21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.5.2 边角边定理（SAS）
一、选择题
1． 要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上(如图)，可以证明△ABC≌△EDC，得ED＝AB，因此，测得DE的长就是AB的长．在这里判定△ABC≌△EDC的条件是（ ）
A．ASA B．SAS C．SSS D．以上答案均不正确
2． 已知△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，AB＝A'B'，则△ABC≌△A'B'C'的根据是（ ）
A．SAS B．SSA C．ASA D．AAS
3． 如图，能运用“ASA定理”证明△AOB≌△DOC的是（ ）
A．AO＝DO，∠A＝∠D B．AO＝DO，∠B＝∠C
C．AO＝DO，BO＝CO D．AO＝DO，AB＝CD
4． 如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，如果∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，那么（ ）
A．△ABC≌△AFE B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
5． 如图所示，已知AD平分∠BAC，AB＝AC，则此图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
二、填空题
6． 如图所示，已知AE∥BD，如果要用“角边角”判定△AEC≌△DCE，那么需添加的一组平行线是__________．
7． 如图所示，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第__________块去配，其依据的定理是__________(可以用字母简写)．
8． 如图所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，请你补充一个条件__________，使△ABC≌△CDA．
9． 如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，点B，D，E在同一直线上，则∠BEC的度数为__________．
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如图．若EF＝5 cm，则AE＝__________cm．
三、解答题
11．完成下列解题过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AC＝AD．
证明：∵∠___________＝180°－∠3，
∠___________＝180°－∠4，
而∠3＝∠4(已知)，
∴∠ABD＝∠ABC(等角的补角相等)．
在△ABD和△___________中，
∴△___________≌△___________( ASA )，
∴___________(全等三角形的对应边相等)．
12．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC≌△ABD．
13．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
14．如图，已知AB∥DC，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB．
15．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE．求证：
(1)∠EAC＝∠DBC．
(2)BD平分∠ABC．
PAGE
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.5.2 边角边定理（SAS）（参考答案）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 A C A D C
二、填空题
6． AC∥DE
7． ③ ASA
8． AD＝BC或AB∥CD
9． 50°
10．3
三、解答题
11．证明：∵∠ABD＝180°－∠3，
∠ABC＝180°－∠4，
而∠3＝∠4(已知)，
∴∠ABD＝∠ABC(等角的补角相等)．
在△ABD和△ABC中，
∴△ABD≌△ABC( ASA )，
∴AC＝AD(全等三角形的对应边相等)．
12．证明：在△ABC和△ABD中，
∵
∴△ABC≌△ABD(ASA)．
13．证明： ∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠CAB．
∵∠B＝∠E，AB＝AE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
∴BC＝ED．
14．证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠4．
∵AD∥BC，∴∠1＝∠3．
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB(ASA)．
15．证明(1)∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°＝∠C．
∴∠EAC＋∠ADE＝90°，∠DBC＋∠BDC＝90°．
∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAC＝∠DBC．
(2)如答图所示，延长AE，BC交于点F．
在△ACF和△BCD中，
∵
∴△ACF≌△BCD(ASA)．∴AF＝BD．
∵BD＝2AE，AE＋EF＝BD，
∴AE＝FE．
在△ABE和△FBE中，
∵
∴△ABE≌△FBE(SAS)．
∴∠ABE＝∠FBE．
∴BD平分∠ABC．
PAGE
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.5.2 边角边定理(SAS)
学习目标1．探索并掌握判定两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(边角边)．2．会运用“边角边”判定两个三角形全等．3．掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
学习过程
用量角器和刻度尺画△ABC，使AB＝4cm，BC＝6cm，∠ABC＝60°将你画出的三角形和其他同学画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？结论： 在△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝2cm，BC＝2.5cm．用三角尺作△ABC．
例3 已知：如图，AC与BD相交于点0，且0A＝0C，OB＝OD．求证：△AOB≌△COD．
如图，点D，E分别在AC，AB上，已知AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE．请说明理由(填空)．解：在△ABD和__________中，∴ __________ ≌ __________( __________ )∴ BD＝CE(________________________________________)
如图，填空：(1)如果AB＝ED，∠B＝∠D，__________，则△ABC≌△EDF．(2)如果BC＝DF，__________，AC＝EF，则△BAC≌__________．(3)如果__________，∠A＝∠E，AB＝ED，则△CAB≌△EDF．
如图，把两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．说明卡钳的工作原理．
如图，直线l⊥线段AB于点O，且OA＝0B，点C是直线l上任意一点，说明CA＝CB的理由．
结论：
已知：如图，AC是线段BD的垂直平分线．求证：△ABC≌△ADC．
如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这样的两个三角形一定全等吗？请说明理由．
补充练习
已知：如图，AC＝BD，∠CAB＝∠DBA．求证：(1) △ABC≌△BAD．(2) BC＝AD，∠C＝∠D． 已知：如图， 直线l和直线m分别是线段AB和线段AC的垂直平分线，O为交点．求证：点O到点A，B，C的距离相等．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共21张PPT)
边角边定理（SAS）
1.5.2 边角边定理（SAS）
教学目标
1.探索并掌握判定两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（边角边）.
