1.1.3 三角形内角和定理同步作业

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1.1 .3三角形内角和定理同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．在△ABC中，已知∠B=40°，∠C=90°，则∠A的度数为（　　 ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
2．在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是（　　）三角形．
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
3．如图，，，垂足为，，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
4．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（　　）
A. 85° B. 75° C. 60° D. 30°
5．在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点P，设∠A=x°，用x的代数式表示∠BPC的度数，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6．（2018 大庆模拟）如图，△ABC中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（ ）
A. 40° B. 20° C. 25° D. 30°
7．如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（ ）
A. ∠1+∠2=2∠A B. ∠2-∠A=2∠1 C. ∠2-∠1=2∠A D. ∠1+∠A=∠2
8．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A. 90° B. 360° C. 180° D. 无法确定
二、填空题
9．三角形内角和定理：_____．
10．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，∠A＝50°，∠C＝70°，那么∠ADE的度数是______.
11．如图，在六边形ABCDEF中，AF//CD，AB//DE，且， 则的度数是______， 度数是______
12．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=_____度．
13．如图，平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1＝________．
14．在△ABC中，∠A=160°．第一步：在△ABC上方确定一点A1，使∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，如图1，则∠A1的度数为__；第二步：在△A1BC上方确定一点A2，使∠A2BA1=∠A1BA，∠A2CA1=∠A1CA，如图2．照此下去，至多能进行___步．
15．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=120°，则∠A=__________
三、解答题
16．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
17．△ABC中，∠C=60°，∠B的两倍比∠A大15，求∠A和∠B的大小．
18．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形.
19．在△ABC中，∠A＝50°，∠B－∠C＝70°，请按角的分类判断△ABC的形状，并说明理由．
20．如图，在中，，，求的度数.
21．如图，已知AB∥CD，AD平分∠BDC．
（1）求证：∠BAD=∠BDA；
（2）若AD⊥AC，∠C=700，求∠B的度数．
参考答案
1．B
【解析】∠A=180°-40°-90°=50°.
故选B.
2．B
【解析】分析：根据互为余角的两个角的和等于90°可得 然后根据三角形的内角和定理求出，即可判断的形状．
详解：∵∠B与∠C互余，
∴
在△ABC中,
∴△ABC是直角三角形.
故选B.
点睛：考查直角三角形的判定,两锐角互余的三角形是直角三角形.
3．C
【解析】在△DEF中，∠1=∠F=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故选C．
4．B
【解析】分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．
详解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选：B．
点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．
5．A
【解析】分析：根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠PBC+∠PCB的度数，最后根据三角形内角和定理即可求解．
详解：如图：
∵∠A=x°，
∴∠ABC+∠ACB=180° x°，
∵∠B，∠C的平分线相交于点P，
∴∠PBC+∠PCB=(180° x°)，
∴∠BPC=180° (180° x°)=90°+x°，
故选A.
点睛：本题考查了三角形内角和定理.
6．C
【解析】∵由三角形的外角的性质可知，∠E=∠ECD–∠EBD，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，∵∠ACD–∠ABC=∠A=50°，∴∠ACD–∠ABC=25°，∴∠E=∠ECD–∠EBD=25°，故选C．
7．C
【解析】如图：
分别延长CE、BD交于点，
∴∠2=∠EA+∠EA,∠1=∠DA+∠DA，
而根据折叠可以得到∠EA=∠EA,∠DA=∠DA，
∴∠2 ∠1=2(∠EA ∠DA)=2∠EAD.
故选C.
8．C
【解析】如图，连接BC，
∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，
∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，
又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.
故选C.
9．三角形三个内角的和等于180°
【解析】试题解析：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
10．60°
【解析】∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C=70°，
又∵∠ADE+∠AED+∠A=180°，
∴∠ADE=180° ∠A ∠AED=180° 70° 50°=60°，
故答案为：60°.
点睛：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键.
11． 160°； 120°
【解析】连接AC，已知AF∥CD，根据平行线的性质可得∠ACD=180°-∠CAF，又因∠ACB=180°-∠B-∠BAC，所以∠BCD=∠ACD+∠ACB=180°-∠CAF+180°-∠B-∠BAC=360°-120°-80°=160°．
连接BD，由AB∥DE，可得∠BDE=180°-∠ABD．又因∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD，所以∠CDE=∠BDC+∠BDE=180°-∠ABD+180°-∠BCD-∠CBD=360°-80°-160°=120°．
点睛：本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练运用平行线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
12．115
【解析】分析：根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解．
详解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°．
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，
∴∠DBC+∠DCB=65°，
∴∠BDC=115°．
点睛：本题主要利用了角平分线的性质和三角形的内角和是180度．
13．30°
【解析】分析：
根据“光的反射定律：反射角等于入射角”结合“三角形内角和为180°”和已知条件进行分析解答即可.
