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1.1 二次函数
学习目标1．从实际情境中让学生经历探索、 分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程， 进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的标准形式．3．会建立简单的二次函数的模型 ， 并能根据实际问题确定自变量的取值范围．4．会用待定系数法求二次函数的表达式．
学习过程
我们已经学习了哪些函数？一元二次方程的一般形式是？
用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量y与x之间的关系．(1)圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)．(2)王师傅存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后将本息转存为又一个一年定期．设年利率均为x，两年后王师傅共得本息y元．(3)一个温室连同外围通道的矩形平面图如图1－1．这个矩形的周长为120cm，设一条边长为x(cm)，种植用地面积为y(cm2)．
上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征？
想一想：函数的自变量x是否可以取任何值呢？函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数)，当a，b，c满足什么条件时，(1)它是二次函数？(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
1．下列函数中，哪些二次函数？(1)y＝x2．(2)y＝－．(3)y＝2x2－x－1．(4)y＝x(1－x)．(5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)．
2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)y＝x2＋1．(2)y＝－3x2＋7x－12．(3)y＝2x(1－x)．
【例1】如图，一张正方形纸板的边长为，将它剪去个全等的直角三角形(图中阴影部分)，设AE＝BF ＝CG＝DH＝x(cm)，四边形的面积为y(cm2)，求：(l)关于的函数表达式和自变量的取值池围；(2)当分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，对应的四边形的面积，并列表表示．
用米的篱笆围成一边靠墙矩形花圃，如图，设连墙的一边为，矩形的面积为，求：(1)写出关于的函数关系式和自变量的取值范围．(2)当时，矩形的面积为多少？
【例2】已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，求这个二次函数的表达式．
已知二次函数， 当时，函数值为，当时，函数值为，求这个二次函数的表达式．
已知关于的二次函数，当x＝－1时，函数值为10，当x＝1时，函数值为4，当x＝2时，函数值为7，求这个二次函数的表达式．
作业题
1．下列函数中，哪些是二次函数？(1)y＝x2－2．(2)y＝2x－3．(3)y＝x2－x＋1．(4)y＝(x－5)2－x2．(5)y＝(x－1)(x＋3)．
2．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
3．从半径为4cm的圆中挖去一个半径为x(cm)的同心圆，剩下的圆环的面积为y(cm2)．求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围，并填写下表．
4．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x＝－2时，函数值是－1；当x＝1时，函数值是5．求这个二次函数的表达式．
5．某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x．求该工厂第一季度的产值y关于x的函数表达式．
6．已知一隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为2.5m．求：(1)隧道截面的面积S(m2)与截面上部半圆的半径r(m)之间的函数表达式．(2)当r＝2m时，隧道截面的面积(精确到0.1m2)
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝2；当x＝－2时，y＝－7；当x＝－1时，y＝0．求这个二次函数的表达式．
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二次函数
1.1 二次函数
教学目标
1. 从实际情境中让学生经历探索、 分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程， 进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.
2. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的标准形式.
3. 会建立简单的二次函数的模型 ， 并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
4. 会用待定系数法求二次函数的表达式.
重点与难点
本节教学的重点是二次函数的概念和表达式.
本节 “合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力， 是本节教学的难点.
温故知新
我们已经学习了哪些函数？
正比例函数 是常数，
一次函数 是常数，且
反比例函数 是常数，
一元二次方程的一般形式是？
是常数，
请用适当的函数表达式表示下列问题情境中的两个变量与之间的关系：
(1)圆的面积与圆的半径
(2)王先生存入银行万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为，两年后王先生共得本息元．
合作学习:
(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为，室内通道的尺寸如图,设一条边长为，种植面积为．
这些关系中
是的什么函数？
1、
2、
3、
上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征
经化简后都具 的形式．
是常数, )
合作探究
二次函数 中,但、可以为.
我们把形如(其中是常数，)的函数叫做二次函数．
二次项系数
一次项系数
常数项
二次函数的一般式
拓 展
函数y=ax2+bx+c (其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时，
(1)它是二次函数？
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
当a≠0时，它是二次函数.
当a=0,b≠0时，它是一次函数.
当a=0,b≠0,c=0时，它是正比例函数.
下列函数中，哪些是二次函数
是
不是
是
是
不是
函数解析式 二次项系数 一次项 系数 常数项
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
即所求函数表达式为
【例1】如图，一张正方形纸板的边长为，将它剪去个全等的直角三角形(图中阴影部分)，设 ，四边形的面积为，
求： (l)关于的函数解析式和自变量的取值池围；
(2)当分别为，，，，时，
对应的四边形的面积，并列表表示．
解：（1）由已知得：
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
(2)当分别为，，，，时，
对应的四边形的面积，并列表表示．
(2)解:当时,
列表如下:
依次计算可得： 当时，
当时，
当时，
当时，
用米的篱笆围成一边靠墙矩形花圃，如图，设连墙的一边为,矩形的面积为,求：
(1)写出关于的函数关系式
和自变量的取值范围．
(2)当时,矩形的面积为多少
x
(２)当时
自变量的取值范围
解：（1）
【例２】已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，求这个二次函数的解析式.
解：把,和
分别代入函数,得
解得，.
∴所求的二次函数是．
已知二次函数, 当时，函数值为，当时，函数值为，求这个二次函数的表达式．
已知关于的二次函数，当x=-1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7，求这个二次函数的表达式．
解：设所求的二次函数为，
由题意得 解得
∴ 所求的二次函数是y=2x2-3x+5．
小结
一、二次函数的概念
一般形式
二次系数、一次系数、常数项
二、用待定系数法求二次函数表达式
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1．下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝x2－2．(2)y＝2x－3．(3)y＝x2－x＋1．(4)y＝(x－5)2－x2．(5)y＝(x－1)(x＋3)．
答案：(1)(3)(5)是二次函数．
2．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
答案：
3．从半径为4cm的圆中挖去一个半径为x(cm)的同心圆，剩下的圆环的面积为y(cm2)．求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围，并填写下表．
答案：
y＝16π－πx2，自变量x的取值范围是0＜x＜4．
4．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x＝－2时，函数值是－1；当x＝1时，函数值是5．求这个二次函数的表达式．
答案：由题意，得，解得．
所以所求的二次函数的表达式为y＝2x2＋4x－1．
5．某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x．求该工厂第一季度的产值y关于x的函数表达式．
答案：y＝200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝200x2＋600x＋600．
6．已知一隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为2.5m．求：
(1)隧道截面的面积S(m2)与截面上部半圆的半径r(m)之间的函数表达式．
(2)当r＝2m时，隧道截面的面积(精确到0.1m2)
答案：
(1)S＝r2＋5r．
(2)当r＝2m时，
S＝×4＋5×2≈16.3(m2)．
答：隧道截面的面积约为16.3m2．
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝2；当x＝－2时，y＝－7；当x＝－1时，y＝0．求这个二次函数的表达式．
答案：y＝－2x2＋x＋3．
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