1.5.4 三角形全等的判定（ASA、AAS）同步作业

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1.5.4三角形全等的判定（ASA、AAS）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．如图所示，八年级某同学书上的图形（三角形）不小心被墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识，画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形全等的依据是（　　）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
2．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )
A. AC＝BD B. ∠CAB＝∠DBA C. ∠C＝∠D D. BC＝AD
3．如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
4．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列4个结论：①△AOD≌△BOC，②EA=EB，③点E在∠O的平分线上．④若OC=2CA，△AEC的面积为1，那么四边形OCED的面积为4．其中正确的结论个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5．如图，AC与BD相交于点E，BE=ED，AE=EC，则△ABE≌△CDE的理由是
A. ASA B. SAS C. AAS D. SSS
6．如图，已知， 平分，且于点，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
7．在下列条件中，不能说明△ABC≌△A’B’C’的是( )
A. ∠A＝∠A’，∠C＝∠C’，AC＝A’C’ B. ∠A＝∠A’，AB＝A’B’，BC＝B’C’
C. ∠B＝∠B’，∠C＝∠C’，AB＝A’B’ D. AB＝A’B’， BC＝B’ C’AC＝A’C’
8．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CE是过C点的一条直线，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，DE=4cm，AD=2cm，则BE=（　　）
A. 2cm B. 4cm C. 6cm或2cm D. 6cm
二、填空题
9．如图，AB与CD相交于点O，且∠A＝∠B，AC＝BD，那么△ACO≌________，理由是_______．
10．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝________cm.
11．如图，AB∥FC，DE=EF，AB=15，CF=8，则BD=______．
12．如图所示，一艘海轮位于灯塔的北偏东的方向，距离灯塔4海里的处，该海轮沿南偏东方向航行_______海里后，到达位于灯塔的正东方向的处.
13．如图， 中， ， ， 是边上的中线，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点， ，则的面积为__________．
14．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，若AD的长为2x+3，BE的长为x+1，ED=5，则x的值为_____．
15．在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E，在BC上，BE=BF，连结AE，EF和CF，此时，若∠CAE=30°，那么∠EFC=_______．
三、解答题
16．如图4,C是线段BD的中点,AB∥EC,∠A=∠E.求证:AC=ED.
17．如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD.
18．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
求证：BC=DE．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．当直线l不与底边AB相交时，
求证：EF＝AE＋BF．
20．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，AE是BC边的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
(1)试说明：AE=CD；
(2)若AC=12cm，求BD的长．
参考答案
1．C
【解析】如图，∵在被墨迹污染了部分的三角形中，∠A和∠B及AB保留完整，
∴根据“有两个角及这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等”，可以画出与书上完全一样的三角形.
故选C.
2．A
【解析】试题解析：已知
添加,依据是
添加,依据是
添加,依据是
故选A.
点睛：三角形全等的判定方法：判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、.
只能判定直角三角形全等.
3．D
【解析】分析：
详解：如图,
∵AB⊥CD,CE⊥AD,
∴∠1=∠2,
又∵∠3=∠4,
∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,
即∠A=∠C.
∵BF⊥AD,
∴∠CED=∠BFD=90°,
∵AB=CD,
∴△ABF≌△CDE,
∴AF=CE=a,ED=BF=b,
又∵EF=c,
∴AD=a+b-c.
故选:D.
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.
4．D
【解析】分析：根据全等三角形的判定得出△AOD≌△BOC（ASA），则OD=CO，从而证出△ACE≌△BDE，连接OE，可证明△AOE≌△BOE，则得出点E在∠O的平分线上，根据△AOE≌△BOE、△ACE≌△BDE即可求得S△ACE=S△OCE=S△ODE=S△BDE=1，即可解题．
详解：①在△AOD和△BOC中，
,
∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；
∴OD=CO，
∴BD=AC，
②在△ACE和△BDE中，
,
∴△ACE≌△BDE（AAS），
∴AE=BE，故②正确；
③连接OE，
在△AOE和△BOE中，
,
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE，
∴点E在∠O的平分线上，故③正确；
④∵OC=2CA，
∴OD=2BD，
∴S△ACE=S△BDE=1，
∵△AOE≌△BOE，△ACE≌△BDE，
∴S△ODE=2S△BDE=2，
∴四边形OCED的面积为4，故④正确；
故选D．
点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角、面积相等的性质，本题中求证△AOE≌△BOE、△ACE≌△BDE是解题的关键．
5．B
【解析】在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE（SAS）．故选B．
6．C
【解析】试题分析：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD＋S△BDC＝S△ADE＋S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC＝×12＝6，
故选：C．
点睛：本题主要考查全等三角形判定和性质及三角形中线的性质，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
7．B
【解析】A、∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′，可用ASA判定△ABC≌△A′B′C，故选项正确；
B、∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，SSA不能判定两个三角形全等，故选项错误；
C、∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′，可用AAS判定△ABC≌△A′B′C，故选项正确；
D、AB=A′B′，BC=B′C，AC=A′C′，可用ASA判定△ABC≌△A′B′C，故选项正确．
故选：B．
8．C
【解析】试题解析：分为两种情况：
①如图1，当CE在△ABC内．
∵AD⊥CE，∠BCA=90°，
∴∠ADC=∠BCA=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴CE=AD=2cm，CD=BE，
BE=CD=CE+DE=2cm+4cm=6cm；
②如图2，当CE在△ABC外．
∵在△EBC和△DAC中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE=AD=2cm，BE=CD，
∴BE=CD=DE﹣AD=4cm﹣2cm=2cm，
故答案为：6或2．
故选C．
9． △BDO AAS
【解析】解：∠A＝∠B，∠AOC=∠BOD，AC＝BD，∴△ACO≌△BDO（AAS）．故答案为：△BDO，AAS．
10．1.5
【解析】∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴∠E=∠ADC=90°
∵∠BCE+∠ACE=∠DAC+∠ACE=90°
∴∠BCE=∠DAC
∵AC=BC
∴△ACD≌△CBE
∴CE=AD,BE=CD=2-0.5=1.5(cm).
