1.5全等三角形判定导学案（四课时）

1.5全等三角形的判定（1）
学习目标：
1．经历探索三角形的全等条件，掌握用“边边边”条件判断三角形全等的方法，并了解三角形的稳定性。
2．体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。
3．在探索三角形全等条件及其运用的过程中，进行有条理思索并进行简单的推理。
4．体会数学在现实生活中的应用。
知识点1．SSS
画一画
已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？
已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm，7cm，你能画出这个三角形吗？
你发现了什么？
判定定理：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
例：如图：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.求证：∠A=∠C.
证明： 在△ABD和△CDB中，
∵
∴△ABD△CDB（SSS）
∴∠A=∠C(全等三角形的对应角相等)
练习1：如图，，，，求证：．
练习2：已知:如图,AB=DE,BC=EF,AF=DC.求证:BC∥EF.
练习3：已知，AB=AC,BD=CE,AD=AE.求证：∠BAC=∠DAE.
当堂练习：
1．如图，已知AB＝DC，还需添加条件AC＝DB，才可用“SSS”说明△ABC≌△DCB.　　
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可直接判定(B)
A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE
C．△BED≌△CED D．以上答案都不对
3．如图，AB＝AC，AE＝AD，根据“SSS”定理得△ABD≌△ACE，则应添加条件(B)
A．∠B＝∠C B．BD＝CE
C．∠AEB＝∠ADC D．以上答案都不对

(第1题)　 (第2题) (第3题)　 (第4题)
4．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD使其不变形，这种做法的根据是(B)
A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角 D．长方形的轴对称性
5．在△ABC中，已知AB＝AC，D是BC的中点，则∠ADB是(C)
A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 无法确定
6．如图，△ABC是一个人字形水架，已知AB＝AC，AD是连结点A与BC中点D的支架，求证：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BD.请补全下列证明过程．
证明：∵D是BC的中点(已知)，
∴BD＝CD(线段中点的意义)．
在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC(垂直的定义)．
7．如图，已知△ABE≌△ACE，D是BC的中点．求证：△BDE≌△CDE.
【解】　∵△ABE≌△ACE，∴BE＝CE.
又∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BDE和△CDE中，∵
∴△BDE≌△CDE(SSS)．
8．如图，AD＝BC，AC＝BD.求证：
(1)∠DAB＝∠CBA；
(2)∠ACD＝∠BDC.
【解】　(1)在△ABD和△BAC中，∵
∴△ABD≌△BAC(SSS)，∴∠DAB＝∠CBA.
(2)在△ACD和△BDC中，∵
∴△ACD≌△BDC(SSS)，∴∠ACD＝∠BDC.
9．如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
试判断AC与DF是否平行，并说明理由．
【解】　AC∥DF.理由如下：
∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，∵
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠ACB＝∠F(全等三角形的对应角相等)，
∴AC∥DF(同位角相等，两直线平行)．
10．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)
A. SSS B. ASA
C. AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
11．如图，在△ABC中，已知AD＝ED，AB＝EB，∠A＝80°，则∠CED＝100°．
12．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是SSS．
第10题 第11题 第12题
13．有一块三角形厚铁板(如图)，根据需要，工人师傅要把∠MAN平分，现在他手边只有一把尺子(无刻度)和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗？说说你的理由．
【解】　用绳子的一定长度分别在AM，AN上截取AB＝AC，再选取适当长度的绳子，将其对折，得到绳子的中点D，把绳子的两端固定在B，C两点，拽住绳子的中点D，向外拉直至BD和CD，再在铁板上找到D的位置，作射线AD，则AD平分∠MAN.
理由：∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠MAN.
