1.5.2 三角形全等的判定（SAS）同步作业

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1.5．2 三角形全等的判定（SAS）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（　　）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
2．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（　　）
A. HL B. ASA C. SAS D. SSS
3．如图，AB∥DE，AF=DC，若要证明△ABC≌△DEF，还需补充的条件是（　　）.
A. AC=DF B. AB=DE C. ∠A=∠D D. BC=EF
4．如图，AC与BD相交于点P，AP=DP，则需要“SAS”证明△APB≌△DPC，还需添加的条件是( )
A. BA=CD B. PB=PC C. ∠A=∠D D. ∠APB=∠DPC
5．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离．我们可以证明出△ABC≌△DEC，进而得出AB=DE，那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
6．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
7．如图所示，AC=DF，BD=EC，AC∥DF，∠ACB=80°，∠B=30°，则∠F=( )
A. 60° B. 65° C. 70° D. 80°
8．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．则∠BFD的度数为（　　）
A. 45° B. 90° C. 60° D. 30°
二、填空题
9．如图，已知AC=BD，∠1=∠2，那么△ABC≌________ ，其判定根据是_______。
10．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则全等的三角形是___________________.
11．如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是______．
12．如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC.若∠D＝20°，则∠ABC的度数为___________
13．如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠C＝60°，BD＝CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE＝______.
14．如图，MN与PQ相交于点O，MO=OP，QO=ON，∠M=65°，∠Q=30°，则∠P=____，∠N=___.
15．如图，已知AB=3，AC=2，点D、E分别为线段BA、CA延长线上的动点，如果△ABC与△ADE全等，则AD为_______．
三、解答题
16．如图，点D、B在AF上，AD=FB，AC=EF，∠A=∠F．
求证：∠C=∠E．
17．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC.AE与BC相等吗？为什么？
18．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD，并延长使DF＝BD，过F点作AB的平行线段MF，连接MD，并延长，在其延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A、C、E成一条直线，请说明其中的道理；
19．如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
20．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACD的度数．
21．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，且，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？
参考答案
1．B
【解析】∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AB=AC，AD=AD，
∴可由“SAS”判定△ABD≌△ACD.
故选B.
2．C
【解析】∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，
在△ACB和△ACD中， ，
∴△ACB≌△ACD（SAS）.
故选C.
点睛：判定三角形全等方法:
(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；
(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；
(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；
(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；
(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).
3．B
【解析】试题解析：
即：
若加
可以依据证明
故选B.
4．B
【解析】在△APB和△DPC中，当时，△APB≌△DPC，
∴则需要“SAS”证明△APB≌△DPC，还需添加的条件是PB=PC，
故选B．
5．B
【解析】如图，连接AB，
∵在△ACB和△DCE中， ，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB=DE.
故选B.
6．B
【解析】∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD
在△ADE和△ADC中，
AE=AC，
∠EAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ADE≌△ADC(SAS)，
∴ED=CD，
∴BC=BD+CD=DE+BD=5，
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=(6 4)+5=7.
故选：B.
点睛：本题考查全等三角形的应用.三角形全等的判定定理有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、HL.通过证明三角形全等可以得到相等的边或角，可将待求量进行转化，使问题迎刃而解.
7．C
【解析】∵BD=EC，∴BD+CD=EC+DC，∴BC=DE，
∵AC∥DF，∴∠ACB=∠FDE，
在△ACB和△FDE中，，
∴△ACB≌△FDE（SAS），
∴∠E=∠B=30°，∠FDE=∠ACB=80°，
∴∠F=180°–∠E–∠FDE=70°，
故选C．
8．C
【解析】分析：根据等边三角形性质得出AB=AC，∠BAE=∠C=60°，证△ABE≌△CAD，推出∠ABE=∠CAD，根据三角形外角性质求出∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC，即可求出答案．
详解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
∵AB=AC，
∠BAE=∠C，
AE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60
故选：C.
点睛：本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
9． △BAD SAS
【解析】在△ABC和△BAD中，
,
所以，△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案是：△BAD，SAS．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，比较简单，要注意对应顶点的字母写在对应位置上．
10．△ACB≌△DCE
【解析】试题解析：
即
在和中
≌.
故答案为： ≌.
11．全等三角形对应边相等.
