3.5__圆周角
第1课时 圆周角定理
1．[2017·徐州]如图3－5－1，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB＝( D )
A．28° B．54° C．18° D．36°
【解析】 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB＝∠AOB＝×72°＝36°.
图3－5－1 图3－5－2
2．如图3－5－2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为( D )
A．60° B．70° C．80° D．90°
3．如图3－5－3，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是( A )
A．25° B．40° C．30° D．50°
【解析】 ∵DE∥OA，∴∠AOD＝∠D＝50°，
∴∠C＝∠AOD＝25°.故选A.
图3－5－3 图3－5－4
4．[2017·广州]如图3－5－4，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连结CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( D )
A．AD＝2OB B．CE＝EO
C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
【解析】 ∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，∴∠OCE＝90°－40°＝50°.故选D.
5．如图3－5－5，在⊙O中，弦BC＝1，A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是( A )
图3－5－5
A．1 B．2 C. D.
6．[2016·南宁]如图3－5－6，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( B )
A．140° B．70°
C．60° D．40°
【解析】 ∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，∴∠DOE＝180°－40°＝140°，
∴∠P＝∠DOE＝70°.故选B.
图3－5－6 图3－5－7
7．[2017·黔东南州]如图3－5－7，⊙O的直径 AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则CD的长为( A )
A．2 B．1 C. D．4
【解析】 ∵∠A＝15°，∴∠BOC＝2∠A＝30°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE＝OC＝1，∴CD＝2CE＝2.
8．[2017·义乌]如图3－5－8，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠EOD的度数为__90°__．
图3－5－8
【解析】 ∠EOD＝2∠A＝2×45°＝90°.
9．[2017·庆阳]如图3－5－9，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝__58°__．
图3－5－9 第9题答图
【解析】 如答图，连结OB，
∵OA＝OB，∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝32°，
∴∠AOB＝116°，∴∠C＝58°.
10．[2016·颍泉区一模]如图3－5－10，AB是半圆O的直径，C，D是圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E.
(1)求证：E为BC的中点；
(2)若BC＝8，DE＝3，求AB的长度．
图3－5－10
解：(1)证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C＝90°，∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，∴BE＝CE，
即E为BC的中点；
(2)设圆的半径为x，
则OB＝OD＝x，OE＝x－3，
∵BE＝BC＝4，
在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，
∴x2＝42＋(x－3)2，解得x＝，
∴AB＝2x＝.
11．如图3－5－11，在⊙O中，半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于点E，你能发现AD和BC有怎样的位置关系吗？为什么？
图3－5－11
解：AD∥BC.理由：
∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，
∴∠D＝∠C＝45°.
∵AC⊥BD于点E，
∴∠BEC＝90°.
又∵∠C＝45°，∴∠EBC＝45°，
∴∠D＝∠EBC，∴AD∥BC.
12．如图3－5－12，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A，B重合，则∠ACB的度数为( D )
图3－5－12
A．50° B．80°或50°
C．130° D．50°或130°
【解析】 当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°；当点C在劣弧上时，∠ACB＝(360°－∠AOB)＝×(360°－100°)＝130°.故选D.
13．如图3－5－13，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为( D )
A．2 B．8
C．2 D．2
图3－5－13 第13题答图
【解析】 如答图，连结BE.
∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，
∴AC＝AB＝4.
设⊙O的半径为r，则OC＝r－2.
∵在Rt△AOC中，OA2＝AC2＋OC2，
即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，
∴AE＝2r＝10.
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，
∵在Rt△ABE中，AE＝10，AB＝8，
∴BE＝＝＝6.
∵在Rt△BCE中，BE＝6，BC＝4，
∴CE＝＝＝2.故选D.
14．[2017·湖州]如图3－5－14，已知在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°，则的度数是__140°__．
图3－5－14 第14题答图
【解析】 如答图，连结AD，OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝20°，BD＝DC，
∴∠ABD＝70°，
∴∠AOD＝140°，
即的度数为140°.
15．如图3－5－15，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．
图3－5－15 第15题答图
解：如答图，连结BD.
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.
又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.
又∵∠BDC＝∠BOC，∴∠C＝∠BOC.
∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝90°，
∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.
16．如图3－5－16，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明；
(2)在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，E才一定是AC的中点(直接写出结论)?
图3－5－16 第16题答图
解：(1)AB＝AC.
证明：如答图，连结AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
又∵AD为公共边，D是BC的中点，即BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴AB＝AC；
(2)△ABC为等边三角形或AB＝BC或AC＝BC或∠BAC＝∠B或∠BAC＝∠C等．
17．[2016·株洲]如图3－5－17，已知AB是半径为1的⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于点E，且△AEF为等边三角形．
(1)求证：△DFB是等腰三角形；
(2)若DA＝AF，求证：CF⊥AB.
图3－5－17 第17题答图
证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB＝∠EFA＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠EFA＝∠B＋∠FDB，
∴∠B＝∠FDB＝30°，
∴△DFB是等腰三角形；
(2)如答图，过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，
∵△AEF为等边三角形，
∴FM＝EM＝a，AM＝a，
∵在Rt△DAM中，AD＝AF＝2a，AM＝a，
∴DM＝5a，∴DF＝BF＝6a，
∴AB＝AF＋BF＝8a，
∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝4a，∵AE＝EF＝AF＝2a，
∴CE＝AC－AE＝2a，∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，
∴∠EFC＝30°，
∴∠AFC＝∠AFE＋∠EFC＝60°＋30°＝90°，
∴CF⊥AB.
