第1章 三角形的初步认识单元检测A卷

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第1章 三角形的初步认识单元检测A卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列哪一个条件后，仍然无法证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A. ∠A=∠D B. BC=EF C. AC=DF D. ∠ACB=∠F
2．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
3．下列命题是假命题的有 ( )
①若a2=b2，则a=b；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则；④如果∠A=∠B，那∠A与∠B是对顶角．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4．在△ABC中，∠ABC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF为
A、 B、 C、 D、
5．如图，点E，F在线段BC上，△ABF≌△DCE，点A与点D，点B与点C是对应点，AF与DE交于点M.若∠DEC＝36°，则∠AME＝( )
A. 54° B. 60° C. 72° D. 75°
6． 如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去
A. ① B. ② C. ③ D. ④
7．如图，在△ABC中，BD⊥AC，BD=AC，以BC为底边作等腰直角△BEC，连接AE并延长交BD于F点，下列结论：①△AEC≌△DEB ；②AE⊥DE；③DE=DC；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如右图所示，三角形ABC的面积为1cm2。AP垂直B的平分线BP于P。则与三角形PBC的面积相等的长方形是（ ）
9．如图，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（ ）个
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
10．已知某三角形的两边长是2和3，则该三角形的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，BF=EC，∠B=∠E，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DEF（　）
A. AC=DF B. AB=ED C. DF∥AC D. ∠A=∠D
12．如图，直线∥，且分别与△ABC的两边AB、AC相交， 若∠A = 50°，∠1=35°，∠2的度数为（ ）．
A．95 ° B．65° C．85 ° D．35°
二、填空题
13．若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形中的最大的角度是 ．
14．“同角的余角相等”的题设是__________________，结论是____________________.
15．如图，△OAD≌△OBC，且∠O=72°，∠C=20°，则∠DAC=______°．
16．如图，已知AB=AD，要使△ABC≌△ADC，那么可以添加条件 ．
17．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．那么AD是△ABC的_______.(填“中线”或“角平分线”)
18．如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，∠ABC=56 ，∠ACB=44 ，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线，求出∠DAE的度数。
20．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．
21．如图，已知A、B、C、D是平面内四个点，请根据下列要求在所给图中作图。
①画直线AB；②画射线AC；③画线段AD；④画；⑤线段AD与的边BC交于点O。
22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，延长AC到D，使得CD=CB，过点D作DE⊥AB于点E，交BC于F．求证：AB=DF．
23．如图, 已知AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, AE=DF, AB=DC,AC与BD有怎样的数量关系？你能进行证明吗？
24．（9分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）求的度数．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
26．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．
（1）求证：△AEP≌△BAG；
（2）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（2）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由；
参考答案
1．C
【解析】A中，∠B=∠DEF，AB=DE，∠A=∠D，根据ASA可知△ABC≌△DEF，故A可以判定；
B中，AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，根据SAS可知△ABC≌△DEF，故B可以判定；
C中，∠B=∠DEF，AB=DE，AC=DF，无法根据SSA判定全等，故C错误；
D中，∠ACB=∠F，∠B=∠DEF，AB=DE，根据AAS可知△ABC≌△DEF，故D可以判定.
故选C.
点睛：判定三角形全等的方法有：AAS、SSS、ASA、SAS，此外直角三角形还有HL判定方法.
2．A
【解析】试题解析：从作图可知OD=OD′=OC=OC′,CD=C′D′，
∵在△ODC和△O′D′C′中
∴△ODC≌△O′D′C′(SSS)，
故选A.
点睛：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3．D
【解析】解：若a2=b2，则a=b或a=﹣b，所以①为假命题；
　60°的余角小于60°，所以②为假命题；
若a，b是有理数，当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|，所以③为假命题；
如果∠A=∠B，那∠A与∠B不一定是对顶角，所以④为假命题．
故选D．
4．B
【解析】
试题分析：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，∴AE=BE，BF=CF，∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，又∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°，∴∠A+∠C=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=120°-60°=60°，故选：B．
考点：1．线段垂直平分线的性质2．等腰三角形的判定与性质3．三角形的内角和．
5．C
【解析】已知△ABF≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等可得∠DEC＝∠AFB＝36°，根据三角形外角的性质可得∠AME＝∠DEC+∠AFB＝72°，故选C.
6．D
【解析】
试题分析：根据两角和一边可以确定唯一的一个三角形.
考点：三角形的确定
7．C．
【解析】
试题分析：①根据已知条件易证∠DBE=∠ACE，再由SAS即可判定△AEC≌△DEB；②根据①可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，又因∠AEC=∠AED+∠CED，∠DEB=∠BEC+∠CED，所以∠AED=∠BEC=90°，即AE⊥DE；③不能求证；④根据②结论和AE=DE，即可求得E是AF中点，即可求得S△AEB=S△BFE，再证△BFE≌△CDE即可得．故答案选C．
考点：全等三角形的判定及性质．
8．B
【解析】
试题分析：根据角平分线的性质可得△BPC的面积=0.5.
考点：角平分线的性质.
9．C
【解析】根据题意可以作出的三角形如下图所示：
△BAEF ≌△ABC △DCB ≌△ABC △CFA ≌△ABC
△ABG ≌△ABC △IBC ≌△ABC △AHC ≌△ABC
故选C。
10．D．
【解析】
试题分析：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以得出第三边的取值范围是大于1小于5，另外两边之和是5，周长的取值范围是大于6而小于10．故选D．
考点：三角形三边关系．
11．A
【解析】因为：BF=EC，则EF=BC, 又因为∠B=∠E，若AB=ED，则构成SAS定理；
若DF∥AC，则 ,构成AAS定理
若∠A=∠D，则构成ASA定理，
若AC=DF，则构成SSA，不能判断两三角形全等
故选A.