2.会运用“边角边”判定两个三角形全等．
3.掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
重点与难点
本节教学的重点是两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
线段垂直平分线性质定理的证明涉及分类讨论，是本节教学的难点.
（1）把两根木条的一端用螺栓固定在一起，连结另两端所组成的三角形是否唯一确定？
（2）如果将两木条之间的夹角大小固定呢？
用量角器和刻度尺画△ABC，使AB=4cm，BC=6cm，∠ABC=60°将你画出的三角形和其他同学画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？
画法： 1.画∠ABC=60°.
2.在射线AM上截取4B=4cm.
3.在射线AN上截取BC=6cm.
4.连结AC.
∴ △ABC就是所求的三角形.
结论：有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成”边角边“或"SAS"）.
在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=2cm，BC=2.5cm.用三角尺作△ABC．
例3 已知：如图，AC与BD相交于点0，且0A=0C，OB=OD.求证：△AOB≌△COD.
证明：在△A0B和△COD中，
∴ △AOB≌△COD(SAS).
如图，点D，E分别在AC，AB上，已知AB=AC，AD=AE，则BD=CE．请说明理由（填空）.
解：在△ABD和 △ACE 中，
∴ △ABD ≌ △ACE ( SAS )
∴ BD=CE(全等三角形的对应角相等)
A
B
C
D
E
如下图，填空：
（1）如果AB=ED，∠B=∠D，BC=DE，则△ABC≌△EDF.
（2）如果BC=DF，∠C=∠F，AC=EF，则△BAC≌△DEF．
（3）如果AC=EF，∠A=∠E，AB=ED，则△CAB≌△EDF.
A
B
D
E
C
F
如图,把两根钢条AA',BB'的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳.说明卡钳的工作原理.
如图，直线l⊥线段AB于点O，且OA=0B，点C是直线l上任意一点，说明CA=CB的理由.
解：已OA=OB，当点C与点O为同一点，即重合时，显然CA=CB.当点C与点O不重合时，
∵ 直线l⊥AB，
∴ ∠C0A=∠COB=90°.
在△COA与△COB中，
∴ △COA≌△COB（SAS）.
∴CA=CB（全等三角形的对应边相等）.
结论：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
证明:∵ AC是线段BD的垂直平分线，
∴ AB=AD,BC=CD(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
在△ABC和△ADC中,
∴ △ABC ≌△ADC(SSS).
已知:如图,AC是线段BD的垂直平分线.
求证:△ABC≌△ADC.
如果两个三角形有两边和一个角对应相等,那么这样的两个三角形一定全等吗 请说明理由.
答案:不一定,反例如下图:AB=AB,AC=AC',∠B=∠B,但△ABC与△ABC'不全等.
小结
证明：(1)在△ABC与△BAD中,
∴ △ABC≌△BAD(SAS）．
(2)∵ △ABC≌△BAD,
∴ BC=AD,∠C=∠D(全等三角形的对应边相等,对应角相等).
已知:如图,AC=BD,∠CAB=∠DBA.
求证: (1) △ABC≌△BAD.
(2) BC=AD,∠C=∠D.
已知:如图, 直线l和直线m分别是线段AB和线段AC的垂直平分线,O为交点.
求证:点O到点A,B,C的距离相等.
有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转90°前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中.”怎样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在图上标出藏宝洞穴的位置．
一、边角边定理（基本事实）
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（边角边）
二、线段垂直平分线的性质定理
1.5.2 边角边定理（SAS）
