3.8__弧长及扇形的面积__
第1课时 弧长公式
1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为( D )
A. B．π C. D.
2．如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为( A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则长等于( C )
A. B. C. D.
第3题答图
【解析】 如答图，连结OA，OB.
∵OA＝OB＝AB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴的长为＝.故选C.
4．[2016·甘孜]如图3－8－1，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则点A运动的路径的长为( B )
A．π B．2π C．4π D．8π
【解析】 ∵每个小正方形的边长都为1，∴OA＝4，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，
∴∠AOA′＝90°，
∴点A运动的路径的长为＝2π.
图3－8－1 图3－8－2
5．如图3－8－2是两个同心圆的一部分，已知OB＝OA，则的长是的长的( A )
A. B．2倍 C. D．4倍
【解析】 由弧长公式l＝，得＝＝＝，＝，∴＝.故选A.
6. [2017·台州]如图3－8－3，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30 cm，则的长为__20π__cm.(结果保留π)
图3－8－3
【解析】 ＝＝20π(cm)．
7．已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是__2__．
8．如图3－8－4所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧.已知半径OA＝
60 cm，∠AOB＝108°，则管道的长度(即的长)为__36π__cm.
图3－8－4
【解析】 由弧长公式l＝，得l＝＝36π(cm)．
9．[2016·株洲]如图3－8－5，正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O，则劣弧AB的长度为__π__．
图3－8－5 第9题答图
【解析】 如答图，连结OA，OB.
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB＝360°×＝60°，
∴劣弧AB的长度为＝π.
10．有一段圆弧形的公路弯道，其所对的圆心角是150°，半径是400 m，一辆汽车以40 km/h的速度开过这段弯道，需要多少分钟(精确到0.01)?
解：÷＝≈1.57(min)．
答：需要1.57 min.
11．一段铁丝长为4.5π cm，把它弯成半径为9 cm的一段圆弧，求铁丝两端间的距离．
解：设弯成的圆弧所对的圆心角为n°，则有4.5π＝，解得n＝90，即圆心角为直角，∴由勾股定理可求得铁丝两端间的距离为＝9(cm)．
答：铁丝两端间的距离是9 cm.
12．[2016·成都]如图3－8－6，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为( B )
A.π B.π C.π D.π
【解析】 ∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，∴∠BOC＝100°，
∵AB＝4，∴BO＝2，
∴的长为＝π.故选B.
图3－8－6 图3－8－7
13．[2017·咸宁]如图3－8－7，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连结OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为( C )
A．π B.π C．2π D．3π
【解析】 ∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＋∠A＝180°，
∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，
∴2∠A＋∠A＝180°，解得∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，∴＝120π×3÷180＝2π.
14．如图3－8－8，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于__π__．
图3－8－8
【解析】 ∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
AB＝AC＝BC＝1，
∴＝＝，＝＝.
由题意，得凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长等于3×＝π.
15．[2016·莆田]如图3－8－9，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于点E，∠A＝30°，则的长为__π__(结果保留π)．
图3－8－9 第15题答图
【解析】 如答图，连结AC.
∵CD为⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE，∴AC＝AD，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，
∴∠COB＝60°.
∴的长为＝π.
16．如图3－8－10，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连结BD，AD，OC，∠ADB＝30°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)若弦BC＝6 cm，求图中劣弧BC的长．
图3－8－10 第16题答图
解：(1)如答图，连结OB.
∵弦BC垂直于半径OA，
∴BE＝CE，＝.
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB＝60°；
(2)∵BC＝6，∴CE＝BC＝3.
∵在Rt△OCE中，∠AOC＝60°，
∴∠OCE＝30°，∴OE＝OC.
∵OE2＋CE2＝OC2，
∴＋32＝OC2，解得OC＝2.
∵＝，
∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，
∴＝＝＝π(cm)．
17．[2016·温州二模]如图3－8－11，在⊙O中，弦AB与弦CD长度相等，AB⊥CD于点E，且AE＜EB，CE＜ED，连结AO，DO，BD.
图3－8－11
(1)求证：EB＝ED；
(2)若AO＝6，求的长．
解：(1)证明：∵AB＝CD，
∴＝，
即＋＝＋，
∴＝.
∵，所对的圆周角分别为∠CDB，∠ABD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴EB＝ED；
(2)∵AB⊥CD，
∴∠CDB＝∠ABD＝45°，
∴∠AOD＝90°.
∵AO＝6.
∴的长＝＝3π.
18．如图3－8－12，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6…当AB＝1时，l2 017等于( B )
图3－8－12
A. B.
C. D.
【解析】 第1段圆弧，以A为圆心，以AF＝1为半径，以F为起点，作60°圆弧到达K1(K1在BA延长线上)；
第2段圆弧，以B为圆心，以BK1＝2为半径，以K1为起点，作60°圆弧到达K2(K2在CB延长线上)；
第3段圆弧，以C为圆心，以CK2＝3为半径，以K2为起点，作60°圆弧到达K3(K3在DC延长线上)；
以此类推，第2 017段圆弧，以A为圆心，以AK2 016＝2 017为半径，以K2 016为起点，作60°圆弧到达K2 017(K2 017在BA延长线上)，
∴l2 017＝×2 017＝×2 017＝.故选B.