【解析】由图可知,AD∥CB,
可证明△ADE和△CBE中,∠A=∠B（两直线平行,内错角相等）,∠D=∠C（两直线平行,内错角相等）,∠AED=∠CEB（对顶角相等）,则△ADE≌△CBE,所以AD=BE=30cm,运用了全等三角形对应边相等的性质,故答案为: 全等三角形对应边相等.
12．40°
【解析】分析：由条件可证明△DOC≌△BOC,则可求得∠OBC,再由角平分线的定义可求得∠ABC的度数.
详解：∵OC平分∠BCA,
∴∠DCO=∠BCO,
在△DOC和△BOC中
,
∴△DOC≌△BOC ,
∴∠CBO=∠D=20°,
∵OB平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠2CBO=40°,
故答案为:40°.
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS,SAS,AAS,ASA和HL）和全等三角形的性质是解答本题的关键.
13．60°
【解析】∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°.
∵AB=BC，∠DBA=∠ECB=60°，BD=CE，
∴△BCE≌△ABD，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠AFE=60°.
14． 65° 30°
【解析】∵MO=OP，QO=ON（已知），
∠MO Q=∠PO N（对顶角相等）
∴△MOQ≌△PON（SAS）
∴∠P=∠M=65°，
∠N=∠Q=30°
故答案为：65°；30°
15．2或3
【解析】由题意得：AD=AB或AC,则AD=2或3.
16．详见解析.
【解析】试题分析：
由AD=FB易得AB=FD，结合AC=EF，∠A=∠F即可证得△ABC≌△FDE，从而可得∠C=∠E.
试题解析：
∵AD=FB，
∴AD+DB=FB+DB，即AB=FD，
又∵AC=EF，∠A=∠F，
∴△ABC≌△FDE，
∴C=∠E.
17．AE=BC，理由见解析.
【解析】分析：
由DE∥AB可得∠ADE=∠BAC，结合AD=BA，DE=AC证得△ADE≌△BAC即可得到AE=BC.
详解：
AE=BC，理由如下：
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAC.
∵在△ADE和△BAC中： ，
∴△ADE≌△BAC(SAS)．
∴AE=BC.
点睛：能由DE∥AB得到∠ADE=∠BAC，进而结合已知条件由“SAS”证得△ADE≌△BAC是解答本题的关键.
18．详见解析.
【解析】试题分析：首先根据题意得出△BDE和△FDM全等，从而得出∠BEM＝∠DMF，即BE∥MF，最后根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得出答案．
试题解析：∵BD＝DF，DE＝DM，∠BDE＝∠FDM， ∴△BDE≌△FDM，
∴∠BEM＝∠DMF， ∴BE∥MF，
∵AB∥MF，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴A、C、E在一条直线上．
19．证明见解析.
【解析】【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【详解】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）60°
【解析】试题分析：（1）利用SAS即可得证；
（2）由全等三角形对应角相等得到∠AEB＝∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数，进而利用三角形的内角和得出∠ACD的度数．
试题解析：
（1）证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由（1）得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝30°＋45°＝75°，
∴∠BDC＝75°．
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠BDC＝180°﹣45°﹣75°＝60°．
点睛：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
21．（1）△BPD与△CQP是全等．理由见解析；（2）经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角形.
【解析】分析：（1）经过2秒后，PB=4m，PC=6m，CQ=4m，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
（2）可设点Q的运动时间为ts△CPQ是等腰三角形，则可知PB=2tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时△CPQ为等腰三角形，从而求得t的值．
详解：（1）△BPD与△CQP是全等．理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，
则CP=BC-BP=10-4=6cm，CQ=AC-AQ=12-8=4cm ，
∵D是AB的中点，∴BD=AB=×12=6cm，
∴BP=CQ，BD=CP；又∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C ；
在△BPD和△CQP中
∴△BPD≌△CQP（SAS）
（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，有BP=2t，AQ=4t,
∴t的取值范围为0＜t≤3
则CP=10-2t，CQ=12-4t ,
∵△CPQ的周长为18cm，
∴PQ=18-（10-2t）-（ 12-4t）=6t-4
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t，解得：t=1
②当PQ=PC时，则有6t-4=10-2t，解得：t=；
③当QP=QC时，则有6t-4=12-4t，解得：t=，
三种情况均符合t的取值范围．
综上所述，经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角形.
点睛：本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
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