说明AC＝EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
3.如图，在 ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）试说明：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE的延长线与AB的延长线相交于点F.（1）求证：△CDE≌△BFE；21cnjy.com
（2）试连接BD、CF，判断四边形CDBF的形状，并证明你的结论
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=12，求四边形DEFG的周长.21教育网
6.如图，E是 ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=10，EF=6，求CD的长．
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7.如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．www.21-cn-jy.com
8.在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分∠AEC
（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠A=90°，BC=5，AE=1，求线段BE的长．
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浙教版八下数学期末总复习平行四边形学案（2）作业答案
1.解析：∵
∵E，F分别为OC，OD的中点，
∴OE=OF，
∴四边形AFBE是平行四边形
2.解析：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF ∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
3.解析：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°．
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF．
（2）DF=CE，
∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB．∴∠DEA=∠DAE．
∴DE=AD．
同理可得，CF=BC．
又∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
∴DE﹣EF=CF﹣EF．
即DF=CE．
4.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD即AF∥CD．∴∠F=∠CDE
∵BE=CE，∠BEF=∠CED∴△CDE≌△BFE
（2）由（1）知：△CDE≌△BFE
∴DE=FE又BE=CE，
∴四边形DBFC为平行四边形．
5.解析：∵
∴，
∵，G是AB的中点，
∴，
∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，
∴，
∴四边形DEFG的周长为
6.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是 ABCD的边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）解：∵ADE≌△FCE，
∴AE=EF=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°，
在 ABCD中，AD=BC=5，
∴DE=
∴CD=2DE=8． 21教育网
7.解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，，∴AF∥EC，
∵BE=DF，，∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC，，∴∠1=∠2，
∵∠BAC=90°，
∴∠3=90°-∠2，∠4=90°-∠1，
∴∠3=∠4，∴AE=BE，
∴BE=AE=CE=BC=5． 21世纪教育网
8.解析：（1）如图1中，结论：△BCE是等腰三角形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠AEC，
∴∠AEB=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE，
∴△CBE是等腰三角形．
（2）解：如图2中，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，
在RT△ECD中，∵∠D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，
∴AB=CD=，
在RT△AEB中，∵∠A=90°AB=3．AE=1，
∴BE= 21cnjy.com
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浙教版八下数学期末总复习平行四边形学案（2)
考点四：平行四边形的综合应用：
典例精讲：
例4.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使，连结DE，CF, （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若，求DE的长.【21·世纪·教育·网】
变式训练：
如图,平行四边形ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD、AB于M、N.(1)求证:四边形CMAN是平行四边形;
(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.
典例精讲：
例5.如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
变式训练：
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．21世纪教育网
（1）求证：△AEF≌△BEC；
（2）判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由；
（3）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，若BC=1，求AH的长．
典例精讲：
例6.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线BD的中点,AD=6cm,AB=8cm,∠BAD=60°,动点P从点A出发,以2cm/的速度沿折线向终点C运动,连结PO并延长交折线于点Q,设点P的运动时间为t(s).21教育网
(1)当P在AB边上运动时,求证:四边形PBQD为平行四边形；
(2)当取何值时,以D、P、B、Q四点为顶点的四边形是矩形,并说明理由；
变式训练：
如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别相交于点A、C,将Rt△OAC折叠,使0C边落在AC边上,点0与点D重合,折痕为CE.21cnjy.com
（1）求折痕CE所在直线的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)设点M为直线CE上的一点,过点M作AC的平行线,交y轴于点N,是否存在这样的点M,使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请求出符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由。www.21-cn-jy.com
典例精讲：
例7.如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，
OA=1，OB=，以AB为边在第二象限作□ABCD，∠DAB=75°.
（1）若BC=AB，求点D的坐标；
（2）在（1）的情况下，若反比例函数的图像经过D点，
求证：点C不在反比例函数 的图像上；
（3）问是否存在m，使得BC=mAB，且C、D两点均在反比例函数的图像上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.21·cn·jy·com
变式训练：
1.如图，在平行四边形ABCD和矩形BFDE中，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N.
(1)四边形BNDM一定是平行四边形吗 为什么
(2)在什么条件下，四边形BNDM是菱形，说明理由。
2.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？2·1·c·n·j·y
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