第1章 三角形的初步认识单元检测B卷

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第1章 三角形的初步认识单元检测B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（　　）
A. 2，3，4 B. 5，7，7 C. 5，6，12 D. 6，8，10
2．利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A. 已知三边 B. 已知两边及其夹角
C. 已知两角及其夹边 D. 已知两边及其中一边的对角
3．下列命题中，真命题的个数是( )
①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③图形平移的方向一定是水平的；
④内错角相等．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4．如图所示，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中的全等三角形有（　　）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
5．在△ABC和△EMN中，已知∠A=50°，∠B=60°，∠E=70°，∠M=60°，AC=EN，则这两个三角形（　　）
A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 以上都不对
6．如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
7．（2015秋 孝义市期末）如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点E，且CE∥AB，AC与BE交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．CB=CE B．∠A=∠ECD C．∠A=2∠E D．AB=BF
8．下列命题中，属于定义的是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 同角或等角的余角相等
C. 两直线平行，内错角相等 D. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
9．如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于( )
A. 50 B. 62 C. 65 D. 68
10．如图，D为△ABC边BC上一点，AB=AC，且BF=CD，CE=BD，则∠EDF等于 ( )
A．90°－∠A B．90°－∠A C．180°－∠A D．45°－∠A
二、填空题
11．(1)如图，点D在△ABC内，写出图中所有除△ABC外的三角形：__________；
(2)在△ACD中，∠ACD所对的边是______；在△ABD中，边AD所对的角是______．
12．如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，则这个三角形是 ．
13．如图,已知∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC,且AD是∠EAC的平分线,若∠B=71°,则∠BAC的大小是________.
14．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若 EMBED Equation.DSMT4 ，则图中阴影部分面积是 .
15．如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC.若∠D＝20°，则∠ABC的度数为___________
16．如图，已知△ACF≌△DBE，∠A＝∠D，∠E＝∠F，AD＝11 cm，BC＝7 cm，则AB的长为_________cm.
三、解答题
17．已知：如图，AD=BC，AC=BD．求证：∠C=∠D．
18．(1)在△ABC中，AB＝3，AC＝4，那么BC边的长度应满足什么条件？
(2)如果一个三角形的两边长分别为5 cm，7 cm，第三边的长为x cm，且x是一个奇数，求三角形的周长；
(3)如果三角形的三边为连续整数，且周长为24 cm，求它的最短边长．
19．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:
如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.
20．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，
（1）△AEC≌△BDE吗，请说明理由
（2）试猜想线段CE与DE大小与位置关系，说明理由.
21．图中的两个图形是五角星和它的变形．
(1)如图1是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°；
(2)图1中的点A向下移到BE上时(如图2)，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？证明你的结论．
22．已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°。
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE。
23．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？
24．观察并探求下列各问题：
(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__ __AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
25．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F.
　
(1)当EF与斜边BC不相交时，请证明EF＝BE＋CF(如图1)；
(2)如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF＝BE－CF；
(3)如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF，BE，CF之间的关系，不必证明．
参考答案
1．C
【解析】试题解析：C. EMBED Equation.DSMT4 不能构成三角形.
故选C.
点睛：三角形任意两边之和大于第三边.
2．D
【解析】试题分析：根据三角形全等的判定法则可得，已知两边及其中一边的对角不能得出唯一的三角形，故选D．
3．D
【解析】试题解析：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，是假命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
③图形平移的方向是任意的，错误，是假命题；
④两直线平行，内错角相等.是假命题.
真命题的个数是1个.
故选D.
4．B
【解析】【分析】：根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，根据SAS推出△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，推出BC=AD，根据SSS推出△ABD△CDB即可．
【详解】因为AB∥CD，
所以∠ABE=∠CDF，
又因为AB=CD，BE=DF，
所以△ABE≌△CDF（SAS）
所以∠AEB=∠CFD,AE=CE
所以，∠AED=∠CFB,
由因为BF=DE，
所以△AED≌△CFB(SAS)
所以BC=AD,
由AB=CD,BF=DE,
所以△ABD△CDB（SSS）
所以图中有3对全等三角形，是△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，
故正确选项为：B
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS;全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．A
【解析】∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=70°，
在△ABC和△NME中，
EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△ABC≌△NME(AAS)，
故选A.
