1.4 全等三角形
A组
1．有下列说法：①用同一张底片冲洗出来的两张1寸照片是全等图形；②所有的正方形是全等图形；③全等图形的周长相等；④面积相等的图形一定是全等图形．其中正确的是(C)
A． ①②③ B． ①③④ C． ①③ D． ③
2．如图，已知△ABC≌△CDA，AB＝4，BC＝5，AC＝6，则AD的长为(B)
A． 4 B． 5 C． 6 D． 不确定
,(第2题)) ,(第3题))
3．如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是(D)
A． FC＝BD B． EF平行且等于AB
C． AC平行且等于DE D． CD＝ED
4．边长都为整数的△ABC≌△DEF，AB＝2，BC＝4．若△DEF的周长为偶数，则DF的长为(B)
A． 3 B． 4 C． 5 D． 3或4或5
(第5题)
5．如图，点E，F在线段BC上，△ABF≌△DCE，AF与DE交于点M．若∠DEC＝36°，则∠AME＝(C)
A． 54° B． 60°
C． 72° D． 75°
6．如图，请按下列要求分别分割四个正方形．
①两个全等三角形；②四个全等的三角形；③两个全等的长方形；④四个全等的正方形．
(第6题)
【解】 如解图所示．
(第6题解)
(第7题)
7．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝6，BC＝11，BF＝3，∠ACB＝30°． 求∠DFE的度数及DE，CE的长．
【解】 ∵△ABC≌△DEF，
∴DE＝AB＝6，EF＝BC＝11，∠DFE＝∠ACB＝30°．
又∵CE＝EF－CF，BF＝BC－CF，
∴CE＝BF＝3．
B组
(第8题)
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，沿AM对折，使点D落在BC上的点N处．若∠D＝90°，∠AMD＝60°，则∠ANB＝__60°__，∠CMN＝__60°__．
【解】 提示：∠ANB＝∠DAN＝2∠DAM，∠CMN＝180°－2∠AMD．
(第9题)
9．如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8，BC＝4，P，Q两点分别在线段AC和射线AM上运动，且PQ＝AB．若△ABC和△PQA全等，则AP＝__8或4__．
【解】 当△ABC≌△PQA时，AP＝CA＝8；
当△ABC≌△QPA时，AP＝CB＝4．
10．如图是用10根火柴棒搭成的一个三角形，你能否移动其中的3根，摆出一对全等的三角形？画出你的修改方案．移动其中的4根能否摆出一对全等的三角形？请画图说明，并与同伴交流．
(第10题)
【解】 能．画图说明如下(答案不唯一)．
移动其中的3根，如解图①．
(第10题解)
移动其中4根，如解图②．
(第11题)
11．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°．求∠DFB和∠DGB的度数．
【解】 ∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE．
∵∠EAB＝∠BAC＋∠DAC＋∠DAE，∠DAC＝10°，∠EAB＝120°，∴∠BAC＝∠DAE＝55°，
∴∠BAD＝∠CAD＋∠BAC＝65°．
∵∠DFB是△ABF的一个外角，
∴∠DFB＝∠BAF＋∠B＝65°＋25°＝90°．
∵∠DFB是△DFG的一个外角，
∴∠DFB＝∠D＋∠DGB，
∴∠DGB＝∠DFB－∠D＝90°－25°＝65°．
数学乐园
(第12题)
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发沿路径A→C→B向终点B运动；点Q从点B出发沿路径B→C→A向终点A运动．点P和点Q分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点P作PE⊥l于点E，过点Q作QF⊥l于点F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△CFQ全等？请说明理由．导学号：91354004
【解】 设运动时间为t(s)时，△PEC与△CFQ全等．
∵△PEC与△CFQ全等，∴斜边CP＝QC．
当0
当6≤t≤14时，点P在BC上．
当0＜t＜时，点Q在BC上；
当≤t≤时，点Q在AC上．
有三种情况：①当点P在AC上，点Q在BC上时，如解图①．
易得CP＝6－t，QC＝8－3t，
∴6－t＝8－3t，解得t＝1．
②当点P，Q都在AC上时，此时点P，Q重合，如解图②．
易得CP＝6－t＝3t－8，解得t＝3．5．
③当点Q与点A重合，点P在BC上时(6＜t≤14)，如解图③．
易得CP＝t－6，QC＝6，∴t－6＝6，解得t＝12．
综上所述，当点P运动1 s或3．5 s或12 s时，△PEC与△CFQ全等．
(第12题解)
1.6 尺规作图
A组
1．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是(B)
(第1题)
A． SAS B． SSS C． ASA D． AAS
(第2题)
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，过M，N两点的直线交AC于点E，交AB于点D．若AC＝6，BE＝4，则CE的长为(B)
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
3．如图，已知△ABC，AB
4．如图，已知△ABC，求作BC边上的中线(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)．
(第4题)
(第4题解)
【解】 如解图，AD即为所求作的BC边上的中线．
5．如图，一块三角形模具的阴影部分已破损．
(1)只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC形状和大小完全相同的模具A′B′C′？请简要说明理由．
(2)作出模具△A′B′C′的图形(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)．
(第5题)
(第5题解)
【解】 (1)量出∠B和∠C的度数及BC边的长度即可作出与△ABC形状和大小完全相同的三角形．
理由是两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
(2)如解图，△A′B′C′就是所求作的三角形．
B组
(第6题)
6．如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以点C为圆心，CA长为半径画弧①；
