3.4__圆心角__
圆心角定理
1．下列语句中，正确的是( A )
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
2．如图3－4－1是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，将下列哪一个角作为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合( C )
A．60° B．90°
C．120° D．180°
图3－4－1 图3－4－2
3．如图3－4－2，O是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA，OB分别交小圆于C，D两点，则下列结论中正确的是( C )
A.＝ B．AB＝CD
C．AB∥CD D．AC∥BD
【解析】 ∵OC＝OD，OA＝OB，
∴∠OCD＝∠OAB＝(180°－∠AOB)，
∴AB∥CD.故选C.
4．把一张圆形纸片按如图3－4－3的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是( C )
图3－4－3
A．120° B．135° C．150° D．165°
【解析】 如答图，连结BO，过点O作OE⊥AB于点E.
第4题答图
由题意，得EO＝BO，AB∥DC，
可得∠EBO＝30°，
∴∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，
∴的度数是150°.故选C.
5．如图3－4－4，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的线段有__OC，OD，OB，AC，CD，DB__，与相等的弧有__，__．
图3－4－4
6．一条弦把圆分成1∶3的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为__90°__．
【解析】 劣弧的度数为×360°＝90°，∴它所对的圆心角的度数为90°.
7．如图3－4－5，若∠AOB＝100°，则的度数为__260°__；若的度数为250°，则∠AOB＝__110°__．
图3－4－5
【解析】 当∠AOB＝100°时，的度数为100°，的度数为360°－100°＝260°；当的度数为250°时，的度数为360°－250°＝110°，∴∠AOB＝110°.
8．如图3－4－6，AB，CD，EF都是⊙O的直径，且∠1＝∠2＝∠3，判断⊙O的弦AC，BE，DF的大小关系，并说明理由．
图3－4－6
解：AC＝BE＝DF.理由：
∵∠1＝∠2＝∠3，∠1＝∠AOC，∠2＝∠BOE，∠3＝∠DOF，
∴∠AOC＝∠BOE＝∠DOF，∴AC＝BE＝DF.
9．如图3－4－7，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3 cm.
图3－4－7
(1)求证：＝；
(2)能否求出BD的长？若能，求出BD的长；若不能，请说明理由．
解： (1)证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠COB＝∠2＋∠COB，
即∠DOB＝∠COA，∴＝；
(2)∵＝，∴BD＝AC.
又∵AC＝3 cm，∴BD＝3 cm.
10．如图3－4－8，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为40°，求∠AOC的度数．
图3－4－8 第10题答图
解：如答图，连结OE.
∵的度数为40°，∴∠COE＝40°，
∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCE＝(180°－40°)÷2＝70°，
∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°.
11．如图3－4－9，点A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝∠BOC＝120°.求证：△ABC是等边三角形．
图3－4－9
证明：∵点A，B，C在⊙O上，
∴∠AOB，∠BOC，∠AOC都是圆心角，
又∵∠AOB＝∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
12．如图3－4－10，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC.求证：AD＝DC.
图3－4－10 第12题答图
证明：如答图，连结OC.
∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.
13．如图3－4－11，△ABC是等边三角形，以BC为直径画⊙O分别交AB，AC于点D，E.求证：BD＝CE.
图3－4－11 第13题答图
证明：如答图，连结OD，OE.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.
又∵OB＝OD，OE＝OC，
∴△BOD，△OEC都是等边三角形，
∴BD＝CE.
14．如图3－4－12，AB是⊙O的弦，C，D为弦AB上的两点，且OC＝OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.求证：＝.
图3－4－12 第14题答图
证明：如答图，过点O作OG⊥AB于点G.
∵OC＝OD，OG⊥AB，∴∠COG＝∠DOG.
∵OA＝OB，OG⊥AB，∴∠AOG＝∠BOG，
∴∠AOE＝∠BOF，∴＝.
15．如图3－4－13，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，以B为圆心，AB为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E.求证：
(1)＝2；
(2)D是AC的中点．
图3－4－13 第15题答图
证明：(1)如答图，连结BD.
∵∠A＝60°，BA＝BD，
∴∠ABD＝60°，即的度数为60°.
∵∠ABC＝90°，∴∠DBE＝30°，
即的度数为30°，∴＝2；
(2)∵∠C＝180°－∠A－∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠C，∴DC＝DB.
由(1)得△ABD为等边三角形，∴DB＝AD，
∴DC＝AD，即D为AC的中点．
第2课时 圆心角定理的推论
1．下列说法中正确的是( B )
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等
【解析】 圆心角定理及逆定理的条件是在同圆或等圆中，∴A，C，D都不正确．B中“等弧”隐含着“同圆或等圆中”这个条件．故选B.
2．如图3－4－14，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B的度数为( B )
A．150° B．75°
C．60° D．15°
图3－4－14 图3－4－15
3．[2016·兰州]如图3－4－15，在⊙O中，C是弧的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( A )
A. 40° B. 45°
C. 50° D．60°
4．如图3－4－16，已知AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝( C )
A．40° B．60°
C．80° D．120°
【解析】 根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，故由＝＝，得∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＋∠COD＋∠DOE＝120°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝40°，∴∠COE＝80°.故选C.
