九年级数学上册第二章简单事件的概率微专题概率与代数、几何的综合随堂练习（含解析）

概率与代数、几何的综合_
一　概率与代数式的综合
(教材P59作业题第2题)
下表是中国人民银行公布的中国人寿保险经验生命表(2000～2003年)女性表的部分摘录．根据下表估算下列概率(结果精确到0.000 1)．
年龄x
生存人数lx
死亡人数dx
0
1 000 000
661
1
999 339
536
30
991 476
403
31
991 074
428
61
938 005
6 064
62
931 941
6 743
63
925 198
7 489
64
917 709
8 314
79
649 175
32 429
80
616 746
34 398
81
582 347
36 253
82
546 095
37 950
(1)一名女性79岁当年死亡的概率；
(2)一名61岁的女性活到80岁的概率．
解：(1)一名女性79岁当年死亡的概率P＝＝≈0.050 0；
(2)一名61岁的女性活到80岁的概率P＝≈0.657 5.
【思想方法】 概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率，只不过应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件数．一般的方法是先利用列表或画树状图求出所有等可能的情况，然后求出满足所涉及知识的情形，再求概率，此类问题能很好地考查概率与其他知识的综合运用．
　[2016·滨州]有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π，，，1.333，随机抽取1张，则取出的数是无理数的概率是____．
　有3张卡片(形状、大小、颜色、质地都相同)，正面分别写上整式x2＋1，－x2－2，3.将这3张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取1张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取1张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式.
(1)请用画树状图或列表的方法，写出代数式所有可能的结果；
(2)求代数式恰好是分式的概率．
解：(1)画树状图如答图；
变形2答图
或者列表如下；
第一次
　
第二次　　　
x2＋1
－x2－2
3
x2＋1
－x2－2
3
(2)代数式所有可能的结果共有6种，每种结果出现的可能性相等，其中代数式是分式的结果有4种，
∴代数式恰好是分式的概率P＝＝.
二　概率与几何图形的综合
　小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图1所示的靶子，E，F分别是矩形ABCD的两边AD，BC上的点，且EF∥AB，M，N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是(　C　)
A. B.
C. D.

图1 图2
　如图2，有以下3个条件：①AC＝AB；②AB∥CD；③∠1＝∠2，从这3个条件中选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是(　D　)
A．0 B. C. D．1
　如图3，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上．
(1)现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是__△DFG或△DHF__(只需要填一个三角形)；
(2)先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率(用画树状图或列表法求解)．
图3
解：(2)画树状图如答图．
变形3答图
由树状图可知共有6种等可能结果，其中与△ABC面积相等的有3种，即△DHF，△DGF和△EGF，
∴所画三角形与△ABC面积相等的概率P＝＝.
三　概率与方程(或不等式)的综合
　有 9 张卡片，分别写有 1～9 这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出1张，记卡片上的数字为 a，则使关于 x 的不等式组 有解的概率为____．
【解析】 设不等式组有解，则不等式组 的解为3≤x<，那么必须满足条件>3?a>5，∴满足条件的a的值为6，7，8，9，∴有解的概率P＝.
　大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字－1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽取一张，将其正面的数字作为p的值；然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为q的值，两次结果记为(p，q)．
(1)请你帮他们用树状图或列表法表示(p，q)所有可能出现的结果；
(2)求满足关于x的方程x2＋px＋q＝0没有实数解的概率．
解：(1)列表表示(p，q)所有可能的结果如下，共有9种；
q
(p，q)　
p　　　　
－1
0
1
－1
(－1，－1)
(－1，0)
(－1，1)
0
(0，－1)
(0，0)
(0，1)
1
(1，－1)
(1，0)
(1，1)
　　(2)当p2－4q<0时，方程没有实数解，满足p2－4q<0的(p，q)共有3对：(－1，1)，(0，1)，(1，1)，
∴关于x的方程x2＋px＋q＝0没有实数解的概率P＝＝.
四　概率与平面直角坐标系的综合
[2017·湘潭]从－2，1，3这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标．
(1)写出该点所有可能的坐标；
(2)求该点在第一象限的概率．
解： (1)画树状图如答图，
变形1答图
∴所有可能的坐标为(1，3)，(1，－2)，(3，1)，(3，－2)，(－2，1)，(－2，3)；
(2)∵共有6种等可能的结果，其中点(1，3)，(3，1)落在第一象限，
∴该点刚好落在第一象限的概率为＝.
五　概率与反比例函数的综合
[2016·甘肃]在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2，乙袋中的小球上分别标有数字－1，－2，0.现从甲袋中任意摸出1个小球，记其标有的数字为x，再从乙袋中任意摸出1个小球，记其标有的数字为y，以此确定点M的坐标(x，y)．
(1)请你用画树状图或列表的方法，写出点M的所有可能的坐标；
(2)求点M(x，y)在函数y＝－的图象上的概率．
解：(1)列表如下；
x　
y
－1
－2
0
0
(0，－1)
(0，－2)
(0，0)
1
(1，－1)
(1，－2)
(1，0)
2
(2，－1)
(2，－2)
(2，0)
(2)由上表可知，点M的坐标共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相等，其中在函数y＝－的图象上(记为事件A)的点M有2种，即(1，－2)和(2，－1)，
∴所求概率P(A)＝.
六　概率与一次函数的综合
在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标(x，y)．
(1)画树状图或列表，写出点Q所有可能的坐标；
(2)求点Q(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率；
(3)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6则小明胜，若x，y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．
解：(1)画树状图如答图，
变形1答图
则点Q所有可能的坐标为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种；
(2)∵共有12种等可能的结果，其中在函数y＝－x＋5的图象上的有4种：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
∴点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率为＝；
(3)这个游戏不公平．
理由：∵x，y满足xy＞6有(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种情况，x，y满足xy＜6有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种情况．
∴P(小明胜)＝＝，
P(小红胜)＝＝，
∴这个游戏不公平．
公平的游戏规则：若x，y满足xy≥6则小明胜，若x，y满足xy＜6则小红胜．