3.1__圆__
圆的有关概念
1．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为( B )
A．①③④ B．①③⑤
C．②③⑤ D．③④⑤
【解析】 ②，④都是错误的，弦一不定是直径，在同圆或等圆中优弧一定大于劣弧．故选B.
2．⊙O的半径为5 cm，点A到⊙O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为( B )
A．点A在圆上 B．点A在圆内
C．点A在圆外 D．无法确定
3．已知⊙O的半径为5 cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是( D )
A．5 cm B．4 cm
C．3 cm D．6 cm
【解析】 ∵点P在⊙O外，∴d>5 cm.故选D.
4．如图3－1－1，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为( A )
图3－1－1
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为d cm.
(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O__内__；
(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O__上__；
(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O__外__．
【解析】 d>r?点P在圆外；d＝r?点P在圆上；d6 .如图3－1－2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM是中线，以C为圆心， cm长为半径画圆，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？
图3－1－2
解：由勾股定理，得
AB＝＝2(cm)．
∵CA＝2 cm＜ cm，
∴点A在⊙C内；
∵BC＝4 cm＞ cm，
∴点B在⊙C外；
由直角三角形斜边上的中线性质，得CM＝ cm，
∴点M在⊙C上．
7．如图3－1－3，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r取何值时，点A，B在⊙C外？
(2)当r在什么范围内时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
图3－1－3
解：(1)当0＜r＜3时，点A，B在⊙C外；
(2)当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
8．[2017·枣庄]如图3－1－4，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画图，选取的格点中除A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( B )
A．2＜r＜ B.＜r＜3
C.＜r＜5 D．5＜r＜
图3－1－4 第8题答图
【解析】 给各点标上字母，如答图所示．由勾股定理可得AB＝＝2，AC＝AD＝＝，AE＝＝3，AF＝＝，AG＝AM＝AN＝＝5，∴当＜r＜3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．故选B.
9．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则⊙O的半径为__4或2__cm.
【解析】 当点P在⊙O内时，则直径为6＋2＝8(cm)，因而半径是4 cm；当点P在⊙O外时，则直径为6－2＝4(cm)，因而半径是2 cm，∴⊙O的半径为4 cm或2 cm.
10．如图3－1－5，AB，AC为⊙O的弦，连结CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.
求证：CE＝BF.
图3－1－5
证明：∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC.
又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
∴△EOB≌△FOC(ASA)，∴OE＝OF，∴CE＝BF.
11．如图3－1－6，已知OA，OB是⊙O的两条半径，C，D为OA，OB上的两点，且AC＝BD.
求证：AD＝BC.
图3－1－6
证明：∵OA，OB是⊙O的两条半径，∴AO＝BO.
又∵AC＝BD，∴OC＝OD.
在△OCB和△ODA中，
∴△OCB≌△ODA(SAS)，∴AD＝BC.
12．如图3－1－7，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径．
(1)试判断四边形ACBD是什么特殊的四边形，并说明理由；
(2)若⊙O的半径r＝2 cm，求四边形ACBD的面积．
图3－1－7
解：(1)∵OA＝OC＝OB＝OD，AB⊥CD，
∴四边形ACBD是正方形；
(2)S正方形ACBD＝AB·CD＝×4×4＝8(cm2)．
13．如图3－1－8，在⊙O中，AB为弦，C，D在AB上，且AC＝BD，请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明理由．
图3－1－8
解：等腰三角形有△OAB，△OCD.
理由：∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，∴∠A＝∠B.
又∵AC＝BD，OA＝OB，
∴△OAC≌△OBD(SAS)，∴OC＝OD，
∴△OCD是等腰三角形．
14．如图3－1－9，线段AD过圆心O交⊙O于D，C两点，∠EOD＝78°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．
图3－1－9 第14题答图
解：如答图，连结OB.
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝OB，∴∠1＝∠A.
又∵OB＝OE，
∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，
∴∠EOD＝∠E＋∠A＝3∠A，即3∠A＝78°，
∴∠A＝26°.