步骤2：以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结AD，交BC的延长线于点H．
下列叙述正确的是(A)
A． BH垂直平分线段AD
B． AC平分∠BAD
C． S△ABC＝BC·AH
D． AB＝AD
【解】 连结CD，BD．
∵CA＝CD，BA＝BD，BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC(SSS)，∴∠ABC＝∠DBC．
在△ABH与△DBH中，∵
∴△ABH≌△DBH(SAS)，
∴AH＝DH，∠AHB＝∠DHB＝90°，
∴BH垂直平分线段AD，故A正确．
AC不一定平分∠BAD，故B错误．
S△ABC＝BC·AH，故C错误．
AB不一定等于AD，故D错误．
(第7题)
7．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①以点A为圆心，AB长为半径画弧．
②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧交于点D．
③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD．
求证：△ABE≌△ADE．
【解】 在△ABC与△ADC中，∵
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC＝∠DAC．
在△ABE和△ADE中，∵
∴ABE≌ADE(SAS)．
8．如图，已知△ABC，AB＝AC．
(1)作图：在AC上任取一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE＝AB，连结AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F(要求：尺规作图，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的条件下，连结CF．求证：∠E＝∠ACF．
,(第8题)) ,(第8题解))
【解】 (1)如解图所示．
(2)在△ACF和△AEF中，
∵AE＝AB＝AC，∠EAF＝∠CAF，AF＝AF，
∴△ACF≌△AEF(SAS)，∴∠E＝∠ACF．
9．如图，已知线段a，b及∠α．求作：△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另一边等于b(要求：尺规作图，保留作图痕迹)．
,(第9题)) ,(第9题解))
【解】 作法如下：
(1)作∠MBN＝∠α．
(2)在BM上截取线段AB＝b．
(3)以点A为圆心，a为半径画弧，交BN于点C1，C2，连结AC1，AC2，则△ABC1和△ABC2即为所求作的三角形(如解图)．
数学乐园
10．如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)．
,(第10题)) ,(第10题解))
【解】 如解图所示，P1，P2，P3，P4即为加油站的位置，共有4个符合要求的位置．
三角形的初步知识
1.1 认识三角形（一）
A组
1．如图，图中共有__6__个三角形，以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ADC，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△AEC，∠ADB是△ABD的内角，△ADE的三个内角分别是∠ADE，∠AED，∠DAE．
(第1题)
(第2题)
2．在“三角尺拼角实验”中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝__120°__．
3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__40°__．
4．(1)若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(B)
A． 14 B． 10 C． 3 D． 2
(2)若长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是(C)
A． 4 B． 5 C． 6 D． 9
(第5题)
5．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的度数为(C)
A． 54° B． 62°
C． 64° D． 74°
6．若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是(C)
A． 直角三角形 B． 锐角三角形
C． 钝角三角形 D． 不能确定
(第7题)
7．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．
(1)求CD的取值范围．
(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【解】 (1)∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1(2)∵AE∥BD，∠BDE＝125°，
∴∠AEC＝55°，
∴∠C＝180°－∠AEC－∠A＝70°．
B组
8．现有3 cm，4 cm，7 cm, 9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是(B)
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【解】 四根木棒任取三根的所有组合为3，4，7；3，4，9；3，7，9和4，7，9，其中3，7，9和4，7，9能组成三角形．
9．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(D)
A． 2a＋2b－2c B． 2a＋2b
C． 2c D． 0
【解】 ∵a＋b>c，
∴a＋b－c>0，c－a－b<0，
∴|a＋b－c|－|c－a－b|
＝a＋b－c＋(c－a－b)
＝a＋b－c＋c－a－b＝0．
10．各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有多少个？
【解】 ∵各边长度都是整数、最大边长为8，
∴三边长可以为：
1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8．
故各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有20个．
(第11题)
11．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器应安装在AC，BD的交点E处，你知道这是为什么吗？
