浙教版七年级上册期末各单元复习学案（共4份，含答案）

期末复习(一)　有理数及其运算
　　　　　　　　　　　　　　　　
01　　知识结构
02　　重难点突破
　　　　　　　　　　　　　　　　
重难点1　有理数的相关概念
【例1】　填空：(1)|－|＝；－的相反数是；－的倒数是－；
(2)如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则下列结论中错误的是(D)
A．a＋b>0 B．ab<0
C．a－b<0 D．|a|－|b|>0
【方法归纳】　对概念的考查，要紧扣概念的本质属性，掌握概念的展示形式，如绝对值、相反数有时是文字形式，有时是符号形式，还要理解某些概念的“代数，几何”双重意义．数轴是数形结合的工具，解答与数轴有关的题一定要捕获数轴提供的信息，然后进行综合分析与处理．
1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是(B)
A．a＜b B．a＋b＜0
C．ab＞0 D.＞0
2．－5的绝对值的相反数的倒数是(A)
A．－ B．－5
C．5 D.
重难点2　有理数的运算
【例2】　计算：(－)2－＋(－1)2 017－1×(0.5－)÷1.
解：原式＝－＋(－1)－×(－)×
＝－－1－×(－)×
＝－1＋
＝－.
【方法归纳】　有理数的运算主要把握两点：一是运算法则，二是运算顺序，能运用运算律的，运用运算律简化运算．
3．计算：
(1)(－12)×(－－＋)；
解：原式＝(－12)×(－)＋(－12)×(－)＋
(－12)×
＝9＋7－10
＝6.
(2)－22＋│5－8│＋24÷(－3)×.
解：原式＝－4＋3＋24×(－)×
＝－4＋3－
＝－.
重难点3　科学记数法、近似数
【例3】　森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物.28.3亿用科学记数法表示为(D)
A．28.3×107 B．2.83×108
C．0.283×1010 D．2.83×109
【方法归纳】　科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．(青岛中考)我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧130 000 000 kg的煤所产生的能量．把130 000 000 kg用科学记数法可表示为(D)
A．13×107 kg B．0.13×108 kg
C．1.3×107 kg D．1.3×108 kg
5．(萧山区模拟)G20峰会来了，在全民的公益热潮中，杭州的志愿者们摩拳擦掌，想为世界展示一个美丽幸福文明的杭州．据统计，目前杭州市注册志愿者已达9.17×105人．而这个数字，还在不断地增加．请问近似数9.17×105的精确度是(C)
A．百分位 B．个位
C．千位 D．十万位
重难点4　有理数运算的应用
【例4】　一振子从点A开始左右来回振动8次，如果规定向右为正，向左为负，这8次振动的记录为(单位：mm)：＋10，－9，＋8，－6，＋7.5，－6，＋8，－7.
(1)求该振子停止时所在的位置距A点多远；
(2)如果每毫米需用时间0.02 s，则完成8次振动共需要多少秒？
【思路点拨】　(1)将8次的记录相加，得到的数就是停止时所在位置距A点的距离，若是“正”，则在A点右边，若是“负”，则在A点左边；(2)将8次记录的绝对值相加就是它振动8次的距离，再乘以0.02，即可得到共用时间．
解：(1)(＋10)＋(－9)＋(＋8)＋(－6)＋(＋7.5)＋(－6)＋(＋8)＋(－7)＝5.5(mm)．
答：该振子停止时在A点右侧且距A点5.5 mm.
(2)|＋10|＋|－9|＋|＋8|＋|－6|＋|＋7.5|＋|－6|＋|＋8|＋|－7|＝10＋9＋8＋6＋7.5＋6＋8＋7＝61.5(mm)．
61．5×0.02＝1.23(s)．
答：完成8次振动共需1.23 s.
【方法归纳】　有理数运算的应用，关键是要扣住题目中的数量关系，先列出相应的运算式子，然后利用运算法则计算．
6．今抽查10袋盐，每袋盐的标准质量是100克，超出部分记为正，统计成下表：
盐的袋数
2
3
3
1
1
每袋超出标
准的克数
＋1
－0.5
0
＋1.5
－2
问：这10袋盐一共有多重？
解：这10袋超出标准的克数为：2×1＋3×(－0.5)＋3×0＋1×1.5＋1×(－2)＝2－1.5＋0＋1.5－2＝0.