第2课时 确定圆的条件
1．下列命题正确的是( C )
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
D．矩形的四边中点在同一圆上
【解析】 A错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B错误，一个圆有无数个内接三角形；C正确，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；D错误，矩形中心到四边中点的距离不一定相等．故选C.
2．如图3－1－10，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )
图3－1－10
A．点P B．点Q
C．点R D．点M
3．一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是( C )
A．任意三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解析】 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部．故选C.
4．等边三角形的外心在它的( B )
A．外部 B．内部
C．边上 D．顶点处
【解析】 等边三角形是锐角三角形，锐角三角形的外心在三角形的内部．故选B.
5．[2017·永州]小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图3－1－11所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是( B )
图3－1－11
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高线所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【解析】 本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B.
6．已知线段AB＝6 cm.
(1)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__2__个；
(2)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__1__个；
(3)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__0__个．
7．如图3－1－12，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是____．
图3－1－12 第7题答图
【解析】 如答图，O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.
8．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图3－1－13中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)．
图3－1－13 第8题答图
解：如答图所示．
9．如图3－1－14，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
图3－1－14 第9题答图
解：(1)如答图①，⊙O即为所求作的花坛的位置；
(2)如答图②，∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，
∴BC＝＝10(m)，
∴△ABC外接圆的半径为5 m，
∴小明家圆形花坛的面积为S＝πr2＝25π(m2)．
10．平面内有五个点A，B，C，D，E，直线AB与直线CD正好相交于E，在这五个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是( C )
A. B. C. D.
11．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是__10或8__．
【解析】 由勾股定理可知，①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12时，直角三角形的斜边长为＝20，
则其外接圆半径为10.
综上所述，这个三角形的外接圆半径等于8或10.
12．如图3－1－15，平面直角坐标系中，点A(2，9)，B(2，3)，C(3，2)，D(9，2)在⊙P上．
图3－1－15
(1)在图中清晰标出点P的位置；
(2)写出点P的坐标．
解：(1)略；(2)(6，6)．
13．已知平面直角坐标系中的三个点A(1，－1)，B(－2，5)，C(4，－6)，判断过A，B，C这三个点能否确定一个圆，并说明理由．
解：能．理由：
设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．
把A(1，－1)，B(－2，5)代入，得
解得
∴直线AB的表达式为y＝－2x＋1，
当x＝4时，y＝－2x＋1＝－8＋1＝－7，
∴点C(4，－6)不在直线AB上，即点A，B，C不共线，∴过A，B，C这三个点能确定一个圆．
14．已知A，B，C三点．根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆．如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由．
(1)AB＝2＋1，BC＝4，AC＝2－1；
(2)AB＝AC＝10，BC＝12.
解：(1)∵2＋1＋2－1＝4，
∴AB＋AC＝BC，∴A，B，C三点共线，
∴A，B，C三点不能确定一个圆；
(2)∵10＋10＝20＞12，∴A，B，C三点不共线，
∴A，B，C三点能确定一个圆．
第14题答图
如答图，过点A作AD⊥BC，设AD上的点O为圆心，连结BO，
∵BC＝12，∴DB＝6，
∵AB＝10，∴AD＝＝8，
在Rt△BOD中，设OB＝x，则DO＝8－x，x2－62＝(8－x)2，解得x＝.
∴A，B，C三点能确定一个圆，半径为.
15．如图3－1－16，在△ABC中，点D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E.求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
图3－1－16 第15题答图
证明：如答图，∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1＝∠2.∵DE∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE.∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB＝90°，
∴∠EBD＋∠1＝∠EDB＋∠3＝90°，
∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝BE＝DE，
∴点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
16．如图3－1－17，在△ABC中，BD，CE是两条高线．求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
图3－1－17 第16题答图
证明：如答图，取BC的中点O，连结EO，DO，则EO，DO是Rt△BEC，Rt△BDC斜边上的中线，
∴EO＝DO＝BO＝CO＝BC，
∴B，C，D，E四点在同一个圆上.
