1.1 .4三角形的角平分线、中线和高 同步作业

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1.1 .4三角形的角平分线、中线和高同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．下列各组图形中，AD是的高的图形是　　
A. B. C. D.
2．三角形的三条高所在直线的交点一定在( )
A. 三角形的内部 B. 三角形的外部
C. 三角形的内部或外部 D. 三角形的内部、外部或顶点
3．已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是( ) ．
A. ≤x≤3 B. ≤x<4 C. ≤x≤4 D. ≤x≤5
4．△ABC 中，已知点 D，E，F 分别是 BC，AD，CE 边上的中点，且 S△ABC=4cm2 则 S△BEF 的值为（ ）
A. 2cm2 B. 1cm2 C. 0.5cm2 D. 0.25cm2
5．如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=3，则CF的长为（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 6 D. 9
6．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC=（ ）
A. B. C. D.
7．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为( )
①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．如图， 是的平分线， 是的平分线， 与交于点．若， ，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题
9．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=______________
10．已知△ABC中，AE为BC边上的高线，若∠ABC=50°，∠CAE=20°，则∠ACB=_____°．
11．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为且=24，则=___________
12．如图，△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，△ABC的面积为6，则阴影部分的面积是_____．
13．如图，在△ABC中，BD=DC，AE=EB，AD与CE交于点O，若DO=2，则AO=_____．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于E，若∠C=80°，∠B=40°则∠DAE的度数为______．
15．如图所示，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O点的直线MN∥BC，若AB=12，AC=14，BC=15,则△AMN的周长为__________.
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求∠BHC的度数．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD将△ABC的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边BC的长．
18．已知：如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,E为BC上一点,过E点作EF⊥AC,垂足为F,过点D作DH∥BC交AB于点H.
(1)请你补全图形。
(2)求证：∠BDH=∠CEF.
19．如图，已知△ABC
⑴画出△ABC的角的平分线,△ADC的高;
⑵若,求的度数
20．已知，如图，在△ABC中，∠B <∠C,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线。
（1）若∠B=30°，∠C=50°，试确定∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE，∠B，∠C的数量关系，并证明你的结论。
21．操作与探索：
在图①～③中，△ABC的面积为a.
(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的式子表示)；
(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的式子表示)，请说明理由；
(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的式子表示)．
参考答案
1．D
【解析】分析：根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
详解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．
故选：D．
点睛：本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．D
【解析】分析：根据三角形的高线的定义分情况讨论高线的交点，即可得解．
详解：锐角三角形，三角形三条高的交点在三角形内部，
直角三角形，三角形三条高的交点在三角形直角顶点，
钝角三角形，三角形三条高的交点在三角形外部，
故选D．
点睛：本题考查了三角形的高线，熟记三种三角形的高线的交点的位置是解题的关键．
3．C
【解析】分析：点D在A点时，x值最大，当点D运动到CD⊥AB时，x值最小，求出x的值即可．
详解：点D在A点时，x值最大，此时x=4，
当点D运动到CD⊥AB时，x值最小，
根据直角三角形的面积公式，得AC BC＝AB CD，
则CD＝＝，
故 ≤x≤4，
故选：C．
点睛：此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算.
4．B
【解析】分析：根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形求出S△BCE=S△ABC，S△BEF=S△BCE，然后代入数据进行计算即可得解．
详解：∵点D、 E分别是边BC、AD上的中点，
∴S△ABD=S△ABC,S△ACD=S△ABC，
S△BDE=S△ABD,S△CDE=S△ACD，
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∵点F是边CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=×S△ABC=S△ABC，
∵S△ABC=4，
∴S△BFF=×4=1.
故选：B.
点睛：此题考查了面积与等积变换及三角形的面积，解答本题的关键是根据三角形中位线将三角形的面积分成相等的两边部分解答，有一定难度.
5．D
【解析】∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，
∴G为△ABC的重心，
∴2FG=GC，
∵FG=3，
∴GC=6，
∴CF=9．
故选D.
【点睛】本题主要考查了三角形重心的定义及性质，熟记三角形三边中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键.
6．A
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=140°，再根据到角两边的距离相等的点在角的平分线上，判断出点O是△ABC角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后在△OBC中，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解．
【详解】∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴点O是△ABC角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×140°=70°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°，
故选A.
【点睛】本题主要考查了角平分线上的判定，三角形的内角和定理，角平分线的定义，判断出点O是△ABC角平分线的交点是解题的关键，要注意整体思想的利用．
7．B
【解析】解：AD不一定平分∠BAF，①错误；
AF不一定平分∠DAC，②错误；
∵∠1=∠2，∴AE平分∠DAF，③正确；
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠CAE，∴AE平分∠BAC，④正确；
故选B．
8．B
【解析】解：如图，连接．
∵，∴．
∵，∴．
∵是的平分线， 是的平分线，
∴，∴，∴．故选．
9．45°
【解析】分析: 在三角形中，三内角之和等于180°，锐角三角形三个高交于一点.
详解: 在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，
∴∠ACF=15°，
∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD=45°.
故答案为：45°.
点睛: 考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°.
10．70或110．
【解析】∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°﹣50°=40°，
分两种情况：
①当∠ACB为锐角时，如图1，
在△AEC中，∠ACB+∠CAE=90°，
∴∠ACB=90°﹣20°=70°，
②当∠ACB为钝角时，如图2，
则∠ACB=∠CAE+∠AEC=20°+90°=110°，
故答案为：70或110．
11．4
【解析】分析: 利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则S△AEC=S△ABC=16，S△BCD=S△ABC=12，然后利用S△AEC-S△BCD=4即可得到答案.
