1.4__二次函数的应用__
第1课时 利用二次函数解决面积或容积最大问题
1．已知一矩形的周长为180 cm，则它的最大面积为( A )
A．2 025 cm2 B．1 800 cm2
C．1 400 cm2 D．2 000 cm2
2．如图1－4－1，假设篱笆(虚线部分)的长度是16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( C )
图1－4－1
A．60 m2 B．63 m2
C．64 m2 D．66 m2
【解析】 设BC为x(m)，则AB为(16－x)m，矩形ABCD面积为y(m)2.由题意，
得y＝x＝－x2＋16x＝－＋64，
当x＝8 m时，y有最大值为64 m2，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.故选C.
3．[2016·衢州]某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图1－4－2)，已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为__144__m2.
图1－4－2
4．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图1－4－3所示的长方体水池，用于培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5 m，长为18 m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x(m)，即AD＝EF＝BC＝x(m)(不考虑墙的厚度)．
图1－4－3
(1)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(2)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？
解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x m，
∴AB＝(18－3x)m，
∴水池的总容积V与x的函数关系式为V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x，x的取值范围是0(2)∵V＝－4.5x2＋27x＝－(x－3)2＋(0＜x＜6)，
∴当x＝3时，V有最大值40.5.
答：若使水池的总容积最大，x应为3，最大容积是40.5 m3.
5．[2017·义乌]某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图1－4－4①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”
请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
① ②
图1－4－4
【解析】 (1)利用长方形面积等于长乘宽，建立y与x的函数关系式，再确定占地面积取最大值时饲养室的长；
(2)利用长方形面积等于长乘宽，建立y与x的函数关系式，再确定占地面积取最大值时，饲养室的长，并将其与(1)中饲养室的长进行比较，从而作出判断．
解：(1)∵y＝x·＝－(x－25)2＋，
∴当x＝25时，占地面积y最大，
即当饲养室长为25 m时，占地面积最大；
(2)∵y＝x·＝－(x－26)2＋338，
∴当x＝26时，占地面积y最大，
即当饲养室长为26 m时，占地面积最大．
∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．
6．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图1－4－5所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x(m)，矩形区域ABCD的面积为y(m2)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？
图1－4－5
解：(1)设AE＝a(m)，由题意，得
AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，
∴BE＝a(m)，AB＝a(m)．
由题意，得2x＋3a＋2·a＝80，即a＝20－x，
∴y＝AB·BC＝a·x＝x，
即y＝－x2＋30x(0(2)∵y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300，
∴当x＝20 m时，y有最大值，最大值是300 m2.
7．如图1－4－6，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动，当点Q到达点C，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值．
图1－4－6
解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，
PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0(2)由(1)知y＝－x2＋9x，
∴y＝－＋.
∵当0又∵0即△PBQ的面积的最大值是20 cm2.
8．[2017·潍坊]工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．
(1)在图1－4－7中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
图1－4－7 第8题答图
解： (1)如答图所示：
设裁掉的正方形的边长为x cm，由题意可得
(10－2x)(6－2x)＝12，即x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2或x2＝6(舍去)．
∴裁掉的正方形的边长为2 dm时，底面积为12 dm2；
(2)∵长不大于宽的五倍，
∴10－2x≤5(6－2x)，∴0＜x≤2.5.
设总费用为W，由题意可知，
W＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)
＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24.
∵对称轴为x＝6，开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，W随x的增大而减小，
∴当x＝2.5时，Wmin＝25元．
∴当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．
9．[2016·绍兴]课本中有一个例题．
有一个窗户形状如图1－4－8①，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户能使透光面积最大？
这个例题的答案是当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m，利用图③，解答下列问题：
① ② ③
图1－4－8
(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
解：(1)由题意，得AD＝ m，
∴S＝ m2；
(2)设AB＝x(m)，
则AD＝×＝ m，
∵3－x>0，∴0设窗户面积为S(m2)，
由题意，得S＝AB·AD＝x＝－x2＋3x＝－＋，
当x＝ m时，S最大值＝ m2>1.05 m2.
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．
第2课时 利用二次函数解决距离和利润问题
1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下列函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C )
A．1 m B．5 m C．6 m D．7 m
2．如图1－4－9，小强在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( D )
图1－4－9
A．0.71 s B．0.70 s C．0.63 s D．0.36 s
【解析】 ∵抛物线h＝3.5t－4.9t2的顶点坐标为，而≈0.36，∴他起跳后到重心最高时所用的时间约为0.36 s．故选D.
3．[2017·天门]飞机着落后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数表达式是s＝60t－t2，则飞机着落后滑行的最长时间为__20__s.
【解析】 求滑行的最长时间实际上是求s的最大值，即s＝60t－t2＝－(t－20)2＋600，当t＝20 s时，s的最大值为600 m.
4．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝__4__元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
【解析】 由题意，得y＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，y最大．
5．[2017·沈阳]某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是__35__元时，才能在半月内获得最大利润．
【解析】 设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意，得y＝(x－20)[400－20(x－30)]＝(x－20)·(1 000－20x)＝－20x2＋1 400x－20 000＝－20(x－35)2＋4 500，∵－20＜0，∴x＝35时，y有最大值．即当销售单价为35元时，能在半月内获得最大利润．
6．[2017·济宁]某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为W元．
(1)求W与x之间的函数关系式；
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
解：(1)W＝(x－30)y＝(x－30)(－x＋60)＝－x2＋90x－1 800，
∴W与x的函数关系式为W＝－x2＋90x－1 800(30≤x≤60)；
(2)W＝－x2＋90x－1 800＝－(x－45)2＋225.