【解】 如图，另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE′，CE′，DE′．
在△BDE′中，DE′＋BE′>DB．
在△ACE′中，AE′＋CE′>AC．
∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．
数学乐园
12．观察并探求下列各问题：
(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__＜__AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
(第12题)
【解】 (1)BP＋PC＜AB＋AC．理由：三角形两边的和大于第三边．
(2)△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：
如解图①，延长BP交AC于点M．
∵PC∵BM∴BP＋PC＜AB＋AC，
∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，
即△BPC的周长＜△ABC的周长．
（第12题解）
(3)四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：
如解图②，分别延长BP1，CP2交于点M．
由(2)知，BM＋CM＜AB＋AC．
又∵P1P2＜P1M＋P2M，
∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，
∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．
1.1 认识三角形(二)
A组
1．如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高线，下列作法正确的是(A)
2．能将三角形的面积分成相等两部分的是(A)
A． 中线 B． 角平分线
C． 高线 D． 以上都不能
3．一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示，若∠2＝50°，则∠1＝(C)
A． 50° B． 60° C． 70° D． 80°
,(第3题)) ,(第4题))
4．如图，AD是△ABC的中线，BC＝10，则BD的长为__5__．
5．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，已知∠ABC＝80°，则∠DBC＝__40°__．
,(第5题)) ,(第6题))
6．如图，AD是△ABC的中线，AB－AC＝5 cm，△ABD的周长为49 cm，则△ADC的周长为__44__cm．
(第7题)
7．如图，在△ABC中，AD是高线，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【解】 ∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°．
∵AD是高线，∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝30°．
∵AE，BF是角平分线，
∴∠ABF＝∠ABC＝35°，∠EAF＝∠CAB＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°，
∠AFB＝180°－∠ABF－∠CAB＝95°，
∴∠AOF＝180°－∠AFB－∠EAF＝60°，
∴∠BOA＝180°－∠AOF＝120°．
B组
8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BDG＝8，S△AGE＝3，则S△ABC＝(B)
A． 25 B． 30
C． 35 D． 40
【解】 在△BDG和△GDC中，
∵BD＝2DC, 这两个三角形在BC边上的高线相等，∴S△BDG＝2S△GDC，∴S△GDC＝4．
同理，S△GEC＝S△AGE＝3．
∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15，
∴S△ABC＝2S△BEC＝30．
(第8题)
(第9题)
9．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝____．
【解】 设S△ABC＝S．
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∴S△ACD＝S△ABD＝S△ABC＝S．
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴S△EDC＝S△EDA＝S△ACD＝S．
∴S△EDC∶S△ABC＝＝．
(第10题)
10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°，求∠BCD和∠ECD的度数．
【解】 ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°－∠CDB－∠B＝30°．
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝100°．
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠BCE＝∠ACB＝50°，
∴∠ECD＝∠BCE－∠BCD＝20°．
(第11题)
11．如图，在△ABC中(AB>BC)，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40的两部分，求AC和AB的长．
导学号：91354001
【解】 ∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，AC＝4BD．
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x．
分两种情况讨论：
①AC＋CD＝60，AB＋BD＝40，
则4x＋x＝60，x＋y＝40，解得x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48，AB＝28，BC＝2x＝24，此时符合三角形三边关系定理．
②AC＋CD＝40，AB＋BD＝60，
则4x＋x＝40，x＋y＝60，解得x＝8，y＝52，
即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，
此时不符合三角形三边关系定理．
综上所述，AC＝48，AB＝28．
数学乐园
