1.1认识三角形 第2课时（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

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浙江版八年级数学上册第一章1.1认识三角形
第2课时 认识三角形（2）
【知识清单】
1、角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线.
2、中线定义：连接三角形一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线.
3、高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角
形的高.
4、三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高，等高等底的两个三角形面积相等.
5、★重要性质：
（1）三角形的中线平分与它相交的边，并且把一个三角形分成两个面积相等的三角形；
（2）一个三角形有三条中线、三条角平分线，并且都在三角形内部，交于一点；
（3）每个三角形都有三条高线，且三条高线或所在的直线相交于一点.
6、应用：如图（1）AE是△ABC的∠BAC的平分线，则有∠1=∠2=∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2；
如图（2）AD是△ABC的BC上的中线，则有BD=DC=BC或BC=2BD=2DC；
如图（3）AH是△ABC的BC上的高线，AH⊥BC于H，则有∠AHB=∠AHC=90°.
7、注意：（1）三角形的角平分线、中线、高线都是线段；
（2）高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上；
（3）三条角平分线的交点是三角形的外心；三条中线的交点是三角形的重心；三条高线所在直线的交点是三角形的垂心.
8、考点 (1)利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的内角和进行计算角度问题；
(2)画三角形的高线、中线、角平分线，以及基本图形的尺规作图法.
【经典例题】
例题1如图，已知AE，AD分别为△ABC中BC边上的中线和高线，且AB=11cm，AC=7cm，则△ABE的周长比△ACE的周长大多少厘米？若△ABE的面积是和△ACE的面积是，你能得出与大小关系吗？
【考点】三角形的中线、高线的性质和三角形的周长、面积计算.
【分析】
已知AE为△ABC中BC边上的中线，点E为BC边上的
中点，所以BE=CE，然后分别求出△ABE的周长和△ACE
的周长，再作差比较即可.
要想得出△ABE和△ACE的面积大小关系，需要根据三角形的面积公式（底×高），分别求出△ABE的面积和△ACE的面积，然后作比较.
【解答】
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE，
∵△ABE的周长=AB＋BE＋AE，
△ACE的周长=AC＋CE＋AE =AC＋BE＋AE，
∴△ABE的周长－△ACE的周长=AB－AC=11－7=4（cm）
答：△ABE的周长比△ACE的周长大4cm.
∵=，
=，
∴=.
答：△ABE的面积等于△ACE的面积.
【点评】此题主要考查三角形中线和高线的性质以及三角形周长和面积的计算，正确理解三角形中线平分与它相交的边以及同高等底的两个三角形面积相等是解题的关键．
例题2如图，在△ABC中，已知BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，相交于点O，
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=64°时，求∠BOC的度数？
（2）若∠BAC=76°时，求∠BOC的度数？
（3）直接写出∠BOC与∠BAC的大小关系 .
【考点】三角形的内角和定理、角平分线的性质.
【分析】（1）已知BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，依据三角形角平分线性质，可以得出，，从而得出∠EBC和∠BCD的度数，再由三角形的内角和定理求出∠BOC的度数；
（2）已知∠BAC=76°，依据三角形内角和定理，可以得出（∠ABC＋∠ACB）的度数，进而求
出（∠EBC＋∠DCB）的度数，再由三角形的内角和定理求出∠BOC的度数．
（3）由前两题的结论总结规律，得出∠BOC与∠BAC的大小关系.
【解答】
（1）∵BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴，.
∵∠ABC=40°，∠ACB=64°，
∴=20°，=32°.
在△BOC中，
∠BOC=180°－∠EBC－∠DCB
=180°－20°－32°=128°.
（2）∵∠BAC=76°，
∴∠ABC＋∠ACB=180°－∠BAC=104°.
∵BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴，.
∴.
在△BOC中，
∠BOC=180°－（∠EBC＋∠DCB） =180°－52°=128°.
（3）.
【点评】此题主要考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确应用三角形内角和为180°和三角形角平分线将一个角分成相等两部分是解题的基础．
【夯实基础】
1.能将一个三角形分成面积相等两部分的线是（ ）
A.角平分线 B.高线 C.中线 D.不存在这样的线
2.有一个三角形的三个内角都不相等，其中最小的角为47°，这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
3.若三角形的三条高所在的直线的交点不在外部，
则这样的三角形是 三角形.