则10×100＋0＝1 000(克)．
答：这10袋盐一共重1 000克．
重难点5　与有理数有关的规律探究
【例5】　观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187；…；解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32 016的末位数字是(A)
A．0 B．1
C．3 D．7
【方法归纳】　规律性探究问题通常指根据给出的材料，观察其中的规律，再运用这种规律解决问题的一类题型．(1)观察的三种主要途径：①式与数的特征观察；②图形的结构观察；③通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况．(2)规律探究的基本原则：①遵循类推原则，项找项的规律，和找和的规律，差找差的规律，积找积的规律；②遵循有序原则，从特殊开始，从简单开始，先找3个，发现规律，再验证运用规律．
7．若x是不等于1的有理数，我们把称为x的差倒数，如：2的差倒数是＝－1，－1的差倒数为＝，现已知x1＝－，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依次类推，则x2 017＝－．
03　　备考集训
　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(乌鲁木齐中考)如果将“收入100元”记做“＋100元”，那么“支出50元”应记做(B)
A．＋50元 B．－50元
C．＋150元 D．－150元
2．下列各数中，比－1小的数是(A)
A．－ B．－
C．0 D．1
3．(广州中考)a(a≠0)的相反数是(A)
A．－a B．A
C．|a| D.
4．点A、B在数轴上的位置如图所示，则线段AB的长度为(D)
A．－3 B．5
C．6 D．7
5．计算－1÷(1－4)×(－)的值为(C)
A．－1 B．1
C．－ D.
6．2016年1月1日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是－4 ℃，5 ℃，6 ℃，－8 ℃，当时这四个城市中，气温最低的是(D)
A．北京 B．上海
C．重庆 D．宁夏
7．下列说法中，正确的是(D)
A．0是最小的有理数
B．任何一个有理数的绝对值都是正数
C．－a是负数
D．0的相反数是它本身
8．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是(B)
A．a＋b＜0 B．a－b＜0
C．ab＞0 D.>0
9．实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录(用A－C表示观测点A相对观测点C的高度)：
A－C
C－D
E－D
F－E
G－F
B－G
90米
80米
－60米
50米
－70米
40米
根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是(A)
A．210米 B．130米
C．390米 D．－210米
10．若|m－n|＝n－m，且|m|＝4，|n|＝3，则(m＋n)2＝(D)
A．1 B．7
C．49 D．49或1
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．(菏泽中考)2016年春节期间，在网络上用“百度”搜索引擎搜索“开放二孩”，能搜索到与之相关的结果个数约为45 100 000，这个数用科学记数法表示为4.51×107．
12．中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．书中涉及用两种不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数．若图中的左图表示：＋23，则右图表示的数是－44．
13．若一个数的是－的倒数，则这个数是－．
14．请把0，－2.5，，－，8，0.75这六个数按从小到大，从左到右串成糖葫芦．
依次应填：－2.5，－，0，，0.75，8．
15．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为4．
16．在，－(－1)，－|8－22|，－3，－32，－(－)3，0中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，负数有t个，则m－n－k＋t＝6．
三、解答题(共46分)
17．(6分)把数－2，1.5，－(－4)，－3，(－1)4，－|＋0.5|在数轴上表示出来，然后用“＜”把它们连接起来．
解：在数轴上表示略，
－3<－2<－|＋0.5|<(－1)4<1.5<－(－4)．
18．(16分)计算：
(1)0.125×(－7)×8；
解：原式＝－(0.125×8)×7
＝－7.
(2)－32－(－8)×(－1)5÷(－1)4；
解：原式＝－9－8×1÷1
＝－17.
(3)[2－(－＋)×36]÷5；
解：原式＝(－28＋33－6)÷5
＝×
＝.
(4)(－370)×(－)＋0.25×24.5＋(－5)×
(－25%)．
解：原式＝(370＋24.5＋5)×
＝400×
＝100.
19．(8分)阅读下列材料：
计算：50÷(－＋)．
解法一：原式＝50÷－50÷＋50÷＝50×3－50×4＋50×12＝550.
解法二：原式＝50÷(－＋)＝50÷＝50×6＝300.
解法三：原式的倒数为：(－＋)÷50＝(－＋)×＝×－×＋×＝，故原式＝300.
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法一是错误的，请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：(－)÷(－＋－)．
解：方法一：原式＝(－)÷＝(－)×3＝－.
方法二：原式的倒数为：
(－＋－)÷(－)
＝(－＋－)×(－42)
＝×(－42)－×(－42)＋×(－42)－×(－42)
＝－7＋9－28＋12
＝－14.
故原式＝－.