1.5全等三角形的判定（2）
学习目标：
1．探索三角形全等的条件之一“SAS”，并能应用它来判定两个三角形全等。
2．掌握垂直平分线的定义和性质，并能运用性质解题
知识点1．SAS
画一画
1、用量角器和刻度尺画△ABC,使AB=4cm，BC=6cm，∠ABC=60°
2、以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40°
你发现了什么？
判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”
注意 这个角一定要是两条边的夹角
例：已知：如图AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．求证：
证：在△AOB和△COD中，
∵
∴△AOB△COD（SAS）
练习1：已知:如图,AB=AC,点D,E分别在AC,AB上,且AD=AE.求证:BD=CE
练习2：已知：如图，AB=AD，BC=DC，E是AC上的一点，求证：BE=DE.
知识点2．垂直平分线
1、垂直平分线：垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.
2、垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。（如何证明？）
（1、画图；2、写已知，求证；3、证明）
例：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E.如果BE=10,
△BDC的周长为22，那么AB的长为（ ）
A、12 B、10 C、22 D、24
练习1：如上图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BDC的周长为8，且AC-BC=2,求AB，BC的长。
练习2：如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线BC交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长为 。
当堂练习：
1．如图，要使△ABC≌△ABD，若利用“SSS”应补充条件：AC＝AD，BC＝BD；若利用“SAS”应补充条件：∠1＝∠2，AC＝AD．
2．如图，AB，CD交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件使得△ADB≌△CBD，这个条件是AB＝CD或∠ADB＝∠CBD．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，DE是AB的中垂线，△BDC的周长为16 cm，则BC的长为6 cm.
4．如图，AB，CD，EF交于点O，且它们被点O平分，则图中共有__3__全等三角形对．
第1题　　 　 第2题 第3题　　 　第4题
5．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于(A)
A．60° B．50° C．45° D．30°
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC＝(C)
A. 70° B. 60° C. 48° D. 45°
7．如图，已知CD＝CE，AE＝BD，∠ADC＝∠BEC＝60°，∠ACE＝22°，则∠BCD的度数是(B)
A. 20° B. 22° C. 41° D. 68°


第5题　　 　 　 第6题 第7题　
8．如图，已知AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC，请将下面说明△ACD≌△AEB的过程补充完整．
【解】　∵∠DAB＝∠EAC(已知)，
∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE．
在△ACD和△AEB中，
∵
∴△ACD≌△AEB(SAS)．
9．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求证：∠C＝∠E.
【解】　∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠DAE＝∠BAC.
在△ABC和△ADE中，
∵
∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴∠C＝∠E.
10．如图，CD⊥AD于点D，AB⊥AD于点A，∠ACB＝∠BAC，CD＝CE，连结AE.求证：AE⊥BC.
【解】　∵CD⊥AD，AB⊥AD，
∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC.
又∵∠ACB＝∠BAC，∴∠ACD＝∠ACB.
在△ACD和△ACE中，∵
∴△ACD≌△ACE(SAS)，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，∴AE⊥BC.
11．如图，已知CA＝CB，AD＝BD，M，N分别是CA，CB的中点．问：DM与DN相等吗？请说明理由．
【解】　DM＝DN.理由如下：
连结CD.
在△ACD和△BCD中，
∵
∴△ACD≌△BCD(SSS)，
∴∠A＝∠B.
∵M，N分别是CA，CB的中点，
∴AM＝AC，BN＝BC，
∴AM＝BN.
在△AMD和△BND中，
∵
∴△AMD≌△BND(SAS)，
∴DM＝DN.
12．如图，已知AB，CD交于点O，△ACO≌△BDO，AE＝BF.求证：CE＝DF.
【解】　∵△ACO≌△BDO，
∴CO＝DO，AO＝BO.
∵AE＝BF，∴EO＝FO.
在△EOC与△FOD中，∵
∴△EOC≌△FOD(SAS)，∴CE＝DF.
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明AD是BC边上的中垂线．
【解】　∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD(角平分线的定义)．
在△ABD和△ACD中，∵
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC.