4.将一副三角板的直角顶点A如图叠放在一起，
则∠DAC+∠BAE= °.
5.如图，在△ABC中，作出BC边上的高线AD（要求：标出垂足符号，写出垂足字母）；作出∠B的平分线BE；作出AB边上的中线CF.
6.如图，在△ABC中，AB>AC，AD是中线，将三角形的周长分为15cm和
12cm两部分，AB+AC=21，求三角形三边的长.
【提优特训】
7.下列说法错误的是（）
A.三角形的三条中线相交于一点 B.三角形的三条角平分线相交于一点
C.三角形的角平分线、中线、高线都是线段 D.三角形的三条高线不相交于一点
8. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E、G分别是BG、AC的中点，若BC=3DC，△ABC的面积为12，则的值是（ ）.
A. B.1 C.2 D.3
9.如图，∠1=∠2，CE⊥AD，垂足为G，交AB于E，点F是AD的中点，CM是过点F的射线，连接BF，有如下的结论：①AD是△AEC的角平分线；②CG是△ADC的高；③CM是△ADC的边AD上的中线；④BF是△ABD的边AD上的中线.其中正确的有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为2的点C的个数为（ ）．
A.5 B.6 C.7 D.8
11.如图，已知△ABC的面积为1，作出△ABC中线AD，得到△ADC，作出△ADC的中线DE，得到△DEC，作出△DEC的中线EF，得到△EFC，按照此规律作出第n条中线后，得到三角形的面积是 .
12. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC=68°，∠ACB=76°.
（1）求∠B和∠DAC的度数；
（2）若CE是∠BCA的平分线，求∠AEC的度数.
13.如图①，在△ABC中，∠B=32°，∠C=66°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E.
（1）求∠DAE的度数；
（2）将上题中“∠B=32°，∠C=66°”改为“∠C>∠B”，
其他条件不变，你能探究出∠DAE与∠B、∠C之
间的数量关系吗？
（3）如图②，AD平分∠BAC，F为AD延长线上一点，
FM⊥BC于点M，这时∠DFM与∠B、∠C之间
又有何数量关系？为什么？
【中考链接】
14．（2017四川省德阳市，第6题，3分）如图，在ΔABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（　　）
A．15°　　　　B．20°　　　　C．25°　　　　D．30°
15.(2017年广西河池市9)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成
相等两部分的是（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
16.(2017江苏泰州4)三角形的重心是（　　）
A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平行线的交点
17.(2018浙江萧山)若线段AM、AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（ ）
A. AM＞AN B.AM≥AN C.AM＜AN D.AM≤AN
【参考答案】
1.C 2.A 3. 锐角三角形或直角三角形 4. 180° 5.略
6.题解答：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长=AB＋BD＋AD，
△ACD的周长=AC＋CD＋AD =AC＋BD＋AD，
∴△ABD的周长－△ACD的周长=AB－AC=3.
又∵AB+AC=21，
解方程组，得，AB=12，AC=9
答：AB和AC的长分别为12和9.
7.D 8.B 9.B 10.A 11. 14.B 15.A 16.A 17.D
12题解答：
（1）∵∠BAC=68°，∠ACB=76°，
∴，
.
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=14°.
（2）∵CE是∠BCA的平分线，
∴.
∴
13题.【考点】三角形的内角和定理、角平分线和高线的性质.
分析：（1）依据三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△AEC中，可求得∠EAC的度数，AD是角平分线，由∠DAC=∠BAC，故∠DAE=∠DAC－∠EAC；
（2）依据三角形内角和定理，以及角的平分线的性质即可求得，∠DAE与∠B、∠C之
间的数量关系．
解答：（1）如图①，因为∠B=32°，∠C=66°，
所以，
因为AD平分∠BAC，
所以∠DAC=∠BAC =41°，
又因为AE⊥BC，
所以∠AEC=90°.
所以∠EAC=24°.
所以∠DAE=∠DAC－∠EAC =17°.
（2）；
理由：如图①，因为AD平分∠BAC，
所以
因为AE⊥BC，
所以∠EAC=90°－∠C
.
（3）；
过点A作AE⊥BC于点E，
因为FM⊥BC，
所以FM∥AE.
.
第5题图2
第5题图1
第6题图
第14题2017德阳市
第6题图
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