20．(8分)一辆汽车沿着南北向的公路往返行驶，某天早上从A地出发，晚上最后到达B地，若约定向北为正方向(如＋7.4千米表示汽车向北行驶7.4千米，－6千米则表示汽车向南行驶6千米)，当天的行驶记录如下：(单位：千米)＋18.3，－9.5，＋7.1，－14，－6.2，＋13，－6.8，－8.5.请问：
(1)B地在A地何方？相距多少千米？
(2)若汽车行驶每千米耗油0.335升，那么这一天共耗油多少升？
解：(1)18.3－9.5＋7.1－14－6.2＋13－6.8－8.5＝－6.6(千米)，
因此B地在A地南边，相距6.6千米．
(2)18.3＋9.5＋7.1＋14＋6.2＋13＋6.8＋8.5＝83.4(千米)，
83．4×0.335＝27.939(升)．
答：这一天共耗油27.939升．
21．(8分)小力在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加※键，再输入b，得到运算a※b＝a2－b2－[2(a－1)－]÷(a－b)．
(1)求(－2)※的值；
(2)小华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小华在输入数据时，可能出现什么情况？为什么？
解：(1)原式＝(－2)2－()2－[2×(－2－1)－2]÷(－2－)
＝4－－
＝.
(2)可能出现的情况是b＝0或a＝b，因为b及a－b均是除数，除数为0时，无意义，就使该程序无法操作．
期末复习(二)　实数及代数式
　　　　　　　　　　　　　　　　
01　　知识结构
代数式
02　　重难点突破
重难点1　实数的相关概念及分类
【例1】　把下列各数分别填到相应的集合内：
－3.6，，，5，，0，，－，，3.14，0.101 001 000 1…
(1)有理数集合：{－3.6，，5，0，－，，3.14，…}；
(2)无理数集合：{，，，0.10 100 100 01…，…}；
(3)整数集合：{，5，0，－，…}；
(4)负实数集合：{－3.6，，－，…}．
【思路点拨】　实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数．要正确理解实数的分类，做到不遗漏、不重复．
1．下列各式化简结果为无理数的是(C)
A. B.
C. D.
2．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，C在数轴上点B的右侧，且AB＝BC，则点C所对应的实数为(A)
A．2－1 B．1＋
C．2＋ D．2＋1
重难点2　实数的大小比较及运算
【例2】　计算：(－2)3－|－|＋32×(－)．
解：原式＝－8－＋9×(3－)＝－8－＋＝14.
【方法归纳】　解这类问题要注意正确运用实数的运算法则．
3．(本溪中考)若a<－2A．1 B．2
C．3 D．4
4．计算：＋＋|－1|.
解：原式＝2＋2＋(－1)＝4＋－1＝3＋.
重难点3　代数式及其值
【例3】　某礼堂第1排有18个座位，往后每排比前一排多2个座位．问：
(1)第n排有多少座位？(用含n的代数式表示)
(2)第10排、第15排、第23排各有多少个座位？
【思路点拨】　(1)第2排比第1排多2个座位，它的座位数应为18＋2＝20；第3排比第2排多2个座位，它的座位数应为20＋2＝22.也可以这样考虑：第3排是第1排的后2排，它的座位数应比第1排多2×2个，即为18＋2×2＝22；类似地，可推出第n排比第1排多2(n－1)个座位，从而得出代数式；(2)将n＝10、15、23分别代入(1)中的代数式求值即可．
【解答】　一般地，第n排是第1排的后(n－1)排，它的座位数应比第1排多2(n－1)个，即18＋2(n－1)．
(2)当n＝10时，18＋2(n－1)＝18＋2×9＝36；
当n＝15时，18＋2(n－1)＝18＋2×14＝46；
当n＝23时，18＋2(n－1)＝18＋2×22＝62.
因此，第10排、第15排、第23排分别有36个、46个、62个座位．
【方法归纳】　弄清数量关系，用由特殊到一般的方法，写出代数式．
5．a、b两数的平方和用代数式表示为(D)
A．(a＋b)2 B．(a－b)2
C．a3＋b3 D．a2＋b2
6．(杭州模拟)若2m＋n＝－3，则4－4m－2n的值是(B)
A．－2 B．10 C．7 D．1
重难点4　整式的相关概念
【例4】　下列说法中，正确的是(D)
A．单项式的系数是－2，次数是3
B．单项式a的系数是0，次数是0
C．－3x2y＋4x－1是三次三项式，常数项是1
D．单项式－的次数是2，系数为－
【方法归纳】　根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
7．下列说法正确的是(D)
A．2不是代数式
B.是单项式
C.的一次项系数是1
D．1是单项式
9．已知3x2y|m|－(m－1)y＋5是关于x，y的三次三项式，求2m2－3m＋1的值．
解：由题意可知，|m|＝1，m－1≠0
所以m＝－1.
当m＝－1时，原式＝2×(－1)2－3×(－1)＋1
＝6.
重难点5　整式的运算
【例5】　已知A＝2a2－a，B＝－5a＋1.