12．A．
【解析】
试题分析：根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得，∠A+∠1+∠2=180°，解得，∠2=180°-50°-35°=95°．
故选：A．
考点：三角形内角和定理；平行线的性质．
13．90°
【解析】
试题分析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的最大角的度数．
解：设三个内角的度数分别为k，2k，3k．
则k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
则2k=60°，3k=90°，
这个三角形最大的角等于90°．
故答案为：90°．
考点：三角形内角和定理．
14．如果是同角的余角；那么这两个角相等．
【解析】试题分析：命题一般都能够写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面就是题设，“那么”后面就是结论，因此可正确找出题设和结论．
试题解析：“同角的余角相等”可写成是“如果是同角的余角，那么这两个角相等”．
考点：命题与定理．
15．92
【解析】∵△OAD≌△OBC，
∴∠D=∠C=20°，
∴∠DAC=∠D+∠O=20°+72°=92°，
故答案是：92．
16．CD=BC(或∠DAC=∠BAC或AC平分∠DAB)
【解析】试题分析：本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，
解：①添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC；
②添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC；
③添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC；
故答案是：答案不唯一，CB=CD，或∠BAC=∠DAC，或∠B=∠D=90°等．
考点：全等三角形的判定．
17．中线
【解析】试题解析：
在和中，
是的中线．
故答案为：中线.
18．4或6
【解析】设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，
∴BD=12厘米，
∵∠ABC=∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，
即12=16 4x或4x=16 4x，
解得：x=1或x=2，
x=1时，BP=CQ=4，4÷1=4；
x=2时，BD=CQ=12，12÷2=6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
点睛：本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点.
19．6°
【解析】试题分析：先根据三角形内角和求出∠BAC的度数，由AE是△ABC的角平分线，求出∠DAC的度数，由AD是BC边上的高，求出∠EAC的度数，再利用角的和差求出∠DAE的度数．
解：∵在△ABC中，∠ABC=56°，∠ACB=44°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80°
∵AE是△ABC的角平分线
∴∠EAC=∠BAC=40°
∵AD是BC边上的高，∠ACB=44°
∴∠DAC=90°-∠ACB=46°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=6°
20．见解析
【解析】
试题分析：首先根据等腰三角形的性质得到AD是顶角的平分线，再利用全等三角形进行证明即可．
证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，
∴AM=AN，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD与△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴DM=DN．
考点：全等三角形的判定与性质．
21．图形见解析.
【解析】
试题分析：连接AB并向两方无限延长即可得到直线AB；
连接AC，并且以A为端点向AC方向延长；
连接AD即可；
④以B为公共端点，作射线BD，BC；
⑤AD与BC的交点为O.
试题解析：如图所示：
考点：作图——基本作图.
22．证明见试题解析．
【解析】
试题分析：在Rt△ACB和Rt△DFA中，由同角的余角相等，得到∠D=∠B，再证明△ACB≌△FCD即可．
试题解析：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠D=90°，∴∠D=∠B，在△ACB和△FCD中，∵∠D=∠B，CB=CD，∠ACB=∠FCD=90°，∴△ACB≌△FCD（ASA），∴AB=DF．
考点：全等三角形的判定与性质．
23．相等
【解析】试题分析：先由条件可以得出Rt△ABE≌Rt△DCF，就可以得出∠ABE=∠DCF，就可以由SAS得出△ABC≌△DCB就可以得出AC=DB．
试题解析：AC=DB
证明：∵AE⊥BC于E,DF⊥BC,
∴∠AEB=∠DFC=90°.
在Rt△ABE和Rt△DCF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴∠ABE=∠DCF.
在△ABC和△DCB中
，
∴△ABC≌△DCB(ASA)，
∴AC=DB.
【答案】（1）见解析；（2） 60°.
【解析】
试题解析：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝AC，
在△ABD与△BCE中，
，
△ABD≌△BCE；
（2） ∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABE＋∠CBE＝60°，
∴∠ABF＋∠BAD＝60°，
∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABF＝60°.
考点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质.全等三角形的判定方法有：边边边、边角边、角边角、角角边；全等三角形的性质有：全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
25．(1) 65°；(2) 25°．
【解析】分析：（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠ CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
详解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
点睛：本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）EP=FQ，证明见解析；（3）EH=FH，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）根据等腰Rt△ABE的性质，求出∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，∠PEA=∠BAG，根据AAS推出△EPA≌△AGB；
（2）根据全等三角形的性质推出EP=AG，同理可得△FQA≌△AGC，即可得出AG=FQ，最后等量代换即可得出答案；
（3）求出∠EPH=∠FQH=90°，根据AAS推出△EPH≌△FQH，即可得出EH与FH的大小关系；
试题解析：（1）如图1，∵∠EAB=90°，EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，
∴∠PEA+∠EAP=90°，∠EAP+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
在△EPA和△AGB中，
，
∴△EPA≌△AGB（AAS），
（2）EP=FQ，
证明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，
∴EP=AG，
同理可得，△FQA≌△AGC，
∴AG=FQ，
∴EP=FQ；
（3）EH=FH，
理由：如图，∵EP⊥AG，FQ⊥AG，
∴∠EPH=∠FQH=90°，
在△EPH和△FQH中，
，
∴△EPH≌△FQH（AAS），
∴EH=FH．
点睛：本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
A
E
F
C
D
B
G
B
C
A
l1
l2
1
2
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