3.8__弧长及扇形的面积__
第2课时 扇形的面积
1．[2016·宜宾]半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( D )
A．3π B．6π C．9π D．12π
【解析】 S＝＝12π.故选D.
2．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( C )
A．π B．1 C．2 D.π
【解析】 根据扇形的面积公式，得S＝lR＝R2＝2.故选C.
3．[2017·天门]一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是( B )
A．300° B．150° C．120° D．75°
【解析】 根据S＝lr，求得半径r＝12，由弧长公式l＝，10π＝，解得n＝150°.
4．[2016·青岛]如图3－8－13，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为( B )
图3－8－13
A．175π cm2 B．350π cm2
C.π cm2 D．150π cm2
【解析】 ∵AB＝25 cm，BD＝15 cm，
∴AD＝10 cm，
∴S贴纸＝2×
＝2×175π＝350π(cm2)．故选B.
5．[2017·泰州]扇形的半径为3 cm，弧长为2π cm，则该扇形的面积为__3π____cm2.
【解析】 根据扇形面积公式，得S＝lr＝×2π×3＝3π.
6．如图3－8－14，在3×3的方格中(共有9个小格)，每个小方格都是边长为1的正方形，O，B，C是格点，则扇形BOC的面积等于__π__(结果保留π)．
图3－8－14
7．一个扇形的半径为3 cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为__40__度．
8．已知扇形的半径为3 cm，面积为3π cm2，则扇形的圆心角是__120°__，扇形的弧长是__2π__cm(结果保留π)．
【解析】 ∵S＝＝3π，∴n＝120，∴l＝＝2π(cm)．
9．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π，则此扇形的半径是__24__，面积是__240π__(结果保留π)．
【解析】 设扇形的半径为R，则πR＝20π，
∴R＝24，
∴扇形的面积为×20π×24＝240π.
10．[2016·泰州校级月考]已知扇形的圆心角为120°，面积为 cm2，求扇形的弧长．
解：∵扇形的圆心角为120°，面积为 cm2，
∴＝，∴πR＝5，
∴l＝πR＝×5＝(cm)．
11．[2017·丽水]如图3－8－15，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是( A )
A.－ B.－2
C.－ D.－
图3－8－15 第11题答图
【解析】 如答图，连结OC，
∵点C是半圆的三等分点，∴∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，∠BOC＝120°，
由三角形面积公式求得S△BOC＝×2×＝，由扇形的面积公式求得S扇形BOC＝＝，∴S阴影＝S扇形BOC－S△BOC＝－.故选A.
12．[2016·宁波]如图3－8－16，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为____．
图3－8－16
【解析】 ∵弦CD∥AB，
∴△ACD和△OCD的边CD上的高线长相等，
∴S△ACD＝S△OCD.
∴S阴影＝S扇形COD＝×π×＝×π×＝.
13．[2017·舟山]如图3－8－17，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm的⊙O，90°，弓形(阴影部分)粘贴胶皮，胶皮面积为__(48π＋32)cm2__．
图3－8－17 第13题答图
【解析】 如答图，连结AO，OB，∵90°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形ACB＋S△OAB＝×π×82＋×8×8＝(48π＋32)cm2.
14．如图3－8－18，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是__π－2__．
【解析】 ∵在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴S阴影＝S半圆AB＋S半圆BC－S△ABC＝π×＋π×－×2×2＝π－2.
图3－8－18 图3－8－19
15．[2016·乐山]如图3－8－19，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为__2－__．
【解析】 由旋转可知AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，
∵CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝∠CBD＝60°，
∵AC＝2，∴BC＝AC＝2，
∴S阴影＝2×2÷2－＝2－.
16．[2016·贵阳模拟]如图3－8－20，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC＝AD，OC＝2，∠A＝30°.
(1)求线段OD的长；
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．
图3－8－20 第16题答图
解：(1)如答图，过点C作CE⊥AD于点E.
∵∠A＝30°，∴∠COD＝60°，
∵OC＝2，∴CE＝，
∵∠A＝30°，∴AC＝2，
∵AD＝AC＝2，OA＝OC＝2，
∴OD＝AD－OA＝2－2；
(2)S阴影＝S扇形BOC－S△OCD＝－×(2－2)×＝－3＋.
17．如图3－8－21，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
图3－8－21 第17题答图
解：(1)如答图，连结AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°.
∵在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，且AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB>0，∴AB＝10 cm.
∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝5；
(2)如答图，连结OD.
S阴影＝ S扇形DOB－S△ODB＝×π×52－×5×5＝ cm2.
18．如图3－8－22，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，AO＝1.
(1)求∠C的大小；
(2)求阴影部分的面积．
图3－8－22 第18题答图
解：(1)如答图，连结OB.
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠C＝∠BOD＝∠AOD.
又∵∠AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE.
又∵AO⊥BC，∴∠C＝30°；
(2)由(1)知∠C＝30°，
∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°.
∵在Rt△AOF中，AO＝1，∠AOF＝60°，
∴AF＝，OF＝，∴AB＝，
∴S阴影＝S扇形AOB－S△OAB＝×π×12－××＝π－.