(1)化简：3A－2B＋2；
(2)当a＝－时，求3A－2B＋2的值．
【解答】　(1)3A－2B＋2
＝3(2a2－a)－2(－5a＋1)＋2
＝6a2－3a＋10a－2＋2
＝6a2＋7a.
(2)当a＝－时，3A－2B＋2＝6×(－)2＋7×(－)＝－2.
【方法归纳】　整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，代入分为直接代入和整体代入，方法的选择取决于题目的条件．
9．化简求值：x－2(x－y2)＋(－x＋y2)，其中x＝－2，y＝.
解：原式＝x－2x＋y2－x＋y2
＝－3x＋y2.
当x＝－2，y＝时，
原式＝－3×(－2)＋()2＝6＋＝6.
10．已知多项式3x2＋my－8与多项式－nx2＋2y＋7的差中，不含有x、y，求nm＋mn的值．
解：(3x2＋my－8)－(－nx2＋2y＋7)
＝3x2＋my－8＋nx2－2y－7
＝(3＋n)x2＋(m－2)y－15.
因为不含有x、y，所以3＋n＝0，m－2＝0.
解得n＝－3，m＝2.
把n＝－3，m＝2代入，得
nm＋mn＝(－3)2＋2×(－3)＝9－6＝3.
03　　备考集训
　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.的相反数是(C)
A．± B.
C．－ D．－5
2．对于单项式2×105a，下列说法正确的是(C)
A．系数为2，次数为1
B．系数为2，次数为6
C．系数为2×105，次数为1
D．系数为2×105，次数为0
3．下列各组代数式，是同类项的是(D)
A．2bc与2abc B．3a2b与－3ab2
C．a与1 D.x2y与－x2y
4．把多项式3m2n＋6mn2－5mn2－2m2n合并同类项的结果是(C)
A．－2m2n＋4mn2 B．2m2n
C．m2n＋mn2 D．m2n－mn2
5．－[a－(b－c)]去括号正确的是(B)
A．－a－b＋c B．－a＋b－c
C．－a－b－c D．－a＋b＋c
6．有下列四个论断：①－是有理数；②是分数；③2.131 131 113…是无理数；④π是无理数，其中正确的有(B)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
7．比较2.5，－3，的大小，正确的是(A)
A．－3<2.5< B．2.5<－3<
C．－3<<2.5 D.<2.5<－3
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a＋b|－a的结果是(D)
A．2a＋b B．2a
C．a D．b
9．若x＝－1，y＝2时，式子axy－x2y的值为8，则当x＝1，y＝－2时，式子axy－x2y的值为(B)
A．－10 B．12
C．－8 D．10
10．(牡丹江中考)如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是(D)
A．71 B．78
C．85 D．89
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．化简：＝2．
12．请写出一个所含字母只有x，y，且二次项系数和常数项都是－5的三次三项式：x2y－5xy－5(答案不唯一)．
13．若一个正数的两个平方根分别是2a－1与－a＋2，则这个正数等于9．
14．若实数a，b满足|a＋2|＋＝0，则＝1．
15．如图，学校的草坪上有两纵一横三条小路．用代数式表示除小路外的草坪的面积ab－ax－3bx＋3x2．
16．对于有理数a，b，定义a⊙b＝3a＋2b，则[(x＋y)⊙(x－y)]⊙3x化简后得21x＋3y．
三、解答题(共46分)
17．(10分)计算：
(1)＋－；
解：原式＝0.5＋2.5－2
＝1.
(2)－－.
解：原式＝5－－
＝5－－
＝.
18．(6分)先化简，再求值：4m3－(3m2＋5m－2)＋2(3m＋m2－2m3)－1，其中m＝－1.
解：原式＝4m3－3m2－5m＋2＋6m＋3m2－4m3－1
＝m＋1.
当m＝－1时，原式＝.
19．(8分)马虎同学在计算一个多项式A减去另一个多项式2x2＋5x－3时，错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是x2＋3x－7，请问如果不抄错，正确答案该是多少？
解：由题意可知A＋(2x2＋5x－3)＝x2＋3x－7，
所以A＝x2＋3x－7－(2x2＋5x－3)＝－x2－2x－4.
所以正确答案为(－x2－2x－4)－(2x2＋5x－3)＝－3x2－7x－1
20．(10分)如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为16 000 cm3.
(1)求长方体水池的长、宽、高为多少？
(2)当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径．(球的体积公式：V＝πr3，π取3，结果精确到0.01 cm)
解：(1)设长方体水池的长、宽、高分别为2x，2x，4x，
所以2x·2x·4x＝16 000.
所以16x3＝16 000.
所以x3＝1 000.
解得x＝10.
所以长方体水池的长、宽、高分别为：20 cm，20 cm，40 cm.
(2)设该小球的半径为r cm，则
πr3＝×16 000，
所以r3＝×16 000×.
