九年级数学上册第三章圆的基本性质本章复习课随堂练习（含解析）

圆的基本性质
本章复习课
类型之一　有关垂径定理的计算
1．如图3－1，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为D.要使四边形OACB为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是(　B　)
图3－1
A．AD＝BD　　　　　　　B．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB
2．[2017·乐山]图3－2是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是(　B　)
A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m

图3－2 　　第2题答图
【解析】 如答图，连结AC，作AC的中垂线交AC于E，交BD于F，交圆的另一点为M，则MF为直径．取MF的中点O，则O为圆心，连结OA，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD，
∵AB＝CD，∴四边形ABCD为矩形，
∴EF＝AB＝CD＝0.25 m，AE＝EC＝0.75 m，
设⊙O的半径为R，得R2＝(R－0.25)2＋0.752，
解得R＝1.25 m，1.25×2＝2.5 m.
即这个圆弧形门的最高点离地面的高度为2.5 m.
类型之二　圆心角与圆周角定理的综合
　图3－3
3．[2017·毕节]如图3－3，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为(　C　)
A．30° B．50°
C．60° D．70°
【解析】 连结BD，由于AB是直径，依据“直径所对的圆周角是直角”可得∠ADB＝90°，根据“同弧所对的圆周角相等”可得∠DBA＝∠ACD＝30°，因此∠BAD＝60°，故选C.
图3－4
4．如图3－4，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠A＝45°.则以下五个结论：
①∠EBC＝22.5°；
②BD＝DC；
③AE＝2EC；
④劣弧AE是劣弧DE的2倍；
⑤AE＝BC.
其中正确结论的序号是__①②④__．
5．[2016·巨野二模]如图3－5，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的平分线．
(1)求证：△ABD为等腰三角形；
(2)若∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半径．

图3－5 　 　第5题答图
解：(1)证明：∵∠DCB＋∠DAB＝180°，
∠DCB＋∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝∠DAB.
∵CD平分∠ACE，∴∠ECD＝∠DCA，
∵∠ECD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DAB，∴DB＝DA.
∴△ABD为等腰三角形；
(2)如答图，∵∠DCE＝∠DCA＝45°，
∴∠ECA＝∠ACB＝90°，∴AB是直径，
∴∠BDA＝90°，∵BD＝AD＝6，
∴AB＝＝＝6，
∴⊙O的半径为3.
类型之三　弧长及扇形的面积
6．一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm2，那么这个扇形的半径是(　B　)
A．1 cm B．3 cm
C．6 cm D．9 cm
【解析】 设扇形的半径是R cm，
由题意，得3π＝，解得R＝±3，
∵R＞0，∴R＝3，
∴这个扇形的半径是3 cm.故选B.
7．[2017·天水]如图3－6所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝4，则S阴影＝(　B　)
　图3－6
A．2π B.π
C.π D.π
【解析】 ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴E为CD中点，DE＝CD＝2，
又∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°，
在Rt△OED中，OD＝2OE，由勾股定理，得OD＝4，OE＝BE＝2，
∴△ODE≌△BCE，
∴S阴影＝S扇形DOB＝＝π，故选B.
8．[2016·东营]如图3－7，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形BAD的面积为__25__．
图3－7
【解析】 由题意，得的长＝l＝BC＋CD＝10，
S扇形BAD＝l·AB＝×10×5＝25.
9．[2016·沈阳一模]如图3－8，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC.
(1)求∠BAC的度数；
(2)若∠DCA＝27°，AB＝8，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．

图3－8 　　　第9题答图
解：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝108°，
∴∠B＝72°，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝18°；
(2)如答图，连结OC，OD.
∵∠ADC＝108°，∠DCA＝27°，
∴∠DAC＝180°－108°－27°＝45°，
∵OC＝OD，∴∠DOC＝90°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∵AB＝8，∴OC＝OD＝4.
∴S阴影＝S扇形COD－S△COD＝－×42＝4π－8.
类型之四　有关旋转的计算
10．[2017·广州]如图3－9，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为(　A　)
　图3－9
　
A　　　 　　B　　 　　C　　　　D
【解析】 选项A是原阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后得到的；选项B是原阴影三角形绕点A顺时针(或逆时针)旋转180°后得到的；选项C不能由原阴影三角形绕点A旋转一定度数得到；选项D是原阴影三角形绕点A顺时针旋转270°后得到的．
11．[2017·聊城]如图3－10，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC的延长线上，下列结论错误的是(　C　)
图3－10
A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
【解析】 由旋转的性质可知∠BCB′＝∠ACA′，BC＝B′C，∠B＝∠CB′A′，∠ACB＝∠A′CB′，由BC＝B′C可得∠B＝∠CB′B，∴∠CB′B＝∠CB′A′，∴B′C平分∠BB′A，又∵∠A′CB′＝∠B＋∠CB′B＝2∠B，∴∠ACB＝2∠B.故选C.
12．[2016·抚州校级期中]如图3－11，P是等边三角形ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5.线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连结PQ.
(1)求PQ的长；
(2)求∠APB的度数．

图3－11 　　　第12题答图
解：(1)∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ＝AP＝4；
(2)如答图，连结QC.
∵△ABC，△APQ是等边三角形，
∴∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ＝60°－∠PAC.
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴BP＝CQ＝3，∠APB＝∠AQC.
∵在△PQC中，PQ2＋CQ2＝PC2，
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC＝90°.
∵△APQ是等边三角形，
∴∠AQP＝60°，
∴∠APB＝∠AQC＝60°＋90°＝150°.
类型之五　圆在实际生活中的应用
13．[2016·余杭区月考]如图3－12，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，已知矩形的高AC＝2 m，宽CD＝ m.
(1)求此圆形门洞的半径；
(2)求要打掉墙体的面积．
图3－12　　　 　第13题答图
解：(1)如答图，连结AD，BC.
∵∠BDC＝90°，∴BC是直径，
∴BC＝＝(m)，
∴圆形门洞的半径为 m；
(2)取圆心O，由(1)可知，OA＝OB＝AB＝ m，
∴△AOB是正三角形，∴∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，
∴S△AOB＝ m2，S△AOC＝ m2，
∴S＝2(S扇形AOC－S△AOC)＋(S扇形AOB－S△AOB)
＝2＋
＝ m2.
∴打掉墙体的面积为