第1章 三角形的初步认识 单元测试卷

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三角形的初步知识单元测验
　
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜ B． C． D．
2．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（　　）
A．34° B．40° C．42° D．46°
3．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
4．下列说法中，正确的个数是（　　）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，图中全等三角形有（　　）
A．3对 B．5对 C．6对 D．7对
6．下列命题：①平方等于其本身的数有0，±1；②32xy3是4次单项式；③将方程=1.2中的分母化为整数，得=12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，AE=AF，则图中全等三角形的对数有（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
8．如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相较于点P，若∠BPC=25°，则∠CAP=（　　）
A．45° B．50° C．55° D．65°
9．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=8，则△BDE的周长等于（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
10．在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，∠EHF的度数是（　　）
A．50° B．40° C．130° D．120°
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为　 　．
12．[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2，若y=x﹣[x]，下列命题：①当x=﹣0.5时，y=0.5；②y的取值范围是：0≤y≤1；③对于所有的自变量x，函数值y随着x增大而一直增大．其中正确命题有　 　（只填写正确命题的序号）．
13．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，当∠A=50°时，∠BOC=　 　．
14．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是　 　（填上你认为适当的一个条件即可）．
15．用推理的方法判断为正确的命题叫做　 　．
16．从1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的五根小棒中任取三根，能围成　 　个三角形．
17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交另一腰AC于点E，若∠EBC=15°，则∠A=　 　度．
18．如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是　 　．
19．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是　 　．
20．从1，2，3…2004中任选k个数，使所选的k个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是　 　．
三．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）
21．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B．
（1）画出△ABC关于直线AC对称的△AGC；（不要求写画法）
（2）在AG边上找一点D，使得BD的中点E满足CE=AD．请利用直尺和圆规作出图形，并写出你的简要作图步骤；（只能利用直尺画直线不能测量线段长度）
（3）在（1）、（2）和未添加辅助线及其他字母的条件下，直接写出图中与∠ABC相等的角，要求该角以C点为顶点．
22．（8分）如图，小明用三角尺画∠AOB的平分线，他先在∠AOB两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，然后，连接DN和EM，相交于点C，再作射线OC，此时他认为OC就是∠AOB的平分线，你认为他的做法正确吗？请说明理由．
23．（10分）如图，△ABO≌△CDO，点E、F在线段AC上，且AF=CE．求证：FD=BE．
24．（12分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．
（1）如图1，若∠BAD=15°，且CE=1，求线段BD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF=CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM=BM．
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：首先要能组成三角形，易得 1＜x＜5
下面求该三角形为直角三角形的边长情况（此为临界情况），显然长度为2的边对应的角必为锐角（2＜3，短边对小角）则只要考虑3或者x为斜边的情况．
3为斜边时，由勾股定理，22+x2=32，得x=√5 作出图形，固定2边，旋转3边易知当1＜x＜√5 时，该三角形是以3为最大边的钝角三角形；
x 为斜边时，由勾股定理，22+32=x2，得x=√13，同样作图可得 当√13＜x＜5时，该三角形是以x为最大边的钝角三角形．
综上可知，当√5＜x＜√13 时，原三角形为锐角三角形．
故选：B．
2．解：设∠GBC=x，∠DCB=y，
在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，
在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，
解得：①+②：3x+3y=138°，
∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，
故选：C．
3．解：在△OEC和△ODC中，
∵，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：D．
4．解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故选：A．
5．解：①△ABE≌△CDF
∵AB∥CD，AD∥BC
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于E
∴∠AEB=∠CFD
∴△ABE≌△CDF；
②△AOE≌△COF
∵AB∥CD，AD∥BC，AC为ABCD对角线
∴OA=OC，∠EOA=∠FOC
∵∠AEO=∠CFO
∴△AOE≌△COF；
③△ABO≌△CDO
∵AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O
∴OD=OB，∠AOB=∠COD，OA=OC
∴△ABO≌△CDO；
④△BOC≌△DOA
∵AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O
∴OD=OB，∠BOC=∠DOA，OC=OA
∴△BOC≌△DOA；
⑤△ABC≌△CDA
∵AB∥CD，AD∥BC
∴BC=AD，DC=AB，∠ABC=∠CDA
∴△ABC≌△CDA；
⑥△ABD≌△CDB
∵AB∥CD，AD∥BC
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC
∴△ABD≌△CDA；
⑦△ADE≌△CBF
∵AD=BC，DE=BF，AE=CF
∴△DEC≌△BFA．
故选：D．
6．解：①错误，﹣1的平方是1；
②正确；
③错误，方程右应还为1.2；
④错误，只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线，若四点在同一直线上，则只有画一条直线了．
故选：A．
7．解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，