12．如图，已知△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连结点A1，B1，C1，A1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连结点A2，B2，C2，A2，得到△A2B2C2……按此规律，要使得到的三角形的面积超过2018，则最少经过__4__次操作．
,(第12题))
【解】 由题意可得规律：第n次操作后得到的三角形的面积变为7n，则7n>2018，可得n最小为4．故最少经过4次操作．
1.2 定义与命题（一）
A组
1．下列语句中，属于定义的是(D)
A． 两点确定一条直线
B． 两直线平行，同位角相等
C． 等角的余角相等
D． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
2．下列语句中，属于命题的是(C)
A． 直线AB与CD垂直吗
B． 过线段AB的中点作AB的垂线
C． 同位角不相等，两直线不平行
D． 连结A，B两点
3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是(D)
A． 垂直
B． 两条直线
C． 同一条直线
D． 两条直线垂直于同一条直线
4．下列语句中，不属于命题的是(C)
A． 若两角之和为90°，则这两个角互补
B． 同角的余角相等
C． 作线段的垂直平分线
D． 相等的角是对顶角
5．把“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角，那么它们相等．
6．指出下列命题的条件和结论．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3．
(3)邻补角的平分线互相垂直．
【解】 (1)条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论：这两条直线平行．
(2)条件：∠1＝∠2，∠2＝∠3；结论：∠1＝∠3．
(3)条件：两条射线是邻补角的平分线；结论：这两条射线互相垂直．
7．把命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)等底等高的两个三角形的面积相等．
(2)两直线平行，内错角相等．
(3)等角的余角相等．
【解】 (1)如果两个三角形等底等高，那么它们的面积相等．
(2)两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等．
(3)如果两个角同为等角的余角，那么这两个角相等．
B组
8．下列命题正确的是(D)
A． 若a＞b，b＜c，则a＞c
B． 若a＞b，则ac＞bc
C． 若a＞b，则ac2＞bc2
D． 若ac2＞bc2，则a＞b
9．对同一平面内的三条直线，给出下列5个论断：a∥b，b∥c，a⊥b，a∥c，a⊥c．以其中两个论断为条件．一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题．
条件：a∥b，b∥c，结论：a∥c．
【解】 本题答案不唯一．
10．定义两种新变换：①f(a，b)＝(a，－b)，如f(1，2)＝(1，－2)；②g(a，b)＝(b，a)，如g(1，2)＝(2，1)．据此得g(f(5，－6))＝(6，5)．
【解】 ∵f(5，－6)＝(5，6)，
∴g(f(5，－6))＝g(5，6)＝(6，5)．
数学乐园
(第11题)
11．如图，定义：直线l1与l2交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，求“距离坐标”是(1，2)的点的个数．导学号：91354002
(第11题解)
【解】 “距离坐标”是(1，2)的点表示的含义是该点到直线l1，l2的距离分别为1，2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1或a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1或b2上，它们有4个交点，即为如解图所示的点M1，M2，M3，M4．故满足条件的点的个数为4．
1.2 定义与命题（二）
A组
1．下列命题是真命题的是(A)
A． 互余的两个角之和是90°
B． 同角的余角互余
C． 等底的两个三角形面积相等
D． 相等的角是直角
2．下列命题是假命题的是(C)
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的内角和等于180°
C．等边三角形旋转180°后能与本身重合
D．三角形的中线能平分三角形的面积
3．能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是(A)
A． a＝－2 B． a＝
C． a＝1 D． a＝
4．(1)定理是真命题(填“真”或“假”，下同)．
“如果ab＝0，那么a＝0”是假命题．
“如果a＝0，那么ab＝0” 是真命题．
(2)“如果(a－1)(a－2)＝0，那么a＝2”是假命题，反例是a＝1．
(第5题)
5．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，这是假命题(填“真”或“假”)．
6．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．
(2)两个负数的差一定是负数．
【解】 (1)假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．
(2)假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3．
7．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD∥BC，则AD平分∠EAC．请用推理的方法说明它是真命题．
(第7题)
【解】 ∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
∠CAD＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分∠EAC．
∴该命题是真命题．
B组
8．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是(B)
A． 若甲对，则乙对 B． 若乙对，则甲对
C． 若乙错，则甲错 D． 若甲错，则乙对
【解】 A项，若甲对，即只参加一项的人数大于14人，则两项都参加的人数小于6人，故乙可能对也可能错．
B项，若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，此时只参加一项的人数至少为16人，故甲对．
C项，若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对也可能错．