图3－4－16 图3－4－17
5．如图3－4－17，C，D为半圆上的三等分点，则下列说法正确的有( A )
①＝＝；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
6．AB，CD是⊙O的两条弦，OM，ON是弦AB，CD的弦心距，则
(1)如果AB＝CD，那么__∠AOB＝∠COD__，__＝__，__OM＝ON__；
(2)如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD__，__OM＝ON__；
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__OM＝ON__，__AB＝CD__，__＝__；
(4)如果OM＝ON，那么__∠AOB＝∠COD__，__AB＝CD__，__＝__．
7．如图3－4－18，圆心角∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数是__20__度．
图3－4－18 图3－4－19
8．如图3－4－19，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，则①AB＝CD；②＝；③PO＝PE；④＝；⑤PB＝PD.其中结论正确的是__①②④⑤__(填所有正确结论的序号)．
9．[2017·牡丹江]如图3－4－20，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE.
图3－4－20 第9题答图
证明：如答图，连结OC，
∵＝，∴∠AOC＝∠BOC.
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
在△COD与△COE中，
∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE，
∵AO＝BO，∴AD＝BE.
10．如图3－4－21，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直且相交于点P，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，＝.求证：四边形OEPF是正方形．
图3－4－21
证明：∵＝，
∴＋＝＋，
即＝，∴AB＝CD.
又∵OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
∴OE＝OF.∵AB⊥CD，
∴∠EPF＝∠PFO＝∠PEO＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，∵OE＝OF，
∴四边形OEPF是正方形．
11．如图3－4－22，在⊙O中，已知＝2，则( B )
A．AB＝2CD
B．AB<2CD
C．AB>2CD
D．AB与2CD的大小不确定
图3－4－22 第11题答图
【解析】 如答图，取的中点E，连结AE，BE.
∵＝2，∴＝2＝2，
∴CD＝AE＝BE，∴AE＋BE＝2CD.
在△ABE中，AE＋BE＞AB，∴AB<2CD.故选B.
12．如图3－4－23，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)上移动时，则点P( B )
A．到CD的距离保持不变
B．位置不变
C．等分
D．随点C的移动而移动
图3－4－23 第12题答图
【解析】 如答图，连结OP.
∵OC＝OP，∴∠2＝∠3.
又∵CP平分∠OCD，即∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴CD∥OP.
∵AB⊥CD，∴OP⊥AB，且OP是圆的半径，
∴点P的位置不变．故选B.
13．如图3－4－24，C，D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，且四边形OBCD是菱形．求证：＝.
图3－4－24 第13题答图
证明：如答图，连结OC.
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB＝BC，∠3＝∠2，OD∥BC，∴∠1＝∠B，
又∵OC＝OB，∴OC＝BC，
∴∠3＝∠B，∴∠1＝∠2，∴＝.
14．如图3－4－25，已知AB，CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.
(1)求证：BE＝DF；
(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不需证明)．
图3－4－25 第14题答图
解：(1)证明：如答图，连结OE，OF.
∵DF∥AB，BE∥DC，
∴∠EBA＝∠COA＝∠CDF.
∵OB＝OE，OD＝OF，
∴∠OEB＝∠EBA＝∠CDF＝∠OFD.
∴∠EOB＝∠DOF，∴BE＝DF；
(2)图中相等的劣弧有＝，＝，＝，＝，＝等．
15．如图3－4－26，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．
(1)求证：AB平分∠OAC；
(2)延长OA至P，使得OA＝AP，连结PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长．
图3－4－26 第15题答图
解：(1)证明：如答图，连结OC.
∵∠AOB＝120°，C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵OA＝OC＝OB，
∴△AOC，△BOC是等边三角形，
∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；
(2)∵△OAC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠OCA＝60°.
又∵OA＝AP，∴AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，
∠OCP＝∠OCA＋∠ACP＝90°，
∴△OPC是直角三角形．
∵R＝1，∴OC＝1，∴PC＝OC＝.
16．如图3－4－27，A是⊙O上的一个六等分点，B是的中点，P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1.
(1)找出当AP＋BP取最小值时，点P的位置；
(2)求出AP＋BP的最小值．
图3－4－27 第16题答图
解：(1)如答图，过点A作弦AA′⊥MN于点E，连结BA′交MN于点P，连结AP.
∵MN是⊙O的直径，
∴AE＝EA′，
∴AP＝PA′，即AP＋BP＝PA′＋BP.
根据两点之间线段最短，当A′，P，B三点共线时，
PA′＋BP取得最小值BA′，即AP＋BP＝BA′，
∴点P位于A′B与MN的交点处；
(2)如答图，连结OA′，OB.
∵A是⊙O上的一个六等分点，
∴∠AON＝∠A′ON＝60°.
又∵B是的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠BOA′＝∠A′ON＋∠BON＝90°.
又∵OB＝OA′＝1，
∴BA′＝，
即AP＋BP的最小值为.
