1.6 尺规作图同步作业

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1.6 尺规作图同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（ ）．
A. B. C. D.
2．如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹弧MN是（ ）
A. 以点B为圆心，OD为半径的弧 B. 以点B为圆心，DC为半径的弧
C. 以点E为圆心，OD为半径的弧 D. 以点E为圆心，DC为半径的弧
3．下列作图属于尺规作图的是（　　）
A. 用量角器画出∠AOB，使∠AOB等于已知角
B. 用圆规和直尺作线段AB，使AB等于已知线段a
C. 用刻度尺作出线段AB等于2倍的已知线段m
D. 用三角板作45°的角
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5．下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， D. ， ，
6．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（ ）
A. 作一条线段等于已知线段
B. 作一个角等于已知角
C. 作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角
D. 先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角
7．一个角的平分线的尺规作图的理论依据是（　　）
A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS
8．已知 ABC(ABA. B.
C. D.
9．数学课上，小丽用尺规这样作图：（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于D，E两点；（2）分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC并连接CD，CE，下列结论不正确的是（　　）
A. ∠1=∠2 B. S△OCE=S△OCD C. OD=CD D. OC垂直平分DE
二、填空题
10．完成作图步骤：已知∠，∠ （∠>∠），求作一个角，使它等于∠－∠.作法：（1）作∠AOB＝_______；（2）以OA为一边，在∠AOB的内部作∠AOC＝___，则∠BOC就是所求作的角（如图）.
11．已知，现将绕点逆时针旋转，使点落在射线上，求作．
作法：在上截，以点为圆心、为半径作弧，以点为圆心、为半径作弧，两弧在射线右侧交于点，则即为所求．
请用文字语言描述上述操作的作图原理：__________．
12．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC=5，CD=2，那么AD=__．
13．已知线段a，b，c,求作：△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,有下列作法：①连接AB，AC,△ABC就是所求作的三角形；②作射线BM,在射线BM上截取BC=a；③分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A.则以上作法的合理顺序为_________.
14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
15．如图，△ABC中，∠B=35°，∠BCA=75°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠ α=_____°
三、解答题
16．已知∠α，∠β和线段c，求作△ABC，使∠A= ∠α，∠B=∠β，AB=c.（不写作法，保留痕迹）
17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
已知:∠AOB和C，D两点.
求作:一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.作∠BAC的平分线AP交边BC于点D. （保留作图痕迹，不写作法）；若∠BAC=28°，求∠ADB的度数.
19．如图，某校准备在校内一块四边形ABCD草坪内栽上一颗银杏树，要求银杏树的位置点P到边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等，请用尺规作图作出银杏树的位置点P(不写作法，保留作图痕迹)．
20．如图，在锐角中，，．
尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、保留作图痕迹，不要求写作法；
在的条件下，连结BD，求的周长．
21．作图题：如图，直线AB，CD相交于点O，点P为射线OC上异于O的一个点.
（1）请用你手中的数学工具画出∠AOC的平分线OE；
（2）过点P画出（1）中所得射线OE的垂线PM（垂足为点M），并交直线AB于点N；
（3）请直接写出上述所得图形中的一对相等线段 .
22．如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，∠A=600，∠B=400，求∠BDC．
参考答案
1．D
【解析】【分析】由作图过程可知：,即△OCD≌△O'C'D'（SSS ），
故
【详解】由作图过程可知：在△OCD和△O'C'D'中
所以，△OCD≌△O'C'D'（SSS ）
所以，.
故选：D
【点睛】本题考核知识点：全等三角形. 解题关键点：分清作图过程，熟记全等三角形判定方法.
2．D
【解析】分析：根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．
详解：作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知：
①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB分别为点C、D；
②以点B为圆心，以OC为半径画弧EF，交射线BO于点E；
③以点E为圆心，以CD为半径画弧，交弧EF于点N，作射线BN即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB．
故选D．
点睛：本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键．
3．B
【解析】试题解析：根据尺规作图的定义,只能使用没有刻度的直尺和圆规作图,
不能使用量角器和三角板,故可判断A、C、D错误,B正确.
故选B.
4．D
【解析】试题解析：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．
故选C.
考点：画等腰三角形.
5．A
【解析】A中两角夹一边，形状固定，所以可作唯一三角形；B中∠B并不是AB，AC的夹角，所以可画出多个三角形；C中两个锐角也不确定，也可画出多个三角形；D中AC与BC两边之差大于第三边，所以不能作出三角形，
故选A.
6．D
【解析】已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形，可以先A法，也可以先B法，但是都不全面，因为这两种方法都可以，故选D。
7．B
【解析】连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中，
∵ ON=OM ，NC=MC，OC=OC ，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
故选：B.
8．B
【解析】分析：由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断BN选项正确．
详解：∵PB+PC=BC，
而PA+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：B．
点睛：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
9．C
【解析】【分析】先由SSS证△OCE≌△OCD，再利用全等三角形性质，和线段垂直平分线性质定理可判断正误.
【详解】在△OCE和△OCD中，
,
所以，△OCE≌△OCD，
所以，∠1=∠2，S△OCE=S△OCD，OC垂直平分DE.