11．7
【解析】分析：仔细分析题意,根据AB∥FC,我们可得到∠AED=∠CEF,结合图中的对顶角和已知条件DE=EF可以证得△ADE≌△CFE,进而得到AD=CF,求出AD的值,
详解：∵ AB∥FC，
∴ ∠ADE=∠CFD. (两直线平行,内错角相等)
∵ ∠ADE=∠CFD ，
∴DE=EF，
∠AED=∠CEF，
∴ △ADE≌△CFE， (两角及其夹边对应相等的两个三角形全等)
∴ AD=CF=8 .(全等三角形的对应边相等)
∵ BD=AB-AD，AB=15，AD=8，
∴ BD=15-8=7.
故答案为：7.
点睛：本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．4
【解析】试题分析：如图：
由题意可得：∠CPA＝30°，∠DAB＝30°，AP＝4，AD⊥PB，
∵CP∥AD，
∴∠PAD＝∠APC＝30°，
∴∠PAD＝∠DAB，
∵∠ADP＝∠ADB＝90°，AD＝AD，
∴△ADP≌△ADB，
∴AB＝AP＝4，
即该海轮沿南偏东30°方向航行4海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处.
点睛：本题考查了方位角和全等三角形的判定和性质，根据题意结合方位角证明出三角形全等是解决此题的关键．
13．4
【解析】∵， ， ，
∴，
∵， ，
∴，
∴≌．
∴，
∵， ，
∴．
故答案为4.
14．3
【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
在△BCE与△CAD中
∵AC=BC,
∠BEC=∠CDA,
∠BCE=∠ACD,，
∴△BCE≌△CAD，
∴BE=CD，AD=CE，
又∵AD的长为2x+3，BE的长为x+1，ED=5，
∴CD+DE=CE=AD，即可得出方程x+1+5=2x+3，
解得：x=3．
点睛:首先判断出∠BCE=∠ACD，再结合AC=BC，∠BEC=∠CDA=90°，可判断△BCE≌△CAD，得出BE=CD，AD=CE，从而根据CD+DE=CE=AD，得出方程x+1+5=2x+3，解出即可得出x的值．
15．30°
【解析】在△ABE和△CBF中，
∵，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，
∴∠CAB=∠ACB=12(180° 90°)=45°，∠EAB=45° 30°=15°.
∵△ABE≌△CBF，
∴∠EAB=∠FCB=15°.
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠BFE=∠FEB=45°.
∴∠EFC=180° 90° 15° 45°=30°，
故答案为：30°.
16．证明见解析.
【解析】分析：
由已知条件易得：BC=CD，∠B=∠ECD结合∠A=∠E，即可由“AAS”证得△ABC≌△ECD，从而可得到AC=ED.
详解：
∵C是BD的中点，
∴BC=CD（线段中点的定义）;
∵AB∥EC，
∴∠B=∠ECD（两直线平行,同位角相等），
在△ABC和△ECD中，
∵，
∴△ABC≌△ECD（AAS），
∴AC=ED（全等三角形对应边相等）.
点睛：熟记“平行线的性质”和“三角形全等的判定方法”是解答本题的关键.
17．详见解析.
【解析】试题分析：要证明AB=AD，证明△ABC≌△ADC即可，根据已知条件不难证明.
试题解析：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，
∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠ADC，
∵在△ABC和△ADC中， ,
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴AB=AD.
点睛：熟练掌握证明三角形全等的方法.
18．证明见解析.
【解析】分析：根据ASA证明△ADE≌△ABC；
详证明：（1）∵∠1=∠2，
∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ADE≌△ABC（ASA）
∴BC=DE，
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等
19．见解析
【解析】试题分析：要证明EF＝AE＋BF，因为EF＝CF＋EC，即要证明AE=CF，BF=CE，由题意不难证明△AEC≌△CFB，即可证明.
试题解析：
∵∠ACB＝90°，AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠ECA＋∠EAC＝90°，∠ECA+∠BCF=90°，∠CFB=90°，
∴∠BCF＝∠EAC，
∵在△AEC和△CFB中，
．
∴△AEC≌△CFB(AAS)．
∴AE＝CF，EC＝BF，
∴EF＝CF＋CE＝AE＋BF．
点睛：本题关键在于将等式右边的两条线段通过全等转化为另外两条线段之和.
20．（1）证明见解析；（2）112.5°．
【解析】试题分析：根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上 可证得结论；
根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到
试题解析：证明：
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
21．（1）证明见解析（2）BD=6cm．
【解析】【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答；
（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12cm，即可求出BD的长．
【详解】（1）∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°，
∴∠D=∠AEC，
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
∴△DBC≌△ECA（AAS），
∴AE=CD；
（2）因为△ACE ≌△CBD，所以BD =CE，
因为CE=BC=AC=×12=6cm，
所以BD =6cm．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
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