D项，若甲错，即只参加一项的人数至多为14人，则两项都参加的人数至少为6人，故乙错．
综上所述，真命题只有“若乙对，则甲对”．
9．有下列命题：①若a＋b＞0且ab＞0，则a＞0且b＞0；②若a＞b且ab＞0，则a＞b＞0；③一个锐角的补角比它的余角小90°．其中属于真命题的是__①__(填序号)．
【解】 ①由ab＞0，可得a，b同号．
又∵a＋b＞0，∴a＞0且b＞0，故本项正确．
②令a＝－1，b＝－2，则ab＝2＞0，b＜a＜0，故本项错误．
③一个锐角的补角比它的余角大90°，故本项错误．
(第10题)
10．如图，GH，MN分别是∠EGB，∠EMD的平分线，若GH∥MN，则AB∥CD．请用推理的方法说明它是真命题．
【解】 ∵GH∥MN，
∴∠EGH＝∠EMN．
∵GH，MN分别是∠EGB，∠EMD的平分线，
∴∠EGB＝2∠EGH，
∠EMD＝2∠EMN，
∴∠EGB＝∠EMD，∴AB∥CD．
∴该命题是真命题．
数学乐园
11．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°．
(第11题)
(1)∠1＝25°，∠2＝155°．
(2)请观察∠1，∠2与∠ABC分别有怎样的关系，并由此归纳一个真命题．
【解】 (2)∠1＝∠ABC，∠2＋∠ABC＝180°．真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
1.3 证明（一）
A组
1．如图，下面的推理正确的是(D)
A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD
B．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC
C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4
D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC
,(第1题)) ,(第2题))
2．如图，若a∥b，则∠1的度数为(C)
A． 90° B． 80°
C． 70° D． 60°
(第3题)
3．如图，下列条件中，能证明AD∥BC的是(D)
A． ∠A＝∠C
B． ∠B＝∠D
C． ∠B＝∠C
D． ∠C＋∠D＝180°
4．字母a，b，c，d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为a⊕c．
组合,,,连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c
(第5题)
5．如图，∠1与∠D互余，∠C与∠D互余．求证：AB∥CD．
【解】 ∵∠1与∠D互余，
∠C与∠D互余(已知)，
∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
(第6题)
6．如图，直线a∥b，三角形纸板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b于B，C两点．若∠1＝42°，求∠2的度数．
【解】 ∵直线a∥b，∠1＝42°(已知)，
∴∠ACB＝42°(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠BAC＝90°(已知)，
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝48°(三角形的内角和为180°)，
∴∠2＝∠ABC＝48°(对顶角相等)．
(第7题)
7．如图，∠1＝∠2，∠D＝50°，求∠B的度数．
【解】 ∵∠1＝∠AGF(对顶角相等)，
∠1＝∠2(已知)，
∴∠2＝∠AGF(等量代换)，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠B＝180°－∠D＝180°－50°＝130°．
B组
(第8题)
8．如图，已知直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，则∠α的度数为__35°__．
【解】 过点C作CE∥a．
∵a∥b，∴CE∥a∥b，
∴∠BCE＝∠α，∠ACE＝∠β＝55°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠α＝∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝35°．
(第9题)
9．如图，已知AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF的度数为__70°__．
【解】 ∵EP⊥EF，∴∠PEF＝90°．
又∵∠BEP＝50°，
∴∠BEF＝∠BEP＋∠PEF＝140°．
∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴∠EFD＝40°．
∵FP平分∠EFD，
∴∠EFP＝∠EFD＝20°．
∵∠PEF＋∠EFP＋∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝70°．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC，分别交AC，CD于点E，F．求证：∠CEF＝∠CFE．
(第10题)
【解】 ∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CEF＋∠CBE＝90°，∠DFB＋∠ABE＝90°，
∴∠CEF＝∠DFB．
又∵∠CFE＝∠DFB，
∴∠CEF＝∠CFE．
11．阅读：如图①，∵CE∥AB，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B．这是一个有用的事实，请用这个事实，在图②中的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数．
(第11题)
(第11题解)
【解】 如解图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠A＋∠ADE＝180°，∠B＋∠BED＝180°．
由题意，得∠BED＝∠C＋∠CDE，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠CDA＝(∠A＋∠ADE)＋(∠CDE＋∠C)＋∠B＝180°＋∠BED＋∠B＝180°＋180°＝360°．
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12．如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的度数是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．
