1.5.5角平分线的性质同步作业

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1.5.5角平分线的性质同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是(　　)
A. DE＝DF B. BD＝FD C. ∠1＝∠2 D. AB＝AC
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（　　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）
A. 30° B. 35° C. 45° D. 60°
5．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E. 若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6．如图，在ΔABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC， 若CD=2.5，AB=6，则ΔABD的面积为（ ）
A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8
7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：
①EF＝BE＋CF；
②∠BOC＝90°＋∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.
其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、填空题
9．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等
10．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC＝_______．
11．如图所示,在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20cm，DB=17cm，则D点到AB的距离是_________．
12．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是________．
13．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10，则△EDB的周长是________；
14．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是_____．
15．如图，AD∥BC，BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB，PE=2，则两平行线AD、BC之间的距离为__________ .
三、解答题
16．如图所示,PA=PB,∠1+∠2=180°.求证:OP平分∠AOB.
17．如图所示,∠1=∠2,AE⊥OB于点E,BD⊥OA于点D,AE与BD相交于点C.求证:AC=BC.
18．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：OC平分∠ACD.
19．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
20．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE，CD相交于点O，连接AO.求证：
(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
21．如图，BD=CD，∠ABD=∠ACD=90°，点E、F分别在AB、AC上，若ED平分∠BEF．
（1）求证：FD平分∠EFC．
（2）若EF=4，AF=6，AE=5，求BE和CF的和的长．
参考答案
1．C
【解析】分析：如图，由已知条件判断AD平分∠BAC即可解决问题．
详解：如图，∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．
故选C．
点睛：该题主要考查了角平分线的判定及其性质的应用问题；牢固掌握角平分线的性质是解题的关键．
2．C
【解析】分析：
过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，这样结合“角平分线的性质”和已知条件求出DE的长度即可.
详解：
如下图，过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=3，
∴DE=DC=3，
∴DQ最小=3.
故选C.
点睛：作出如图所示的辅助线，熟知：“垂线段最短”和“角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等”是解答本题的关键.
3．A
【解析】分析：根据角平分线的性质以及平行线的性质得出△BDE为等腰三角形，然后将△ADE的周长转化为AB+AD得出答案．
详解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE，
∴=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，故选A．
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质以及平行线的性质，属于基础题型．解答这个问题的关键就是得出△BDE为等腰三角形．
4．B
【解析】【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
【详解】作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.
5．A
【解析】分析: 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2,PE=PN=2,即可得出答案.
详解: 过点P作MN⊥AD,
∵AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,PE⊥AB于点E,
∴AP⊥BP,PN⊥BC,
∴PM=PE=2,PE=PN=2,
∴MN=2+2=4.
故选A.
点睛: 此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键.
6．C
【解析】分析：作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=2.5，根据三角形的面积公式计算即可．
详解：作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2.5，
∴△ABD面积=×AB×DE=×2.5×6=7.5，
故选C．
点睛：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．A
【解析】分析：由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，故④错误．
详解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE OM+AF OD=OD （AE+AF）=mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：A．
点睛：此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
8．C
【解析】分析：过D作DE⊥AB，垂足为E，由角平分线的性质可知CD=DE，根据勾股定理可得出BE的长，再判断出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出AC=AE，根据勾股定理即可解答．
详解：过D作DE⊥AB，垂足为E，
∵∠1=∠2，又∠C=90°，即DC⊥AC，
∴CD=DE=1.5，
在Rt△BDE中，BE=，
∵CD=DE，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AB2=AC2+BC2，即（AC+2）2=AC2+（1.5+2.5）2，
解得AC=3．
故选：C．
点睛：本题考查的是角平分线的性质及勾股定理，熟知角平分线的性质是解答此题的关键．
9．三边的距离
【解析】三角形三条角平分线的交点到三角形三条边的距离相等.
故答案为三边的距离.
10．3:2；
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，又∵S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=3：2.
故答案为3：2.
点睛：本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
11．3cm
【解析】∵BC=20cm，DB=17cm，
∴DC=BC-DB=20-17=3（cm），
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC=3（cm）.
故答案为3cm.
12．4　
【解析】分析：过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
详解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4.
故答案为：4.