所以r≈4.05.
故该小球的半径约为4.05 cm.
21．(12分)某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物
优惠办法
少于200元
不予优惠
低于500元但
不低于200元
九折优惠
500元或
超过500元
其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠
(1)王老师一次性购物600元，他实际付款530元；
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款0.9x元，当x大于或等于500元时，他实际付款(0.8x＋50)元(用含x的式子表示)；
(3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元(200＜a＜300)，用含a的式子表示：两次购物王老师实际付款多少元？
解：0.9a＋0.8(820－a)＋50＝0.1a＋706(元)．
期末复习(三)　一元一次方程
　　　　　　　　　　　　　　　　
01　　知识结构
02　　重难点突破
　　　　　　　　　　　　　　　　
重难点1　一元一次方程的相关概念
【例1】　如果关于x的方程2x＋1＝3和方程2－＝0的解相同，那么k的值为5．
【方法归纳】　求方程中某些字母的值时，只要将方程的解代入方程，即可得到关于待求字母的方程，解这个方程即可．
1．若x＝1是方程ax＋bx－2＝0的解，则a＋b的值是(C)
A．0 B．1
C．2 D．－1
2．下列各式是一元一次方程的是(B)
A．x2＋3x＝6 B．3x＝4x－2
C.＋3＝0 D．x＋12＝y－4
重难点2　等式的性质
【例2】　(柳州中考)小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少克？
解：由第一幅图可知：大苹果重量＝小苹果重量＋50 g，①　由第二幅图可知：大苹果重量＋小苹果重量＝300 g＋50 g．②　把②中左边的大苹果重量换为小苹果重量＋50 g，会得到：小苹果重量＋50 g＋小苹果重量＝300 g＋50 g，可得小苹果重量为150 g．故大苹果的重量为200 g.
【方法归纳】　本题是一道数形结合的应用题，在天平平衡中巧妙地考查了等式的性质，使学生学会用“等式的观点”来看天平的平衡．
3．(萧山区月考)下面四个等式的变形中正确的是(A)
A．由4x＋8＝0得x＋2＝0
B．由x＋7＝5－3x得4x＝2
C．由x＝4得x＝
D．由－4(x－1)＝－2得4x＝－6
4．如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于________个正方体的重量(D)
A．2 B．3 C．4 D．5
重难点3　一元一次方程的解法
【例3】　解方程：－＝1.
解：去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6.
去括号，得4x＋2－10x－1＝6.
移项，得4x－10x＝6－2＋1.
合并同类项，得－6x＝5.
系数化为1，得x＝－.
【方法归纳】　解一元一次方程时，要灵活安排各个步骤的次序(不一定每个步骤都要用到)，这样往往可使计算简便，在整个求解过程中，要注意避免去分母、去括号、移项时常出现的错误．
5．解方程：15－(7－5x)＝2x＋(5－3x)．
解：15－7＋5x＝2x＋5－3x，
6x＝－3，
x＝－.
6．解方程：－1＝.
解：3(x－1)－12＝2(2x－1)，
3x－3－12＝4x＋2，
x＝17，
x＝－17.
重难点4　一元一次方程的应用
【例4】　某牛奶厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温限制，这批牛奶必须4天内全部销售或加工完毕．为此该厂设计了三种方案：
方案一：将鲜奶全部制成酸奶销售；
方案二：尽可能地制成奶片，其余的直接销售鲜奶；
方案三：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？
解：方案一：9×1 200＝10 800(元)；
方案二：由题意得，可以制成4吨奶片，剩余5吨直接销售，
4×2 000＋5×500＝10 500(元)；
方案三：设有x天生产酸奶，(4－x)天生产奶片，
3x＋(4－x)＝9，
解得x＝2.5.
1 200×2.5×3＋2 000×(4－2.5)＝12 000(元)．
综上：第三种方案获利最多．
【方法归纳】　方案类问题的解题关键在于构建一元一次方程计算出每种方案所得到的结果，选择最符合题意的方案．
7．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量
不超过10 m3
的部分
超过10 m3不超
过16 m3的部分
收费标
准(元/m3)
2.00
2.50
若某用户4月份交水费25元，则4月份所用水量是(B)
A．10 m3 B．12 m3
C．14 m3 D．16 m3
8．(萧山区月考)某玩具厂迎接新年的到来，大力生产小熊玩具，10月份生产了1 500个，12月份比11月份的两倍还多300个，已知该工厂第四季度共生产小熊玩具7 200个，那么该工厂12月份生产多少个小熊玩具？
解：设11月份生产玩具x个，则12月份为(2x＋300)个，由题意，得
1 500＋x＋(2x＋300)＝7 200，
解得x＝1 800.