(第12题)
【解】 ∠ACB的度数不随点A，B的移动发生变化．理由如下：
∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，
∴∠DBC＝∠DBO，
∠BAC＝∠BAO．
∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，
∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°．
∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠ACB，
∴∠ACB＝(∠DBO－∠BAO)＝∠AOB＝45°．
1.3 证明（二）
A组
1．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数为(C)
A． 120° B． 90°
C． 100° D． 30°
,(第1题)) ,(第2题))
2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线．若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A的度数为(C)
A．35° B．95°
C．85° D．75°
3．如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点，则a，b相交所成的锐角是(A)
A． 60° B． 30° C． 70° D． 8°
,(第3题)) ,(第4题))
4．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于(A)
A． 30° B． 40° C． 60° D． 70°
5．若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为(C)
A． 4∶3∶2 B． 3∶2∶4
C． 5∶3∶1 D． 3∶1∶5
6．如图，l1∥l2，则下列式子成立的是(B)
A．∠α＋∠β＋∠γ＝180°
B．∠α＋∠β－∠γ＝180°
C．∠β＋∠γ－∠α＝180°
D．∠α－∠β＋∠γ＝180°
,(第6题)) ,(第7题))
7．如图，点A，C，F，B在同一条直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA的度数为α，则∠GFB＝90°－(用含α的代数式表示)．
(第8题)
8．如图，已知D为△ABC的边BC的延长线上一点，DF⊥AB于点F，且交AC于点E，∠A＝34°，∠D＝42°．求∠ACD的度数．
【解】 ∵DF⊥AB，
∴∠BFD＝90°．
∵∠BDF＋∠B＋∠D＝180°，
∴∠B＝180°－∠BFD－∠D＝180°－90°－42°＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝34°＋48°＝82°．
B组
9．如图，∠1，∠2，∠3，∠4的数量关系为(A)
(第9题)
A． ∠1＋∠2＝∠4－∠3
B． ∠1＋∠2＝∠3＋∠4
C． ∠1－∠2＝∠4－∠3
D． ∠1－∠2＝∠3－∠4
【解】 ∵∠AEF是△BED的外角，
∴∠AEF＝∠2＋∠3．
∵∠4是△AEF的外角，∴∠4＝∠1＋∠AEF，
∴∠4＝∠1＋∠2＋∠3，
∴∠1＋∠2＝∠4－∠3．
10．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠CAD的度数为24°．
【解】 ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠3＝∠1＋∠2，
∴∠3＝∠4＝2∠1，∴∠CAD＝180°－4∠1．
∵∠BAC＝63°，∴∠1＋180°－4∠1＝63°，
解得∠1＝39°．∴∠CAD＝180°－4×39°＝24°．
(第10题)
(第11题)
11．如图，∠B＝36°，∠D＝50°，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，则∠M的度数为__43°__．
【解】 ∵∠ARC是△ARB和△CRM的外角，
∴∠ARC＝∠B＋∠BAR＝∠M＋∠RCM．
同理，∠AQC＝∠D＋∠QCD＝∠DAM＋∠M．
∴∠B＋∠BAR＋∠D＋∠QCD＝∠RCM＋∠DAM＋2∠M．
∵AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAR＝∠DAM，∠QCD＝∠RCM，
∴2∠M＝∠B＋∠D，
∴∠M＝(∠B＋∠D)＝×(36°＋50°)＝43°．
(第12题)
12．已知：如图，在△ABC中，∠B>∠C，AE为∠BAC的平分线，AD⊥BC于点D．求证：∠DAE＝(∠B－∠C)．
【解】 ∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．
∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°－∠B，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠B)＝(∠B－∠C)．
数学乐园
(第13题)
13．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝__540°__．
导学号：91354003
【解】 连结DG，AC，DF．
∵∠BAG＝∠CAG＋∠BAC，∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，∠CDE＝∠CDF＋∠EDF，∠EFG＝∠DFE＋∠DFG，∠CAG＋∠ACD＝∠CDG＋∠AGD，∴∠BAG＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＋∠EFG＋∠AGF＝∠GAC＋∠BAC＋∠B＋∠ACB＋∠ACD＋∠CDF＋∠EDF＋∠E＋∠DFE＋∠DFG＋∠AGF＝(∠BAC＋∠B＋∠ACB)＋(∠CAG＋∠ACD＋∠CDF＋∠DFG＋∠AGF)＋(∠EDF＋∠E＋∠DFE)＝180°＋(∠CDG＋∠AGD＋∠CDF＋∠DFG＋∠AGF)＋180°＝180°＋180°＋180°＝540°．
1.5 三角形全等的判定（一）
A组
1．下列命题中，正确的是(A)
A． 三条边对应相等的两个三角形全等
B． 周长相等的两个三角形全等
C． 三个角对应相等的两个三角形全等
D． 面积相等的两个三角形全等
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，点E在AD上，依据“SSS”可以直接判定(B)