∵－1＜0，
∴当x＝45时，W有最大值，W最大值为225.
答：销售单价定为45元时，每天销售利润最大，最大销售利润225元；
(3)当W＝200时，可得方程－(x－45)2＋225＝200，
解得x1＝40，x2＝50.
∵50＞42，∴x2＝50不符合题意，应舍去．
答：该商店销售这种双肩包每天想要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
7．如图1－4－10，排球运动员站在O处练习发球，将球从点O正上方2 m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界与点O的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出界，则h的取值范围是多少？
图1－4－10
解：(1)当h＝2.6时，则y＝a(x－6)2＋2.6，
∵A(0，2)在抛物线上，则2＝a(0－6)2＋2.6，
解得a＝－，
∴y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6；
(2)∵当x＝9时，y＝－×(9－6)2＋2.6＝2.45>2.43，
∴球能越过球网；
∵当x＝18时，y＝－×(18－6)2＋2.6＝0.2>0，
∴球出界了；
(3)把A(0，2)代入y＝a(x－6)2＋h，得36a＋h＝2，①
若要球一定能越过球网，得9a＋h≥2.43，②
若要球不出界，得144a＋h≤0，③
由①②，得h≥，由①③，得h≥，
∴球能越过球网，又不出界时，h的取值范围是h≥.
8．[2017·安徽]某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/kg)
50
60
70
销售量y(kg)
100
80
60
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入—成本)；
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【解析】 (1)选取表格中两组x，y的对应值代入一次函数的一般形式，建立方程组求解；
(2)每天的收入用代数式(－2x＋200)x元表示，每天的成本用代数式40(－2x＋200)元表示，运用公式利润＝收入—成本可建立每天的总利润W(元)与每千克售价x(元)之间的函数表达式；
(3)用配方法把(2)中的二次函数化为顶点形式，根据二次函数的性质结合自变量的取值范围可得出函数的变化情况和最值．
解：(1)根据题意，设y＝kx＋b，其中k，b为待定的常数，由表中的数据得解得
∴y＝－2x＋200(40≤x≤80)；
(2)根据题意得W＝y·(x－40)＝(－2x＋200)(x－40)＝－2x2＋280x－8 000(40≤x≤80)；
(3)由(2)可知W＝－2(x－70)2＋1 800，所以当售价x在满足40≤x≤70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足70≤x≤80的范围内，利润W随着x的增大而减小．所以当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元．
9．一列火车在A城的正北240 km处，以120 km/h的速度驶向A城．同时，一辆汽车在A城的正东120 km处，以120 km/h速度向正西方向行驶．假设火车和汽车的行驶方向和速度都保持不变，问何时火车与汽车之间的距离最近？当火车与汽车距离最近时，汽车是否已过铁路与公路的交叉口？
解：如答图，
第9题答图
设经过t h，火车到达B处，汽车到达C处，则AB＝|240－120t|，
AC＝|120－120t|，
在Rt△ABC中，
BC＝
＝
＝
＝120
＝120.
当t＝ h时，BC之间的距离最小，
此时BC＝120＝60，
∵当t＝ h时，汽车运动的距离为120×＝180(km)>120(km)，
∴汽车已过铁路与公路的交叉口．
答：当经过 h时汽车与火车的距离最近，此时汽车已过铁路与公路的交叉口．
10．[2016·丽水]如图1－4－11①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2－x＋3的绳子．
(1)求绳子最低点离地面的距离；
(2)因实际需要，在离AB为3 m的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图②)，使左边抛物线F1的最低点距MN为1 m，离地面1.8 m，求MN的长；
(3)将立柱MN的长度提升为3 m，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
① ②
图1－4－11
解：(1)∵a＝＞0，
∴抛物线顶点为最低点，
∵y＝x2－x＋3＝(x－4)2＋，
∴绳子最低点离地面的距离为 m；
(2)由(1)可知BD＝8 m，
令x＝0，得y＝3，
∴点A的坐标为(0，3)，点C的坐标为(8，3)，AB＝CD＝3 m.
由题意，得抛物线F1的顶点坐标为(2，1.8)，
设F1的表达式为y＝a(x－2)2＋1.8(a≠0)，
将A(0，3)代入，得4a＋1.8＝3，
解得a＝0.3，
∴抛物线F1为y＝0.3(x－2)2＋1.8，
当x＝3时，y＝0.3×1＋1.8＝2.1，
∴MN的长度为2.1 m；
(3)∵MN＝CD＝3 m，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴抛物线F2的顶点坐标为，
∴抛物线F2的表达式为y＝＋k，
把C(8，3)代入，得＋k＝3，
解得k＝3－，
∴k＝－(m－8)2＋3，
∴k是关于m的二次函数，
又∵m＜8，在对称轴的左侧，
∴k随m的增大而增大，
∴当k＝2时，－(m－8)2＋3＝2，
解得m1＝4，m2＝12(不合题意，舍去)，
当k＝2.5时，－(m－8)2＋3＝2.5，
解得m1＝8－2，m2＝8＋2(不合题意，舍去)，
∴m的取值范围是4≤m≤8－2.