详解: ：∵EC=2BE，
∴S△AEC=S△ABC=×24=16，
∵点D是AC的中点，
∴S△BCD=S△ABC=×24=12，
∴S△AEC-S△BCD=4，
即S△ADF+S四边形CEFD-（S△BEF-S四边形CEFD）=4，
∴S△ADF-S△BEF=4．
故答案为:4.
点睛: 本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
12．
【解析】分析：根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ADC是阴影部分的面积的2倍，△ABC的面积是△ADC的面积的2倍，依此即可求解．
详解：
∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△AEC=S△ACD，S△ACD=S△ABC，
∴S△AEC=S△ABC=×6=．
故答案为：．
点睛：考查了三角形的面积和中线的性质：熟记三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解题关键．
13．4
【解析】分析：根据已知条件可判定点O是△ABC的重心，然后根据三角形的重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即可求解．
详解：∵BD=DC，AE=EB，AD与CE相交于点O，∴O是△ABC的重心，∴AO=2DO=2×2=4cm．
故答案为：4．
点睛：本题主要考查学生对三角形的重心这个知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
14．20°
【解析】根据三角形的高线、角平分线定义及三角形内角和定理即可求解.
解：∵AD⊥BC，
∴∠CDA=90°，
∵∠C=80°，
∴∠CAD=10°，
∵∠C=80°，∠B=40°，
∴∠BAC=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC=30°，
∴∠DAE=∠EAC－∠CAD =30°－10°=20°.
故答案为：20°.
15．26
【解析】解：BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO=∠CBO，∠OCB=∠OCN；
∵MN∥BC，∴∠MOB=∠CBO，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO；
∴OM=BM，CN=ON，∴△AMN的周长=12+14=26．
点睛：本题主要考查角平分线的性质和平行线的性质以及三角形的周长求法，合理利用图中线段的相等关系是关键．
16．120°
【解析】【分析】由BE⊥AC可知∠BEC=90°，由直角三角形两锐角互余可求出∠EBC的度数；同理可得出∠BCF的度数，在△BHC中，根据三角形内角和定理即可求出∠BHC的度数．
【详解】∵BE是AC边上的高，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝90°－∠BCE＝90°－54°＝36°.
∵CF是AB边上的高，∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝90°－∠ABC＝90°－66°＝24°，
∴在△BHC中，∠BHC＝180°－∠BCF－∠EBC＝180°－24－36°＝120°.
【点睛】本题考查了三角形的高，三角形内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
17．见解析
【解析】试题分析：由在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，可得|AB﹣BC|=15﹣12=3（cm），AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案．
试题解析：解：如图．∵AB=AC，BD是AC边上的中线，即AD=CD，∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|=|AB﹣BC|=15﹣12=3（cm），AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm，若AB＞BC，则AB﹣BC=3cm．又∵2AB+BC=27cm，联立方程组并求解得：AB=10cm，BC=7cm，10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC﹣AB=3cm．又∵2AB+BC=27cm，联立方程组并求解得：AB=8cm，BC=11cm，8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形；
∴三角形的底边BC的长7cm或11cm．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
18．（1）画图见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据题意，完成几何图形；（2）根据垂直的定义和平行四边形的判定得到BD∥EF，则∠CEF=∠CBD，再由DE∥BC得到∠BDH=∠CBD，于是有∠BDH=∠CEF.
(1)如图,
(2)证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠CFE=∠CDB=90o
∴BD∥EF，
∴∠CEF=∠CBD，
∵DH∥BC，
∴∠BDH=∠CBD，
∴∠BDH=∠CEF
“点睛”本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行线关系来寻找角的数量关系，也考查了垂线.
19．（1）见解析（2）60°
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方法作角平分线及垂线即可得；
角平分线：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A有这个交点作射线与BC边交于点D，则AD即为所求作的；
高线：以点D为圆心，以DC长为半径画弧，交AC于另一点，再分别以这个交点与点C为圆心，以大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点D以及这个交点作直线，交AC于点E，则DE就是所求作的高线；
（2）先根据三角形内角和求出∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，可得∠DAE的度数，再由∠AED=90°，根据直角三角形两锐角互余即可得.
【详解】(1)如图所示，AD是角平分线，DE是高；
（2）∵，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-50°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠BAC=30°，
∵∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠DAE=60°.
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线、三角形的高线，三角形内角和定理，熟练掌握作图方法是解题的关键.
20．（1）10°；（2）(∠C-∠B)(或∠C-∠B)，理由见解析
【解析】（1）在三角形ABC中，由∠B与∠C的度数求出∠BAC的度数，根据AE为角平分线求出∠BAE的度数，由∠BAD-∠B即可求出∠DAE的度数；
（2）仿照（1）得出∠DAE与、∠B、∠C的数量关系即可．
解：（1）在△ABC中，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-30°-90°=60°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-50°=10° ；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-∠B-90°=90°-∠B，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-∠B-∠BAC，
=90°-∠B-(180°-∠B-∠C)，
=(∠C-∠B)(或∠C-∠B).
21．（1）a；（2）2a；（3）6a.
【解析】试题分析：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1，由于△ACD与△ABC底相等、高相同，因此它们的面积相等，问题得以解决；
（2）连接AD，如图2，同（1）可求出△EAD的面积，就可解决问题；
（3）如图3，同（2）可求出△EAF和△FBD的面积，问题得以解决.
试题解析：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1，
∵BC=CD，S△ABC=BC AH=a，S△ACD=CD AH，
∴S1=S△ACD=S△ABC=a．
故答案为a．
（2）连接AD，如图2，
同理可得S△EAD=S△ACD=S△ABC=a，
∴S2=S△ECD=a+a=2a．
故答案为2a．
（3）同（2）可得
S△FBD=S△EAF=S△ECD=2a，
∴S3=6a，
故答案为6a
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