经检验，x＝1 800符合方程，且符合实际，
2×1 800＋300＝3 600＋300＝3 900(个)．
答：该工厂12月份生产小熊玩具3 900个．
03　　备考集训
　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知下列方程：①x＝2；②＝3；③＝2x－1；④2x2＝1；⑤x＝2；⑥2x＋y＝1.其中一元一次方程的个数是(B)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．下列运用等式性质进行的变形，正确的是(B)
A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B．如果＝，那么a＝b
C．如果a＝b，那么＝
D．如果a2＝3a，那么a＝3
3．下列方程解为x＝0的是(B)
A．x＋1＝－1 B．2x＝3x
C．2x＝2 D.＋4＝5x
4．已知某数x，若比它的大1的数的相反数是5，求x.则可列出方程(D)
A．－x＋1＝5 B．－(x＋1)＝5
C.x－1＝5 D．－(x＋1)＝5
5．解方程－＝1时，去分母后，正确的结果是(C)
A．15x＋3－2x－1＝1
B．15x＋3－2x＋1＝1
C．15x＋3－2x＋1＝6
D．15x＋3－2x－1＝6
6．某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000度，全年用电15万度，如果设上半年每月平均用电x度，则所列方程正确的是(A)
A．6x＋6(x－2 000)＝150 000
B．6x＋6(x＋2 000)＝150 000
C．6x＋6(x－2 000)＝15
D．6x＋6(x＋2 000)＝15
7．某土建工程共需动用15台挖运机械，每台机械每小时能挖土3 m3或者运土2 m3，为了使挖土和运土工作同时结束，安排了x台机械运土，这里x应满足的方程是(A)
A．2x＝3(15－x) B．3x＝2(15－x)
C．15－2x＝3x D．3x－2x＝15
8．有若干支铅笔要奖给部分学生，若每人5支，就多余3支；若每人7支，就少5支．则学生数和铅笔数分别为(B)
A．3，21 B．4，23
C．5，28 D．6，35
9．(海宁月考)如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为(C)
A．16 cm2
B．20 cm2
C．80 cm2
D．160 cm2
10．下图是一组有规律的图案，第1个图案是由4个▲组成，第2个图案是由7个▲组成，第3个图案是由10个▲组成，…，则第________个图案是由6 052个▲组成(C)
A．2 015 B．2 016
C．2 017 D．2 018
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．如果2x4a－3＋6＝0是一元一次方程，那么方程的解为x＝－3．
12．方程－＝3的解是x＝5．
13．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共590人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为2x＋56＝590－x．
14．一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道经历18秒钟，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10秒钟，则这列火车的长为400米．
15．一列方程如下排列：
＋＝1的解是x＝2，
＋＝1的解得x＝3，
＋＝1的解是x＝4，
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝6的方程：＋＝1．
16．(绍兴中考)书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折；
③一次性购书超过200元，一律按原价打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是248或296元．
三、解答题(共52分)
17．(10分)解下列方程：
(1)－2x－＝x＋；
解：x＝－.
(2)＋＝x－1.
解：x＝5.
18．(8分)a为何值时，方程3(5x－6)＝3－20x的解也是方程a－x＝2a＋10x的解？
解：解方程3(5x－6)＝3－20x，得x＝.
将x＝代入a－x＝2a＋10x，得
a－×＝2a＋10×.
解得a＝－8.
19．(10分)阅读以下材料并解题：
解方程：|2x|＝1.
解：①当2x≥0时，原方程可化为2x＝1，
解得x＝；
②当2x<0时，原方程可化为－2x＝1，
解得x＝－.
所以原方程的解是x＝或x＝－.
根据上述材料，解方程：|3x－6|＝18.
解：①当3x－6≥0时，原方程可化为3x－6＝18，
解得x＝8；
②当3x－6＜0时，原方程可化为－3x＋6＝18，
解得x＝－4.
所以原方程的解是x＝8或x＝－4.
20．(10分)(绍兴校级期中)一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，已知全体考生的平均分数是60分，求这次考试规定的及格分数是多少？
解：设考生人数为a人，及格分数为x分，则
25%a(x＋15)＋75%a(x－25)＝60a.
解得x＝75.
答：这次考试规定的及格分数是75分．
21．(14分)(江西中考)如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图1所示)；使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2所示)．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50 cm，第2节套管长46 cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4 cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x cm.
(1)请直接写出第5节套管的长度；
(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311 cm，求x的值．
解：(1)第5节套管的长度为：
50－4×(5－1)＝34(cm)．
(2)第10节套管的长度为：
50－4×(10－1)＝14(cm)．
设每相邻两节套管间重叠的长度为x cm，根据题意，得
(50＋46＋42＋…＋14)－9x＝311，
解得x＝1.