详解：
如下图，由光的反射定律可知：∠1=∠OAB，∠2=∠OBA，
∵∠1=∠2，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠OAB+∠AOB+∠OBA=180°，∠AOB=120°，
∴∠OAB=(180°-120°)=30°，
∴∠1=∠OAB=30°.
故答案为：30°.
点睛：熟知：“光的反射定律：反射角等于入射角”是解答本题的关键.
14． 140° 7
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理和角平分线定义可得∠A1BC+∠A1CB=2(180°-∠A)= 2(180°-160°)，故可以求∠A1；
（2）设进行n次，由（1）可得
∠AnBC+∠AnCB=2(180°-∠A)= (n+1)(180°-160°)< 180°.
【详解】(1)由已知可得∠A1BC+∠A1CB=2(180°-∠A)= 2(180°-160°)=40°.
∠A1=180°-（∠A1BC+∠A1CB）=140°；
（2）设进行n次，由（1）可得
∠AnBC+∠AnCB=2(180°-∠A)= (n+1)(180°-160°)< 180°
所以，n<8
所以，n的最大值是7.
故答案为：(1). 140° (2). 7
【点睛】本题考核知识点：三角形内角和定理和角平分线.解题关键点：理解三角形内角和定理和角平分线.
15．600
【解析】试题分析：根据邻补角的意义，可知∠A′EA=180°-∠1，∠A′DA=180°-∠2，再根据∠1+∠2=120°，可知∠A′EA+∠A′DA=360°-（∠1+∠2）=240°，然后根据折叠的性质可得∠A′ED=∠A′EA，∠A′DE=∠A′DA，即∠A′ED+∠A′DE=∠A′EA+∠A′DA=（∠A′EA+∠A′DA）=120°，因此可根据三角形的内角和为180°可求得∠A′=180°-120°=60°.
故答案为：60°.
16．证明见解析
【解析】分析：过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
详解：如图，过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
点睛：本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
17．∠A是75°，∠B是45°．
【解析】分析：由“∠B的两倍比∠A大15°”可以得到∠A=2∠B﹣15°，进一步利用三角形的内角和180°列方程解答即可．
详解：∠A=2∠B﹣15°，
△ABC中，
∠A+∠B+∠C=180°，
∠2∠B﹣15°+∠B+60°=180°，
解得∠B=45°，
∠A=2∠B﹣15°=2×45﹣15°=75°；
答：∠A是75°，∠B是45°．
点睛：此题考查三角形的内角和定理以及渗透等量代换的思想，关键是利用三角形的内角和180°列方程解答．
18．△PEF是直角三角形
【解析】试题分析：根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠BEF＋∠DFE ＝180°，再根据角平分线定义得∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)，然后计算出∠P＝90°，根据直角三角形的定义即可得到△EPF是直角三角形．
试题解析：
证明：因为AB∥CD，
所以∠BEF＋∠DFE＝180°．
又因为EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
所以∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE．
所以∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝90°．
又因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°，
所以∠P＝90°．
所以△PEF是直角三角形．
点睛：本题考查了平行线性质，角平分线定义和三角形内角和定理的运用，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠PEF＋∠PFE＝90°是解题的关键．
19．△ABC是钝角三角形．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可求得三个角的度数，从而判定这个三角形的形状．
【详解】△ABC是钝角三角形.
理由如下：∵∠A＝50°，
∴∠B＋∠C＝180°-∠A=180°-50=130°，
又∵∠B－∠C＝70°，
∴∠B＝100°，∠C＝30°，
所以△ABC是钝角三角形．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟知三角形的内角和为180°是解题的关键．
20．∠BPC=110°
【解析】试题分析：根据题意、利用等量代换得到根据三角形内角和定理计算即可．
试题解析： 即
又∠1=∠2，
∴
∴
21．（1）见解析；（2）140°.
【解析】分析：
（1）由AB∥CD可得∠BAD=∠CDA，由AD平分∠BDC可得∠CDA=∠BDA，两者结合即可得到∠BAD=∠BDA；
（2）由AD⊥AC可得∠DAC=90°，结合∠C=70°可得∠CDA=20°，结合AD平分∠BDC可得∠BDC=40°，再结合AB∥CD即可得到∠B=140°.
详解：
（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC，
∵AD平分∠BDC，
∴∠BDA=∠ADC，
∴∠BAD=∠BDA；
（2）∵AB∥CD
∴∠B+∠BDC=180°，
∵AD⊥AC，∠C=70°，
∴∠ADC=180°-70°-90°=20°，
∵AD平分∠BDC，
∴∠BDC=2∠ADC=40°，
∴∠B=180°-∠BDC=180°-40°=140°.
点睛：（1）熟悉“平行线的性质和角平分线的定义”是解答第1小题的关键；（2）“由垂直的定义结合三角形内角和定理求得∠ADC=20°”是解答第2题的关键.
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