1.5.3 线段的垂直平分线同步作业

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1.5．3 线段的垂直平分线同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．如图，已知点D在AB的中垂线MN上，如果AC=5，BC=3，那么△BDC的周长是( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 无法确定
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A. 50° B. 70° C. 75° D. 80°
3．到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条（ ）
A. 中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 角平分线的交点 D. 高线的交点
4．如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D、E两点，若AB边的长为10cm，则△CDE的周长为（　　）
A. 10cm B. 20cm C. 5cm D. 不能确定
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于 EMBED Equation.DSMT4 AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（ ）
A. AD=CD B. ∠A=2∠DCB C. ∠ADE=∠DCB D. ∠A=∠DCA
6．中，，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点、且，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
7．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm,BD=2.3cm,则四边形ABCD的周长是（ ）
A. 3.9cm B. 7.8cm C. 4cm D. 4.6cm
8．如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的垂直平分线,射线m平分∠ABC,l与m相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP等于(　 )
A. 24° B. 30° C. 32° D. 42°
二、填空题
9．如图， 中， 的垂直平分线交于点，如果，则=____________.
10．如图，点A为△PBC的三边垂直平分线的交点，且∠P=72°，则∠BAC=_____．
11．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，且∠CDF＝27°，则∠DAF等于______度.
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_____．
13．如图， 垂直平分线段于点的平分线BE交AD于点，连结，则∠C=________
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，EF=2，则BC的长为________.
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线ED交AC于D，如果AC=7，BC=5，求△BDC的周长．
16．“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程。现有两条高速公路和A. B两个城镇(如图)，准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置。
17．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E， ，，BC= AD，求∠C的度数．
18．18．如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.
(1)求∠BAD的度数；
(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.
19．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.
(1)若∠BAE＝30°，求∠C的度数；
(2)若△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，求DC的长．
20．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．
（1）求证：∠PCD＝∠PDC；
（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线.
参考答案
1．A
【解析】分析：由AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，可得AD=BD，又由△DBC的周长为BC+CD+BD可得：△DBC的周长即为AC+BC，继而求得答案．
详解：
∵AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，
∴AD=BD，
∵△DBC的周长为BC+CD+BD，
∴△DBC的周长为AC+BC，
又∵AC=5，BC=3，
∴△BDC的周长是8
故选A．
点睛：考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握数形结合和等量代换思想的应用．
2．B
【解析】分析：根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
详解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，
故选B．
点睛：本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．B
【解析】分析：因为线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，由此可得，三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点距离相等．
详解：
到一个三角形的三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点．
故选B．
点睛：本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
4．A
【解析】试题解析：∵的两边BC和AC的垂直平分线分别交AB于D、E，
∵边AB长为10cm，
∴的周长为： 10cm．
故选A．
点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
5．B
【解析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC，故A正确，
∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，
∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，
故选B．
6．D
【解析】试题解析：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵BC=10，DE=4，
当BD与CE无重合时，AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6，
当BD与CE有重合时，AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14，
综上所述，AD+AE=6或14．
故选C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
7．B
【解析】因为CD是AB的垂直平分线，所以CA=CB，DB=DA.
因为AC=1.6,BD=2.3，所以CB=1.6，DA=2.3.
则四边形ABCD的周长是：AC+CB+BD+DA=2（1.6+2.3）=7.8.
故选B.
8．C
【解析】试题解析：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
解得：
故选C.
9．50°
【解析】试题解析：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=20°，
∵∠C=90°，
∴∠CAD=180°-20°×2-90°=180°-40°-90°=50°．
10．144°
【解析】分析：根据三角形的外心的概念得到点A是△PBC的外心，根据圆周角定理计算即可．
详解：∵A为△PBC三边垂直平分线的交点，
∴点A是△PBC的外心，
由圆周角定理得，∠BAC=2∠BPC=144°，
故答案为：144°
点睛：本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．51
【解析】如图，连接BF，由菱形的轴对称性质得DF=BF，因为EF是AB的垂直平分线，所以BF=AF，所以DF=AF=FB，所以∠FDA=∠FAD=∠FAB，设∠FDA=∠FAD=∠FAB=x，因为∠CDA+∠BAD=180°，所以3x+27°=180°，解得x=51°，故答案为51.
12．2
【解析】∵∠ACB=90°，FD⊥AB，
∴∠ACB=∠FDB=90°，
∵∠F=30°，
∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．
又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴直角△DBE中，BE=2DE=2．
故答案是：2．
13．25°
【解析】∵AD垂直且平分BC于点D，
∴BE=EC，
∴∠DBE=∠DCE，
又∵∠ABC=50°，BE为∠ABC的平分线，
∴∠C =∠EBC =×50°=25°.
故答案为：25°
14．12
【解析】解：如图，连接AF，∵AC=AB，∴∠C=∠B=30°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴∠B=∠FAB=30°，∴∠CFA=30°+30°=60°，∴∠CAF=180°﹣∠C﹣∠CFA=90°，∵EF⊥AB，EF=2，∴AF=BF=2EF=4，∵∠C=30°，∠CAF=90°，∴CF=2AF=8，∴BC=CF+BF=8+4=12，故答案为：12．
15．12．
【解析】分析：
由DE是线段AB的垂直平分线可得BD=AD，由此可得△BDC的周长=BD+DC+BC=AD+DC+AC=AC+BC=12.
详解：
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=7+5=12．
点睛：熟记：线段的垂直平分线的性质：“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是解答本题的关键.
16．见解析
【解析】【分析】求作角平分线和线段AB的垂直平分线的交点即可.
【详解】解：如图所示，
【点睛】本题考核知识点：作角平分线和线段垂直平分线.解题关键点：掌握各种基本作图方法.
17．
【解析】分析：连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.
详解：如图1，连接BD.
∵ E为AB的中点，DE⊥AB于点E，
∴ AD= BD，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ AD=BC，
∴ BD=BC．
∴ ．
∴
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等的解题的关键.
18．（1）20°；（2）22.
【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，求出∠DAC，计算即可；
（2）根据DA=DC，三角形的周长公式计算．
解：(1)∵∠BAC=60°,∠B=80°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°,
∵DE垂直平分AC,∴DA=DC.
∴∠DAC=∠C=40°,
∴∠BAD=60°-40°=20°.
（2）∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,
∴AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=10+12=22，
∴△ABD的周长为22.
19．(1) 37.5°;(2) cm
【解析】分析：（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC=7cm，即可得出答案．
详解：(1)∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE．
∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝75°，∴∠C＝∠AEB＝37.5°．
(2)∵△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，∴AB＋BE＋EC＝7cm．
∵AB＝CE，BD＝DE，∴2DE＋2EC＝7cm，∴DE＋EC＝cm，即DC＝cm．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由角平分线的性质可得PC=PD，即可证明∠PCD＝∠PDC；（2）先证明△OCP≌△ODP，由此可得OC＝OD，进而证明点O在CD的垂直平分线上，由（1）PC=PD可得点P也在CD的垂直平分线上，所以OP是线段CD的垂直平分线.
试题解析：
（1）∵OP是∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC；
（2）∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠COP＝∠DOP，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（AAS），
∴OC＝OD，
∴点O在CD的垂直平分线上，
∵PC＝PD，
∴点P在CD的垂直平分线上，
∴OP是CD的垂直平分线.
点睛：（1）熟练掌握角平分线的性质；
（2）要证明直线是否是线段的垂直平分线，可以通过直线上的点到线段两端点距离相等证明.
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