答：每相邻两节套管间重叠的长度为1 cm.
期末复习(四)　图形的初步认识
　　　　　　　　　　　　　　　　
01　　知识结构
02　　重难点突破
　　　　　　　　　　　　　　　　
重难点1　立体图形的识别
【例1】　如图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是(D)
【方法归纳】　培养空间想象能力是解决这类问题的关键．
1．下列图形中，不属于立体图形的是(A)
2．如图是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有三角形、正方形、长方形、梯形．
重难点2　直线、射线、线段
【例2】　如图，直线l上有A、B、C三点，下列说法正确的有(C)
①直线AB与直线BC是同一条直线；②射线AB与射线BC是同一条射线；③直线AB经过点C；④射线AB与射线AC是同一条射线．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【方法归纳】　解答本题的关键是正确理解直线、射线、线段的概念及表示方法．
3．如图，已知平面内三点A、B、C，按要求画出图形．
(1)画直线AB；
(2)画射线BC；
(3)画线段AC.
解：如图．
4．李明乘车去奶奶家，发现这条汽车线路上共有6个站(包括始发站和终点站)，善于思考的小明已猜到这条线路上有多少种不同的票价，要准备多少种不同的车票，聪明的你想到了吗？
解：有15种不同票价，要准备30种不同车票．
重难点3　线段有关的计算
【例3】　如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CB＝CD，AB＝7 cm，那么BC的长为(A)
A．3 cm B．3.5 cm
C．4 cm D．4.5 cm
【思路点拨】　根据中点的性质可得AC与CD的关系，根据线段的和差可得关于CD的方程，再求出BC的长即可．
【方法归纳】　进行线段的计算时，要先分析得出线段之间隐含的数量关系，然后根据线段的和差列出相应的方程．
5．如图，已知线段AB上有两点C，D，且AC∶CD∶DB＝2∶3∶4，E，F分别为AC，DB的中点，EF＝2.4 cm，求线段AB的长．
解：因为AC∶CD∶DB＝2∶3∶4，
所以设AC＝2x，CD＝3x，DB＝4x.
所以EF＝EC＋CD＋DF＝x＋3x＋2x＝6x.
所以6x＝2.4，即x＝0.4.
所以AB＝2x＋3x＋4x＝9x＝3.6，即AB＝3.6 cm.
重难点4　角度的有关计算
【例4】　如图，已知线段OA、OB、OC、OD、OE在同一平面内，且∠AOE＝110°，∠AOB＝20°.
(1)若OB平分∠AOC，求∠COE的度数；
(2)在(1)条件下，若OD也平分∠BOE，求∠COD的度数；
(3)若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，OA与OB第一次垂直．
解：(1)∵OB平分∠AOC，∠AOB＝20°，
∴∠AOC＝2∠AOB＝40°.
∵∠AOE＝110°，
∴∠COE＝∠AOE－∠AOC＝70°.
(2)∵∠AOE＝110°，∠AOB＝20°，
∴∠BOE＝∠AOE－∠AOB＝90°.
∵OD平分∠BOE，OB平分∠AOC，
∴∠BOD＝∠BOE＝45°，∠BOC＝∠AOB＝20°.
∴∠COD＝∠BOD－∠BOC＝25°.
(3)设经过x分钟，OA与OB第一次垂直．由题意，得
6x－x＝90＋20，解得x＝20.
答：经过20分钟，OA与OB第一次垂直．
【方法归纳】　解答这类问题常用的方法是根据已知角度和所求角之间的联系，运用角的和差进行计算；设未知数列一元一次方程也是解决角度问题的常见方法．
6．(菏泽中考)将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为(B)
A．140°
B．160°
C．170°
D．150°
7．一个角与这个角的余角的差为30°，求这个角的度数．
解：设这个角为x°，则其余角为(90－x)°，由题意，得
x－(90－x)＝30.解得x＝60.
答：这个角的度数为60°.
8．如图，已知∠AOB是平角，∠AOC＝20°，∠COD∶∠DOB＝3∶13，且OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
解：因为∠AOB是平角，∠AOC＝20°，
所以∠COB＝180°－20°＝160°.
因为∠COD∶∠DOB＝3∶13，
所以∠COD＝∠COB＝30°.
所以∠DOB＝160°－30°＝130°.
又OE平分∠DOB，
所以∠DOE＝∠DOB＝65°.
所以∠COE＝∠COD＋∠DOE＝30°＋65°＝95°.