6．C
【解析】分析：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
详解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选C．
点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
7．D
【解析】
试题分析：选项A和B：根据角平分线定义和平行线的性质推出∠FBC=∠E即可；选项C：先根据三角形外角的性质及角平分线的定义得出∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠ACD=（∠A+∠ABC），再由BE平分∠ABC可知∠EBC=∠ABC，根据∠ECD是△BCE的外角即可得出结论；选项D：根据等腰三角形的判定和已知推出即可．
解：∵△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点E，
∴∠ABF=∠CBF，∠FCE=∠ECD，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠FCE，∠E=∠ABE，
∴∠A=∠ECD，∠FBC=∠E，
∴CB=CE，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=（∠A+∠ABC）（角平分线的定义），
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC（角平分线的定义），
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴∠E=∠ECD﹣∠EBC=∠A，
即∠A=2∠E；
根据已知条件不能推出∠A=∠AFB，即不能推出AB=BF；
所以选项A、B、C的结论都正确，只有选项D的结论错误；
故选D．
考点：三角形内角和定理；平行线的性质．
8．D
【解析】A属于公理，B,C属于定理，D是定义，所以选D.
点睛：辨析数学中的基本概念
(1)命题：能够判断真假的语句叫做命题,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题.
(2)定理与猜想：定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述.一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理.通俗讲在没有证明之前，定理都叫猜想，例如费马定理在1995年被数学家怀尔斯彻底证明之前只能叫费马猜想,证明完成之后就叫做费马定理. 哥德巴赫猜想目前还没有被证明，所以依然叫哥德巴赫猜想.
(3)公理：是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题.例如平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线，是不能被证明的，通俗讲也就是初等数学中平行线没有交点，但是在高等数学中平行线可以有交点,人类理性很多时候是很有限的.
(4)定义：是通过列出一个事物或者一个物件的基本属性来描写或者规范一个词或者一个概念的意义.被定义的事物或者物件叫做被定义项，其定义叫做定义项.通俗的讲定义不可证明，只是人为的规定,比如给某人起名字，石头，水杯等名词，都是一种定义.
9．A
【解析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥FH可得∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，再由∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°可得∠EAF=∠ABG；因AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG，根据AAS可判定△EFA≌△ABG，由全等三角形的性质可得AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC，得GC=DH，CH=BG．即可求得FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，所以S=（6+4）×16-3×4-6×3=50．故选A．
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，利用全等三角形求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，CH=BG，从而求得FH的长，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
10．A.
【解析】
试题分析：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BFD和△EDC中，
，
∴△BFD≌△EDC（SAS），
∴∠BFD=∠EDC，
∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°-∠B=180°-=90°+∠A，
则∠EDF=180°-（∠FDB+∠EDC）=90°- ∠A．
故选A．
考点：全等三角形的判定与性质．
11． △ABD，△ACD，△BCD AD ∠ABD
【解析】解：（1）△ABD，△ACD，△BCD；
（2）AD，∠ABD．
故答案为：（1）△ABD，△ACD，△BCD；（2）AD，∠ABD．
12．等边三角形．
【解析】
试题分析：由偶次方的非负性质和绝对值的非负性质得出a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0，得出a=b=c，即可得出结论．
解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，
∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0，
∴a=b，a=c，b=c，
∴a=b=c，
∴这个三角形是等边三角形；
故答案为：等边三角形．
考点：等边三角形的判定；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
13．38°
【解析】试题分析：由AD∥BC可得∠EAD=∠B=71°，由AD是 EMBED Equation.DSMT4 的平分线可得∠EAC=2∠EAD=2×71°=142°，则∠BAC=180°–=180°–142°=38°．
考点：三角形的外角性质；平行线的性质．
14．4
【解析】试题分析：由中线性质，可得AG=2GD，则，∴阴影部分的面积为4；其实图中各个单独小三角形面积都相等本题虽然超纲，但学生容易蒙对的.
考点：中线的性质.
15．40°
【解析】分析：由条件可证明△DOC≌△BOC,则可求得∠OBC,再由角平分线的定义可求得∠ABC的度数.
详解：∵OC平分∠BCA,
∴∠DCO=∠BCO,
在△DOC和△BOC中
,
∴△DOC≌△BOC ,
∴∠CBO=∠D=20°,
∵OB平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠2CBO=40°,
故答案为:40°.
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS,SAS,AAS,ASA和HL）和全等三角形的性质是解答本题的关键.
