3.3__垂径定理__
第1课时 垂径定理
1．[2016·黄石]如图3－3－1，⊙的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB垂足为N，则ON＝( A )
图3－3－1
A．5 B．7
C．9 D．11
2．如图3－3－2，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是( B )
图3－3－2
A．CE＝DE B．AE＝OE
C.＝ D．△OCE≌△ODE
【解析】 ∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，＝，
∵CO＝DO，∠CEO＝∠DEO，
∴△OCE≌△ODE.
由已知条件不能确定AE和OE的关系．故选B.
3．[2017·泸州]如图3－3－3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( B )
A. B．2
C．6 D．8
图3－3－3 第3题答图
【解析】 如答图，连结OC，
则OC＝OB＝4，OE＝OB－AE＝4－1＝3，
CE＝DE＝＝，
CD＝2CE＝2.
4．[2017·长沙]如图3－3－4，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为__5__．
图3－3－4 第4题答图
【解析】 如答图，连结OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×6＝3，
设⊙O的半径为x，则OC＝x，
OE＝OB－BE＝x－1，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋CE2，
∴x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5，∴⊙O的半径为5.
5．[2017·眉山]如图3－3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm，DC＝2 cm，则OC＝__5__cm.
图3－3－5 第5题答图
【解析】 如答图，连结OA，
∵OC⊥AB，∴AD＝AB＝4 cm，
设⊙O的半径为R，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，
∴R2＝42＋(R－2)2，解得R＝5，∴OC＝5 cm.
6．[2016·绍兴]如图3－3－6①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为 __25____cm.
① ②
图3－3－6
【解析】 如答图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，
第6题答图
∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝20(cm)，∠ADO＝90°，
∵在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，
R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25.
7．[2016·宿迁]如图3－3－7，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为__2__．
图3－3－7 第7题答图
【解析】 如答图，过点C作CE⊥AB于点E.∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°，
∵在Rt△BCE中，∠CEB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，
∴CE＝BC＝1，BE＝＝＝，
∵CE⊥BD，∴DE＝EB，
∴BD＝2EB＝2.
8．如图3－3－8，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E.
(1)若AB＝8，OE＝3，求⊙O的半径；
(2)若CD＝10，DE＝2，求AB的长；
(3)若⊙O的半径为6，AB＝8，求DE的长．
图3－3－8 第8题答图
解：如答图，连结OA.
(1)∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝AB＝4.
∵在Rt△AOE中，OE＝3，
∴OA＝＝＝5，
∴⊙O的半径是5；
(2)∵CD是⊙O的直径，CD＝10，
∴OA＝CD＝5，
∵DE＝2，∴OE＝5－2＝3.
在Rt△AOE中，AE＝＝＝4，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AB＝2AE＝2×4＝8；
(3)∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝AB＝4.
∵在Rt△AOE中，OA＝6，
∴OE＝＝＝2，
∴DE＝OA－OE＝6－2.
9．如图3－3－9，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
图3－3－9 第9题答图
解：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，连结OB.
∵AB＝8 cm，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4(cm)．
∵⊙O的直径为10 cm，∴OB＝×10＝5(cm)，
∴OE＝＝＝3(cm)．
∵垂线段最短，半径最长，
∴3 cm≤OP≤5 cm.
10．如图3－3－10，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( C )
图3－3－10
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．非菱形的平行四边形
【解析】 ∵AB垂直平分半径OC，根据垂径定理可知AB与OC互相垂直平分，∴四边形OACB是菱形．故选C.
11．如图3－3－11，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为__(3，2)__．
图3－3－11 第11题答图
【解析】 如答图，过点P作PD⊥x轴于点D，连结OP.∵A(6，0)，PD⊥OA，∴OD＝OA＝3.
∵OP＝，OD＝3，
∴PD＝＝＝2，
∴点P的坐标为(3，2)．
12．如图3－3－12，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．
图3－3－12 第12题答图
证明：如答图，过点O作OH⊥AB，垂足为H，
则AH＝BH.又∵AC＝BD，
∴CH＝DH.又∵OH⊥AB，即OH⊥CD，
∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．
13．已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图3－3－13所示)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
图3－3－13 第13题答图
解：(1)证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD；
(2)如答图，连结OC，OA.
由(1)，得OE⊥AB且OE⊥CD，
∴CE＝＝＝2，
AE＝＝＝8，
∴AC＝AE－CE＝8－2.
14．如图3－3－14，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( C )
图3－3－14
A．3 B．4
C．3 D．4
【解析】 如答图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，连结OB，OD.
第14题答图
由垂径定理、勾股定理，得OM＝ON＝＝3.
∵弦AB，CD互相垂直，∴∠DPB＝90°.
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝OM＝3.故选C.