03　　备考集训
　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．生活中的“八宝粥”易拉罐同学们都很熟悉，你认为“八宝粥”易拉罐类似于(B)
A．棱柱 B．圆柱
C．圆锥 D．长方体
2．(玉林中考)下面角的图形中，能与30°角互补的是(D)
3．下列关系中，与图示不符合的式子是(C)
A．AD－CD＝AB＋BC
B．AC－BC＝AD－DB
C．AC－BC＝AC＋BD
D．AD－AC＝BD－BC

　　第3题图 第4题图
4．如图，从点O出发引四条射线OA、OB、OC、OD，则可组成角的个数是(D)
A．3 B．4
C．5 D．6
5．在下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线L的距离的是(C)
6．下列说法：①平角是一条直线；②射线是直线的一半；③射线AB与射线BA表示同一射线；④用一个扩大2倍的放大镜去看一个角，这个角扩大2倍；⑤两点之间，线段最短；⑥120.5°＝120°50′.其中正确的有(B)
A．4个 B．1个
C．2个 D．3个
7．下列四个生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有(D)
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
8．(宜昌中考)已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是(C)
A．∠NOQ＝42°
B．∠NOP＝132°
C．∠PON比∠MOQ大
D．∠MOQ与∠MOP互补
9．如图，已知A、B、C、D、E五点在同一直线上，D点是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，若线段AC＝12，则线段DE等于(C)
A．10 B．8
C．6 D．4
10．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…，则数字2 016在(D)
A．射线OA上
B．射线OB上
C．射线OD上
D．射线OF上
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．把一根木条钉在墙上，至少要钉2个钉子，依据是两点确定一条直线．
12．钝角∠A的一个补角是∠B，且∠B与∠C互余，那么∠A－∠C＝90°．
13．人们喜欢把弯弯曲曲的公路改为直道，其中隐含着的数学道理是两点之间，线段最短．
14．普通的钟表在4点钟时，时针与分针的夹角的度数为120°．
15．如图，将三个相同的正方形的一个顶点重合放置，则∠1＝(60－x)°(用含x的代数式表示)．
16．如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，且线段AB＝BC＝CD＝1 cm，那么图中所有线段的长度之和是10cm.
三、解答题(共52分)
17．(8分)计算：
(1)48°39′＋67°41′；
解：原式＝116°20′.
(2)90°－78°19′40″；
解：原式＝11°40′20″.
(3)11°23′26″×3；
解：原式＝34°10′18″.
(4)176°52′÷3.
解：原式＝58°57′20″.
18．(8分)一个角的余角与这个角的补角之和为130°，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为x°，依题意，得
90－x＋180－x＝130.
解得x＝70.
答：这个角为70°.
19．(10分)如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，OD是OB的反向延长线．
(1)射线OC的方向是北偏东70°；
(2)求∠COD的度数；
(3)若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
解：(2)因为∠AOB＝40°＋15°＝55°，∠AOB＝∠AOC，
所以∠BOC＝110°.
又因为OD是OB的反向延长线，所以∠BOD＝180°.
所以∠COD＝180°－110°＝70°.
(3)因为∠COD＝70°，OE平分∠COD，
所以∠COE＝35°.
又因为∠AOC＝55°，
所以∠AOE＝55°＋35°＝90°.
20．(12分)如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°.
(1)请你数一数，图中有多少个小于平角的角；
(2)求出∠BOD的度数；
(3)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.
解：(1)图中有9个小于平角的角．
(2)因为OD平分∠AOC，∠AOC＝50°，
所以∠AOD＝∠AOC＝25°.
所以∠BOD＝180°－25°＝155°.
(3)因为∠BOE＝180°－∠DOE－∠AOD＝65°，∠COE＝90°－25°＝65°，
所以∠BOE＝∠COE，即OE平分∠BOC.
21．(14分)已知线段AB＝6 cm，在直线AB上画线段BC＝4 cm，若M、N分别是AB、BC的中点．
(1)求M、N间的距离；
(2)若AB＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，此时M、N间的距离是多少？
(3)分析(1)(2)的解答过程，从中你发现了什么规律？在同伴间交流你得到的启迪．
解：(1)当点C在AB右边时，如图1：
因为M、N分别是AB、BC的中点，
所以MB＝AB，BN＝BC.
因为AB＝6 cm，BC＝4 cm，
所以MN＝MB＋BN＝AB＋AC＝×6＋×4＝5(cm)；
当点C在AB之间时，如图2，由1可知
MB＝AB，BN＝BC.
所以MN＝BM－BN＝AB－AC＝×6－×4＝1(cm)．
所以MN间的距离为5 cm或1 cm.
(2)当AB＝a cm，BC＝b cm时，如图1，
MN＝(cm)；
如图2，MN＝(cm)．
(3)规律：若AB＝a，BC＝b，点M、N分别是AB、BC的中点，则MN＝或.