点睛：本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.此类问题关键在于结合图形、已知条件及角平分线性质.
13．10
【解析】分析：由题中条件可得Rt△ACD≌Rt△AED，进而得出AC=AE，把△BDE的边长通过等量转化即可得出结论．
详解：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE．
又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．
又∵AC=BC，∴BC=AE，∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10．
故答案为：10．
点睛：本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用．
14．42
【解析】分析：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
详解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
=×4×（AB+AC+BC）
=×4×21=42，
故答案为：42．
点睛：本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
15．4
【解析】解：过点P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=2，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．
故答案为：4．
点睛：此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键．
16．见解析
【解析】试题分析：过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，证△PEA≌△PFB，得出PE=PF，再根据角平分线判定即可得出．
解:过点P作PE⊥AO,PF⊥BO,垂足分别为E,F,
则∠AEP=∠BFP=90°.
∵∠1+∠2=180°,∠2+∠PBF=180°,∴∠1=∠PBF.
在△APE与△BPF中，∠1=∠PBF，∠AEP=∠BFP，PA=PB,
∴△APE≌△BPF,∴PE=PF.
∴点P在∠AOB的平分线上,即OP平分∠AOB.
17．见解析
【解析】试题分析：先根据角平分线的性质可以得到CD=CE，然后再证明Rt△ACD≌Rt△BCE便可得答案．
解:∵∠1=∠2,BD⊥OA,AE⊥OB,∴CD=CE.
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ADC=∠BEC=90°.
在△ADC与△BEC中，∠ADC=∠BEC，CD=CE, ∠3=∠4.
∴△ADC≌△BEC.
∴AC=BC.
18．证明见解析
【解析】试题分析：过点O作OE⊥AC，根据角平分线的性质得出OE=OB，根据中点的性质得出OE=OD，从而得出角平分线．
试题解析：过点O作OE⊥AC，∴OE=OB 又∵点O为BD的中点 ∴OB=OD，
∴OE=OD， ∴OC平分∠ACD．
19．4
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，根据S△ABC=S△ABD+S△DBC，AB=6，BC=8，可得关于DE的方程，解方程即可得.
【详解】∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=28，S△ABC=S△ABD+S△DBC，AB=6，BC=8，
∴×6×DE+×8×DF=28，
∴DE+DF=8，
∴DE=DF=4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键.
20．见解析
【解析】试题分析：(1)、根据角平分线的性质得出OD=OE，然后证明△BOD和△COE全等，从而得出答案；(2)、根据题意得出△BOD和△COE全等，从而得出OD=OE，然后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案．　
试题解析：(1)、∵∠1=∠2 ∴AO平分∠BAC，∴OD=OE，
又∵∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE， ∴△BOD≌△COE(ASA)，∴OB＝OC；
(2)、 ∵∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE，OB=OC，
∴△BOD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE，
又∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E， ∴OA平分∠BAC，即∠1＝∠2．
点睛：本题主要考查的就是角平分线的性质定理以及逆定理的应用，三角形全等的证明，属于简单题型．定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．同学们在解答这种问题的时候，如果看到角平分线，除了想到角相等之外，还要考虑到线段相等，这个是一个非常重要的条件．
21．（1）证明见解析；（2）4．
【解析】试题分析：（1）过D作DM⊥EF，已知ED平分∠BEF，根据角平分线的性质定理可得BD=DM，又因BD=CD，可得DC=DM，根据角平分线的判定定理即可得FD平分∠EFC；（2）因为ED平分∠BEF，即可得∠BDE=∠MDE，利用SAS即可判定△BDE≌△MDE，根据全等三角形的性质即可得EB=EM，同理即可证得CF=MF，根据EF=BE+CF即可求得EF的长．
试题解析：
证明：（1）过D作DM⊥EF，
∵ED平分∠BEF，
∴BD=DM，
∵BD=CD，
∴DC=DM，
∴FD平分∠EFC；
（2）∵ED平分∠BEF，
∴∠BDE=∠MDE，
在△BDE和△MDE中，，
∴△BDE≌△MDE（SAS），
∴EB=EM，
同理CF=MF，
∴EF=BE+CF=4．
点睛：本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
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