垂径定理的推论
1．下列命题中，正确的是( C )
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
D．弦垂线平分弦所对的弧
2．如图3－3－15，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( D )
图3－3－15
A．8 B．2 C．10 D．5
3．已知圆的半径为2 cm，圆中一条弦长为2 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( A )
A．1 cm B．2 cm C. cm D. cm
第3题答图
【解析】 如答图，连结OC，由垂径定理及其逆定理，知OC⊥AB且O，C，D三点共线，连结OA.
在Rt△AOC中，OC＝＝＝1(cm)，
∴CD＝OD－OC＝2－1＝1(cm)．故选A.
4．如图3－3－16，在⊙O中(填写你认为正确的结论)：
图3－3－16
(1)若MN⊥AB，垂足为C，MN为直径，则__AC＝BC，＝，＝__；
(2)若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则__MN⊥AB，＝，＝__；
(3)若MN⊥AB，AC＝BC，则__MN过圆心，＝，＝__；
(4)若＝，MN为直径，则__＝，AC＝BC，MN⊥AB__．
5．如图3－3－17，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则所在的⊙O的半径为____．
图3－3－17 第5题答图
【解析】 如答图，连结OC.
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过⊙O的圆心点O.
设半径为x，∵CD＝4，EM＝8，
∴CM＝CD＝2，OM＝8－OE＝8－x.
在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2，即(8－x)2＋22＝x2，解得x＝，
∴所在圆的半径为.
6．[2017·东台期中]某市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为120 m，A到BC的距离为4 m，如图3－3－18所示．
(1)请你帮他们求出该湖的半径；
(2)如果在圆周上再另取一点P，建造一座连结B，C，P三点的三角形艺术桥，且△BCP为直角三角形，问：这样的P点可以有几处？如何找到？
图3－3－18 第6题答图
解：如答图，设圆心为点O，连结OB，OA，OA交线段BC于点D，
∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝60，∵DA＝4 m，
在Rt△BDO中，OB2＝OD2＋BD2，
设OB＝x m，则x2＝(x－4)2＋602，解得x＝452.
∴人工湖的半径为452 m；
(2)这样的P点可以有2处，过点B或点C作BC的垂线交圆于一点，此点即为P点．
7．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”(如图3－3－19①)
① ②
图3－3－19
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB＝__1____寸，CD＝__10__寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
解：如答图，连结CO.
第7题答图
∵BO⊥CD，
∴CA＝CD＝5寸．
设CO＝OB＝x寸，则AO＝
(x－1)寸，
∵在Rt△CAO中，∠CAO＝90°，
∴AO2＋CA2＝CO2.
∴(x－1)2＋52＝x2，解得x＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
8．一条排水管的截面如图3－3－20所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，排水管水面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽CD等于__1.6__m.
图3－3－20 第8题答图
【解析】 如答图，连结OD，OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，与CD交于点F，
∵OB＝1 m，EB＝0.6 m，由勾股定理得OE＝0.8 m，∵EF＝0.2 m，∴OF＝0.6 m，
∵在Rt△ODF中，OF＝0.6 m，OD＝1 m，
∴FD＝0.8 m，∴CD＝1.6 m.
9．已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥弦CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，求AB，CD之间的距离．
解：当AB，CD如答图①所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连结OA，OC.
∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB.
由垂径定理可知AF＝AB＝×24＝12(cm)，
CE＝CD＝×10＝5(cm)．
在Rt△CEO中，OE＝＝＝12(cm)，
同理，OF＝＝＝5(cm)，
∴EF＝OE－OF＝12－5＝7(cm)；
① ②
第9题答图
当AB，CD如答图②所示时，过点O作OE⊥CD于点E，反向延长交AB于点F，连结OA，OC，可得OE＝12 cm，OF＝5 cm，
∴EF＝OE＋OF＝12＋5＝17(cm)．
综上所述，AB，CD之间的距离为7 cm或17 cm.
10．如图3－3－21，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在⊙O的半径．
图3－3－21
解：由垂径定理，得BF＝AB＝1.5(m)，OE⊥AB.
设⊙O半径为x(m)，则OF＝(x－1) m.
在Rt△OBF中，由勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，
解得x＝1.625.
∴弧AB所在⊙O的半径是1.625 m.
11．如图3－3－22，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m，宽AB为3 m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7 m.
(1)求所在圆的半径；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m，宽2.3 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？
图3－3－22 第11题答图
解：(1)如答图，设圆心为点O，半径为R(m)，连结OE交AD于点F，连结OA，OD，则OF＝R－(7－3)＝(R－4) m.
由垂径定理的逆定理，得OF垂直平分AD，则AF＝6 m.
由勾股定理，得AF2＋OF2＝OA2，即62＋(R－4)2＝R2，解得R＝6.5，
即所在圆的半径为6.5 m；
(2)如答图，在上取H，过点H作GH⊥OE交OE于点G，则车宽GH＝2.3 m，圆的半径OH＝6.5 m，
由勾股定理，得OG＝
＝≈6.08(m)，
∴点G与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58(m)＞6.5(m)，
∴这辆货运卡车能通过该隧道，但要小心．