故选项C错误.
故选：C
【点睛】本题考核知识点：全等三角形，中垂线. 解题关键点：证明三角形全等.
10．（1）∠；（2）∠
【解析】试题解析：
（1）作
（2）以OA为一边，在的内部作 则 就是所求作的角（如图）.
故答案为：
11．三边分别相等的两个三角形全等
【解析】∵在△ABC和△A'BC'中，
，
∴△ABC≌△A'BC'（SSS）.
故答案为三边分别相等的两个三角形全等.
12．3
【解析】分析: 直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．
详解: 由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD，
∵BC=5，CD=2，
∴BD=AD=BC DC=5 2=3.
故答案为：3.
点睛：考查垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
13．②③①
【解析】已知三条线段长，求作三角形，其作法是：先作出三角形一边，确定两个顶点，再分别以两个顶点为圆心，定长为半径画弧交于一点确定第三个顶点，作出另外两边，从而作出所求的三角形.
故题中作法合理的顺序为②③①.
14．15
【解析】分析：作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
详解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD= AC DQ=×10×3=15，
故答案为：15．
点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
15．75
【解析】【分析】由∠B=35°，∠BCA=75°，根据三角形内角和定理可得∠BAC=70°，由角平分线的定义求得∠CAD的度数，再由EF是BC的垂直平分线得出∠BCF=∠B=35°，从而可得∠ACF的度数，再根据三角形外角的性质即可得出∠α=∠CAD+∠ACF=75°.
【详解】∵∠B=35°，∠BCA=75°，
∴∠BAC=70°，
∵由作法可知，AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAC=35°，
∵由作法可知，EF是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF，
∴∠BCF=∠B=35°，
∴∠ACF=∠ACB﹣∠BCF=40°，
∴∠α=∠CAD+∠ACF=75°，
故答案为：75．
【点睛】本题考查了尺规作图，熟知角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法是解本题的关键.
16．作图见解析
【解析】【分析】①先作∠MAN=∠α，②在AM上截取AB=c，③在AB的同侧作∠ABD=∠β，AN与BD交于点C，即可得出△ABC．
【详解】如图所示：△ABC即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图-复杂作图、角的作法；熟练掌握三角形的基本作图是解决问题的关键．
17．见解析
【解析】分析：
连接CD，分别作出CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，根据“线段垂直平分线的性质和角平分线的性质”可知：所作两线的交点即为所求的点P.
详解：
如图所示，P点为所求点：
点睛：熟悉“线段垂直平分线的性质和角平分线的性质”，知道“线段垂直平分线和角平分线的尺规作法”是解答本题的关键.
18．（1）见解析（2）104°
【解析】分析：
（1）按“角平分线”的尺规作法进行作图即可；
（2）由已知条件易得∠CAD=∠BAD=14°，结合∠ADB=∠CAD+∠C及∠C=90°即可得到∠ADB=104°.
详解：
（1）如下图所示，AD为所求的角平分线：
（2）∵∠BAC的平分线AP，∠BAC=28°，
∴∠CAD=BAD=14° ，
又∵∠C=90°，∠ADB=∠C+∠CAD，
∴ ∠ADB=90°+14°=104°.
点睛：掌握“角平分线的尺规作法”和“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是正确解答本题的关键.
19．见解析
【解析】分析：首先作出∠ABC的角平分线进而作出线段AD的垂直平分线，即可得出其交点P的位置．
详解：如图所示：P点即为所求．
点睛：本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．（1）作图见解析；（2）的周长为5cm.
【解析】分析：（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE垂直平分BC；
（2）利用线段垂直平分线的性质得到DB=DC，则利用等量代换得到△ABD的周长=AB+AC，然后把AB=2cm，AC=3cm代入计算计算．
详解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．
点睛：本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
21．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）（3）OP，ON，（或者PM，NM）
【解析】分析：（1）利用尺规作图，
以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OC交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半的长为半径作弧，两弧相交于一点，过O和这一点作一条以O为端点的射线OE即可；
（2）利用三角板进行作图即可；
（3）证明△OPM与△ONM全等即可得出相等的线段．
详解：如图：
（1）（2）如图所示；
（3）∵PM⊥OE，
∴∠OMP=∠OMN=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠POM=∠NOM，
∵OM=OM（公共边），
∴△OPM≌△ONM（ASA），
∴OP=ON，PM=NM，
故答案为：OP，ON（或者PM，NM）．
点睛：本题考查了尺规作图——作已知角的平分线和全等三角形的判定和性质，作已知角的平分线是初中阶段基本作图之一，是需要熟记的内容．
22．（1）作图见解析；（2）1000
【解析】分析：（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM=∠ABC即可；
（2）根据三角形的外角的性质求解即可．
详解：（1）（1）如图所示，射线CM即为所求；
（2）∵∠ACD=∠ABC，∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠BDC=40°+60°=100°.
点睛：本题主要考查了基本作图以及三角形外角的性质的运用，解题时注意：三角形的外角等于不相邻两内角的和．
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