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1.5.4 角角边定理(AAS)
学习目标1．掌握三角形全等的判定定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(角角边)．2．会运用“角角边”判定两个三角形全等．3．掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
学习过程
如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，请说出△ABC≌△A′B′C′的理由．
总结
已知：如图，AD平分∠BAC，∠B＝∠C．求证：BD＝CD．
例6已知：P是∠BAC的平分线上的点，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C．求证：PB＝PC．总结：
已知：如图，AD垂直平分BC，D为垂足．DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分别为垂足．求证：DM＝DN．
例7已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，求证：PA＝PD．
如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出四个论断：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明．
已知：如图，∠B＝∠C，AD＝AE．求证：CD＝BE．
已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AC＝AD．
已知：如图，△ABC≌△DCB．求证：AP＝DP，BP＝CP．
已知：如图，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：AD＝BC．
证明：三角形的两条角平分线的交点到各边的距离相等．
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角角边定理
1.5.4 角角边定理（AAS）
教学目标
1.掌握三角形全等的判定定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（角角边）.
2.会运用“角角边”判定两个三角形全等．
3.掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
重点与难点
本节教学的重点是两个三角形全等的判定定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
例7需添加辅助线，其证明的思路较复杂，是本节教学的难点.
如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB=A′B′，
∠B=∠B′，∠C=∠C′，请说出△ABC≌△A′B′C′的理由．
结论：
有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
证明：
∵AD平分∠BAC（已知）,
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）.
∴∠B＝∠C（已知），
AD＝AD（公共边）.
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴BD＝CD（全等三角形的对应边相等）.
已知:如图,AD平分∠BAC,∠B＝∠C.
求证:BD＝CD.
例6已知：P是∠BAC的平分线上的点，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C.求证：PB=PC.
证明：PB⊥AB，PC⊥AC（已知）
∴∠ABP=∠ACP=Rt∠（垂线的定义）.
在△APB和△APC中，
∴△APB≌△APC（AAS）
∴PB=PC．
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
几何语言：
∵AP平分∠CAB，
且PC⊥AC，PB⊥AB，
∴PC=PB．
归纳：当遇到角平分线与垂直的条件时，常常用角平分线性质定理．
已知:如图,AD垂直平分BC,D为垂足.
DM⊥AC,DN⊥AB,M,N分别为垂足.
求证:DM＝DN.
例7已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，求证：PA=PD.
如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上.下面给出四个论断：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF.任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明.
小结
证明：在△ABE和△ACD中，
∵∠A=∠A
∠B=∠C
AD=AE
∴△ABE≌△ACD(AAS)
∴CD＝BE（全等三角形的对应边相等）.
已知：如图，∠B＝∠C，AD＝AE.
求证：CD＝BE.
已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
求证：AC＝AD.
已知：如图，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.
求证：点P到三边的距离相等.
证明：记点P到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3.
∵点P在BD上（已知），
∴h1＝h2（角平分线性质定理）.
同理可证：h2＝h3，
∴h1＝h2＝h3.
证明：三角形的两条角平分线的交点到各边的距离相等.
已知：如图，△ABC≌△DCB.
求证：AP＝DP，BP＝CP.
已知：如图，AB∥CD，∠A＝∠C.
求证：AD＝BC.
一、角角边
二、角平分线的性质定理
几何语言：
∵AP平分∠CAB， 且PC⊥AC，PB⊥AB，∴PC=PB．
基本图形
1.5.4角角边定理（AAS）