3.5__圆周角
圆周角定理的推论
1．下列命题是假命题的是( B )
A．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．两条平行线间的距离处处相等
D．正方形的两条对角线互相垂直平分
2．[2017·黄冈]如图3－5－18，已知在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为( B )
A．30° B．35° C．45° D．70°
图3－5－18 第2题答图
【解析】 如答图，连结OC，由垂径定理可得＝，∠AOB＝∠AOC＝70°，∴∠ADC＝∠AOC＝35°.
3．[2016·绍兴]如图3－5－19，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( D )
A．60° B．45° C．35° D．30°
图3－5－19 图3－5－20
4．[2016·自贡]如图3－5－20，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是( C )
A．15° B．25° C．30° D．75°
5．[2016·乐山]如图3－5－21，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝( B )
图3－5－21
A．10° B．20°
C．30° D．40°
【解析】 ∵∠ACD＝40°，CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝×(180°－40°)＝70°，
∴∠ABC＝∠ADC＝70°，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－∠B＝20°.故选B.
6．[2017·十堰]如图3－5－22，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为__8__．
图3－5－22 第6题答图
【解析】 如答图，连结AD，
∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴AD＝BD＝5.
∵AB是⊙O的直径，∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝＝＝10.
∵AC＝6，∴BC＝＝＝8.
7．[2017·临沂]如图3－5－23，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆半径．
图3－5－23 第7题答图
【解析】 (1)利用角平分线的定义和圆周角的性质通过判定∠EBD＝∠BED，得出结论；
(2)根据等弧得出CD的长，根据∠BAC＝90°得出BC为直径，进而利用勾股定理求得BC的长度，进而得出△ABC外接圆半径的长度．
解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD，
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD，
又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，
∴∠DBE＝∠BED，∴DE＝DB；
(2)如答图，连结CD.
∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，∵AD平分∠BAC，BD＝4，
∴BD＝CD＝4，∴BC＝＝4，
∴半径为2.
8．如图3－5－24，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在上，连结CD交AB于点E，B是的中点，求证：∠B＝∠BEC.
图3－5－24
证明：∵＝，
∴∠DCB＝∠BAC.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACD＋∠DCB.
又∵∠BEC＝∠ACD＋∠BAC，∴∠B＝∠BEC.
9．如图3－5－25，在△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O交AB于点E，作△ABC的外角平分线CF交⊙O于点F，连结EF.求证：EF＝BC.
图3－5－25
证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B.
又∵∠DCA＝∠A＋∠B＝2∠A＝2∠B，CF平分∠DCA，
∴∠FCA＝∠DCA＝∠A＝∠B，
∴CF∥AB.∵∠FCA＝∠FEA，
∴∠FEA＝∠B，∴BC∥EF，
∴四边形CFEB为平行四边形，∴EF＝BC.
10．如图3－5－26，AB是半圆的直径，D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( C )
A．55° B．60° C．65° D．70°
图3－5－26 第10题答图
【解析】 如答图，连结BD.
∵D是的中点，即＝，∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABC＝50°，∴∠ABD＝×50°＝25°.
∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°－25°＝65°.故选C.
11．如图3－5－27，点D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A，B，D作⊙O.
(1)求证：AB是⊙O的直径；
(2)延长CB交⊙O于点E，连结DE，求证：DC＝DE.
图3－5－27 第11题答图
证明：(1)如答图，连结BD，
∵BA＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，∴AB是⊙O的直径；
(2)∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，
由圆周角定理得∠A＝∠E，
∴∠C＝∠E，∴DC＝DE.
12．[2016·东台模拟]如图3－5－28，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O.在EB上截取ED＝EC，连结AD并延长，交⊙O于点F，连结OE，EF.
(1)试判断△ACD的形状，并说明理由；
(2)求证：∠ADE＝∠OEF.
图3－5－28 第12题答图
解：(1)△ACD是等腰三角形．
理由：如答图，连结AE.
∵AB是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，
∴AE⊥CD，∵ED＝EC，∴AC＝AD，
∴△ACD是等腰三角形；
(2)证明：∵∠ADE＝∠DEF＋∠F，∠OEF＝∠OED＋∠DEF，∠OED＝∠B，∠B＝∠F，
∴∠ADE＝∠OEF.
13．[2016·临沂]如图3－5－29，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
图3－5－29
解：(1)证明：∵∠CPB＝∠APC＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∵∠CPB＝∠BAC，∠APC＝∠ABC，
∴△ABC是等边三角形；
(2)∵∠PAC＝90°，∴PC是圆的直径，
∴∠PBC＝90°，∴∠PBD＝90°，
∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝2，
∴∠BPC＝60°，∴PB＝2.
∵∠APC＝60°，∴∠DPB＝60°，
∴PD＝2PB＝4.
14．如图3－5－30，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
(1)求证：CF＝BF；
(2)若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
图3－5－30
解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠ABC.
∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°－∠ABC，∴∠ECB＝∠A.
又∵C是的中点，∴＝，
∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；
(2)∵＝，∴BC＝CD＝6.
∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，
∴⊙O的半径为5.
∵S△ABC＝AB·CE＝BC·AC，
∴CE＝＝＝.