16．2
【解析】解：∵△ACF≌△DBE，∠E=∠F，∴CA=BD，∴CA﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD，∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=11﹣7=4（cm），∴AB=2（cm）．故答案为：2．
17．详见解析．
【解析】
试题分析：连接AB，在△ABC和△BAD中，AB=BA，AD=BC，AC=BD，通过SSS可得△ABC≌△ADC，所以∠C=∠D．
试题解析：证明：连接AB，在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠C=∠D．
考点：全等三角形的判定及性质．
18．(1)1【解析】试题分析：根据三角形三边关系定理即可得到结论．
解：（1）4-3＜BC＜4+3，即1＜BC＜7；
（2）7-5＜x＜7+5，即2＜x＜12．∵x是奇数，∴x=3，5，7，9，11，故三角形的周长为15 cm或17 cm或19 cm或21 cm或23 cm．
（3）设中间边为x㎝，则另外两条边为（x-1）㎝，（x+1）㎝，∴x-1+x+x+1=24，解得：x=8，∴x-1=7，∴它的最短边长为7 cm．
19．20米.
【解析】试题分析：已知AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，再由垂直的定义可得∠CDO=90°，可得OB⊥AB，根据相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，即可根据ASA定理判定△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质即可得CD=AB=20m．
试题解析：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，
∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD=AB=20（m）
考点：全等三角形的判定及性质.
20．见解析
【解析】先利用HL判定△AEC≌△BDE，从而得出全等三角形的对应角相等,再利用角与角之间的关系,可以得到线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直.
解：(1)△AEC≌△BDE,理由为：
因为AC⊥AB，DB⊥AB，所以∠CAE=∠DBE=90°，
又因为AC＝BE，AE＝BD，所以△AEC≌△BDE.
（2）CE=DE，CE⊥DE，理由为：
由（1）可知，△AEC≌△BDE，所以CE=DE，∠C=∠DEB，
又因为在Rt△AEC中，∠C+∠CEA=90°，
所以∠DEB+∠CEA=90°，所以∠CED=90°，
所以CE⊥DE.
“点睛”本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义、平角的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
21．见解析
【解析】3．如下几个图形是五角星和它的变形．
（1）图（1）中是一个五角星形状，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　180°　；
（2）图（1）中的点A向下移到BE上时（如图（2））五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；
试题分析：通过作辅助线，并利用三角形内角和定理及三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）求解．
试题解析：解：（1）连接CD，得线段CD，并设BD和CE交于点O，如图1：
∵∠COD=∠BOE（对顶角相等），∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代换），∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ACE+∠ADB+∠ECD+∠BDC=∠A+∠ACD+∠ADC=180°．
（2）无变化．理由如下：
连接CD，得线段CD，并设BD和CE交于点O，如图2：
∵∠COD=∠BOE（对顶角相等），∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代换），∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠CAD+∠ACE+∠ADB+∠ECD+∠BDC=∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°．故∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E等于180°没有变化．
22．（1）作图见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M作射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线。
②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y作直线与AB
交于点E，点E就是AB的中点.
（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，即可利用SAS证明△ADE≌△BDE.
解：（1）作图如下：
（2）证明：∵∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°，
∴∠ABD＝∠A。∴AD＝BD.
又∵AE＝BE，
∴△ADE≌△BDE（SAS）.
23．（1）证明见解析；（2）∠EBC=25°．
【解析】试题分析：（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可．
试题解析：（1）∵在△ABE和△DCE中
EMBED Equation.DSMT4
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°．
考点：全等三角形的判定与性质．
24．（1）＜；（2）＜；（3）＜.
【解析】试题分析：（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果，
（2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果，
（3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出结果．
试题解析：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，
（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：
如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长，
（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由：
如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，
可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论.
25．见解析
【解析】试题分析：（1）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案；
（2）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案；
（3）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案．
试题解析：（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA．在△ABE和△CAF中，
∴△BEA≌△AFC，∴EA=FC，BE=AF，∴EF=EA+AF=BE+CF．
（2）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE．在△ABE和△ACF中，
∴△BEA≌△AFC，∴EA=FC，BE=AF．∵EF=AF﹣AE，∴EF=BE﹣CF．
（3）EF=CF﹣BE．理由如下：
∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE．在△ABE和△ACF中，
∴△BEA≌△AFC，∴EA=FC，BE=CF．∵EF=EA﹣AF，∴EF=CF﹣BE．
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