又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴AD⊥BC(垂直的定义)．
∴AD是BC边上的中垂线．
14．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若边BC的长为8 cm，则△ADE的周长为(B)
A. 4 cm B. 8 cm C．16 cm D．不能确定
【解】　∵AB，AC的垂直平分线交BC于点D，E，
∴AD＝BD，AE＝CE(中垂线的性质定理)．
∵BC＝8，
∴BD＋DE＋CE＝8，
∴AD＋DE＋AE＝8，
∴△ADE的周长为8 cm.
15．两个大小不同的等腰三角形三角尺(AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°)如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E三点共线，连结CD.
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；
(2)求证：DC⊥BE.
【解】　(1)图②中△ABE≌△ACD.证明如下：
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)．
(2)由(1)知△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠ABE＝45°.
又∵∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，即DC⊥BE.
16．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，垂足为E，AD＝AC，AF平分∠CAE交CE于点F，连结DF.求证：∠ADF＝∠B.
【解】　∵AF平分∠CAE，
∴∠CAF＝∠DAF.
在△CAF和△DAF中，
∵
∴△CAF≌△DAF(SAS)，
∴∠ACF＝∠ADF.
∵CE⊥AB，
∴∠ACF＋∠CAB＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠CAB＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B.
17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，延长ED至点P，使ED＝PD，连结FP与CP，试判断BE＋CF与EF的大小关系．
【解】　∵D为BC的中点，
∴BD＝CD.
又∵∠BDE＝∠CDP，ED＝PD，
∴△BDE≌△CDP(SAS)，∴BE＝CP.
同理可证△EDF≌△PDF，得EF＝FP.
在△CFP中，CP＋CF＝BE＋CF>FP＝EF，即BE＋CF>EF.
1.5全等三角形的判定（3）
学习目标：
1.探索并掌握两个三角形全等的条件：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。
2.会运用ASA判定两个三角形全等。
知识点1．ASA
画一画
画△ABC，使BC=3cm，∠ B= 40°， ∠ C= 60°.
你发现了什么？
判定定理：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写为“角边角”或“ASA”)。
例：已知AB=AC，∠B=∠C,求证：△ABD≌△ACE的理由
证明： 在△ABD和△ACE中，
∵
∴△ABD△ACE（ASA）
练习1：已知：如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE.求证：△ABC△ADE.
练习2：已知:如图,△ABC的两条高线AD，BE相交于点H，且AD=BD.求证：△BDH△ADC.
例：已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC.E为CD的中点，连接AE,BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．
练习：如图，在△ABC中，D为BC的中点．过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，求证：
BG＝CF；
请你猜想BE＋CF与EF的大小关系，并说说理由．
当堂练习：
1、如图，在△AEB和△AFC中，BE与AC交于点M，与CF交于点D，AB与CF交于点N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF.给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△CAN≌△BAM.其中正确的结论是(A)
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
2、如图，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，要利用“ASA”得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是(D)
A．∠E＝∠B B．ED＝BC C．AB＝EF D．AF＝CD
（第1题） （第2题） （第3题）
3、如图，一块玻璃碎成三片，现要去玻璃店配一块一模一样的玻璃，最省力的办法是带哪块去(C)
A. ① B. ② C. ③ D. ①②③
4、在△ABC与△A1B1C1中，下列不能判定△ABC≌A1B1C1的是(B)
A．AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1 B．AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠C＝∠C1
C．∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，BC＝B1C1
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1
5、如图，已知AB∥CD，∠M＝∠Q，P，N是MQ与CD，AB的交点，A是MD上一点，C是BQ上一点，MN＝PQ.求证：AM＝CQ.
6、如图，AB⊥BC于点B，DC⊥AC于点C，过点D作DE⊥BC于点F，DE与AC交于点E，AB＝EC，试判断AC与ED的数量关系，并说明理由．
1.5全等三角形的判定（4）
学习目标：
1.探索并掌握两个三角形全等的条件：有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。
2.会运用AAS判定两个三角形全等。
3.理解角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
知识点1．AAS
判定定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）

例：如图，AD是△ABC的中线，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE.