∴BD=CD，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
又AE=AF，AO=AO，
∴△AOE≌△AOF，
EO=FO，
进一步证明可得△BOD≌△COD，△BOE≌△COF，△AOB≌△AOC，△ABF≌△ACE，△BCE≌△CBF，共7对．
故选：C．
8．解：如图，延长BA，作PN⊥BD于点N，PF⊥BA于点F，PM⊥AC于点M，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=25°，
∴∠ABP=∠PBC=（x﹣25）°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣25°）﹣（x°﹣25°）=50°，
∴∠CAF=130°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=65°．
故选：D．
9．解：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，
∴CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE．
又∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△BDE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=8．
故选：D．
10．解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，
∴∠A=60°，
∵CF是AB上的高，
∴在△ACF中，∠ACF=180°﹣∠AFC﹣∠A=30°，
在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，
∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．解：用三角形稳固它们是因为三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．解：①根据题意可得[x]=﹣1，所以y=x﹣[x]=﹣0.5﹣（﹣1）=0.5，所以此命题正确；
②中y的取值范围是：0≤y＜1，错误；
③当x取一正一负时，函数值y有可能随着x增大而一直增大，错误．
正确命题有①．
13．解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50=130°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，
在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．
故答案为：115°．
14．解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，
又 AE公共，
∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；
或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；
或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．
15．解：定理是用推理的方法判断为正确的命题，故用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．
16．解：∵1+3＜5，3+5＜9，1+5＜7．
∴只有三种能满足三边关系：5，7，9或3，5，7或3，7，9．
因而能组成三个三角形．
17．解：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
又因为DE垂直且平分AB，
∴∠ABE=∠A，
∠EBC+∠ACB=∠AEB
∴15°+，
解得∠A=50°．
故填50．
18．解：如图，延长EP交BC于点F，
∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，
∴∠EPC=150°，
∴∠CPF=180°﹣150°=30°，
∴PF平分∠BPC，
又∵PB=PC，
∴PF⊥BC，
设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF=CP=b，a2+b2=8，
∵△APE和△ABD都是等边三角形，
∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，
∴∠EAD=∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴ED=PB=CP，
同理可得：△APB≌△DCB（SAS），
∴EP=AP=CD，
∴四边形CDEP是平行四边形，
∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，
又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，
∴2ab≤a2+b2=8，
∴ab≤2，
即四边形PCDE面积的最大值为2．
故答案为：2．
19．解：当OC、OD在直线AB同侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC=30°；
∴∠BOD=180°﹣∠COD﹣∠AOC=180°﹣90°﹣30°=60°；
当OC、OD在直线AB异侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC=30°；
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣（∠DOC﹣∠AOC）=180°﹣（90°﹣30°）=120°．
20．解：为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an显然总有ai大于等于①中的第i个数，
所以n≤17≤k，从而知k的最小值为17．
故答案为：17．
三．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）
21．解：（1）所画△AGC见图． …（1分）
（2）所画图形见图．
作图简要步骤如下：
（1）作AC的垂直平分线，交AC于F点．…（2分）
（2）连接BF并延长，交AG于D点． …（3分）
（3）作BD的垂直平分线，交BD于E点，连接CE．
则D点和E点为所求．…（4分）
（3）在（1）、（2）和未添加辅助线及其他字母的条件下，图中以C点为顶点，且与∠ABC相等的角的是∠BCE． …（5分）
22．解：他的做法正确；
理由：在△MOE和△NOD中
∵，
∴△MOE≌△NOD（SAS），
∴∠OME=∠DNO，
∵OM=ON，OD=OE，
∴DM=EN，
∴在△MDC和△NEC中
，
∴△MDC≌△NEC（AAS），
∴DC=EC，
在△DOC和△EOC中
，
∴△DOC≌△EOC（SSS），
∴∠DOC=∠EOC，
∴OC就是∠AOB的平分线．
23．证明：∵△ABO≌△CDO，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OA﹣AF=OC﹣CE，又AF=CE，
∴FO=OE，
在△OFD和△OEB中，
，
∴△OFD≌△OEB，
∴FD=BE．
24．（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵∠BAD=15°，
∴∠CAE=45°﹣15°=30°，
Rt△ACE中，CE=1，
∴AC=2CE=2，
Rt△CED中，∠ECD=90°﹣60°=30°，
∴CD=2ED，
设ED=x，则CD=2x，
∴CE=x，
∴x=1，
x=，
∴CD=2x=，
∴BD=BC﹣CD=AC﹣CD=2﹣；
（2）如图2，连接CM，
∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACE=∠BCF，
∵AC=BC，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠BFC=∠AEC=90°，
∵∠CFE=45°，
∴∠MFB=45°，
∵∠CFM=∠CBA=45°，
∴C、M、B、F四点共圆，
∴∠BCM=∠MFB=45°，
∴∠ACM=∠BCM=45°，
∵AC=BC，
∴AM=BM．
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