求证：△BED△CFD.
证：在△BED和△CFD中，
∵
∴△BED△CFD（AAS）
练习1：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别在BC，AC边上，且∠1＝∠B，AD＝DE，求证：△ADB≌△DEC.
练习2：点P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB,PC⊥AC，说明PB=PC 的理由。
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
例：AB//CD,PB和PC平分∠ABC，∠DCB，AD过点 P，且与 AB垂直。求证： PA=PD
练习：已知如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别交射线OA，OB与点C，D.求证：PC=PD.
当堂练习：
1．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，BF与CE交于点D，则图中有4对全等的三角形． 　　 　
2．如图，AD是△ABC的高线，∠BAD＝∠ABD，DE＝DC，∠ABE＝15°，则∠C＝60°．
3．如图，已知AE＝CE，∠B＝∠D＝∠AEC＝90°，AB＝3 cm，CD＝2 cm，则△CDE和△ABE的面积之和是6cm2.


(第1题) 　 (第2题) (第3题)　　　 　(第4题)
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，对于下列结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，点C的距离相等．其中正确的是(D)
A. 仅有①② B. 仅有②③ C. 仅有①②③ D. ①②③④
5．如图，已知BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD＝EC，则△ABD≌△ACE，其三角形全等的判定方法是(C)
A. ASA B. SAS C. AAS D. 以上都不对
6．如图，已知AC＝FC，CE是∠ACF的平分线，则图中全等三角形有(D)
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
7．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的中线分别对应相等，那么这两个三角形第三边所对的角的关系是(A)
A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 以上答案都不正确
8．如图，点E在BC上，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，AB＝BC，∠A＝∠CBD，AE交BD于点O，下列结论：①AE＝BD；②△AOB的面积＝四边形CDOE的面积；③AE⊥BD；④BE＝CD.其中正确的结论有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10，CD∶BD＝2∶3，则点D到AB的距离为 4 ．
10、如图，已知∠1＝∠2，AD＝CB，AC，BD交于点O，MN经过点O，则图中全等三角形有(C)
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
11、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为______．
(第8题) 　 (第9题) (第10题)　　　 　(第11题)
12、已知：如图，AC平分∠BAF，CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且2AE=AB+AD.求证：∠ADC与∠B互补。
拓展思维：
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE＝AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【解】　(1)∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠ECB＝90°.
∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°.
∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB.
在△ADC和△CEB中，
∵
∴△ADC≌△CEB(AAS)．∴AD＝CE，DC＝EB.∴DE＝AD＋BE.
(2)同(1)证明，∠DAC＝∠ECB.∴△ADC≌△CEB(AAS)．∴AD＝CE，CD＝BE.
∵DE＝CE－CD，∴DE＝AD－BE.
(3)DE＝BE－AD.
14．如图，BE，CF是△ABC的两条高线，延长BE到点P，使BP＝CA，CF与BE交于点Q，连结AQ，且QC＝AB.
(1)猜想AQ与AP的大小关系，并说明理由；
(2)按三角形内角判断△APQ的类型，并说明理由．
【解】　(1)AQ＝AP.理由如下：
∵BE，CF是△ABC的两条高线，∴BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABP＋∠BAC＝90°，∠QCA＋∠BAC＝90°，∴∠ABP＝∠QCA. 在△ABP和△QCA中，
∵ ∴△ABP≌△QCA(SAS)，∴AP＝QA，即AQ＝AP.
(2)△APQ是等腰直角三角形．
理由：∵△ABP≌△QCA，∴∠P＝∠QAC.
∵BP⊥AC，
∴∠P＋∠PAE＝90°，
∴∠QAC＋∠PAE＝90°.
∴∠QAP＝90°.
又∵AQ＝AP，
∴△APQ是等腰直角三角形．