A． △ADB≌△ADC B． △ABE≌△ACE
C． △BDE≌△CDE D． 以上都不对
, (第2题)) , (第3题))
3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC． 由此作法得△MOC≌△NOC的依据是__SSS__．
4．如图，已知AB＝AC，BE＝CD，要使△ABE≌△ACD，依据“SSS”还需添加的一个条件是：AE＝AD或CE＝BD．
(第4题)
(第5题)
5．如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE．求证：△ABC≌△AED．
【解】 ∵BD＝CE，
∴BD－CD＝CE－CD，即BC＝ED．
在△ABC和△AED中，
∵
∴△ABC≌△AED(SSS)．
(第6题)
6．如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD，BD，CD．求证：AD平分∠BAC．
【解】 由作图可知，BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC．
(第7题)
7．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，AC＝DF．求证：AB∥DE．
【解】 ∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋FC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
B组
8．在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝315°．
【解】 由图可知，∠1所在的最大的直角三角形与∠7所在的最大的直角三角形全等，
∴∠1＋∠7＝90°．
同理，∠2＋∠6＝90°，∠3＋∠5＝90°．
又∵∠4＝45°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝315°．
, (第8题)) ,(第9题))
9．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)，则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是__4__．
【解】 以BC边为公共边的三角形有3个，以AB边为公共边的三角形有0个，以AC边为公共边的三角形有1个，共3＋0＋1＝4(个)．
(第10题)
10．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连结AC，AE．若AB＝AC，AE＝CD，AD＝CE，则图中的全等三角形有几对？
【解】 ∵E是BC的中点，∴BE＝CE．
在△ABE和△ACE中，
∵
∴△ABE≌△ACE(SSS)．
在△ACE和△CAD中，
∵
∴△ACE≌△CAD(SSS)．
∴△ABE≌△CAD．
∴共有3对．
(第11题)
11．如图，已知AB＝DC，DB＝AC．
(1)求证：∠ABD＝∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
【解】 (1)连结AD．
在△BAD和△CDA中，
∵∴△BAD≌△CDA(SSS)，
∴∠ABD＝∠DCA(全等三角形的对应角相等)．
(2)作辅助线的意图是构造全等三角形．
数学乐园
(第12题)
12．在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小聪发现，只有一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．他是这样作的(如图)：
(1)分别在∠AOB的两边OA，OB上各取一点C，D，使得OC＝OD．
(2)连结CD，并量出CD的长度，取CD的中点E．
(3)过O，E两点作射线OE，则OE就是∠AOB的平分线．
请你说出小聪这样作的理由．
【解】 ∵E是CD的中点，∴CE＝DE．
在△OCE和△ODE中，∵
∴△OCE≌△ODE(SSS)．
∴∠COE＝∠DOE，即OE是∠AOB的平分线．
1.5 三角形全等的判定（三）
A组
1．如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是(C)
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．带①和②去
,(第1题)) , (第2题))
2．如图，点B，E在线段CD上，若∠C＝∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是(C)
A． BC＝FD，AC＝ED
B． ∠A＝∠DEF，AC＝ED
C． AC＝ED，AB＝EF
D． ∠ABC＝∠EFD，BC＝FD
3．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是(C)
A． AB＝3，BC＝4，∠C＝50°
B． AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C． ∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D． ∠C＝90°，AB＝6
4．如图，BC∥EF，AC∥DF，请添加一个适当的条件：AB＝DE(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEF．
,(第4题)) ,(第5题))
5．如图，∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，AB＝AC．求证：BD＝CE．
【解】 ∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE．
又∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
∴BD＝CE．
(第6题)
6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AC＝AD．
【解】 ∵∠3＝∠4，
∴∠ABC＝∠ABD．
在△ABC和△ABD中，
∵
∴△ABC≌△ABD(ASA)，
∴AC＝AD．
(第7题)
7．如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC．求证：BC＝AD．
【解】 ∵∠DBA＝∠CAB，∠CBD＝∠DAC，
∴∠CBA＝∠DAB．
在△BCA与△ADB中，
∵
∴△BCA≌△ADB(ASA)，
∴BC＝AD．
B组
(第8题)
8．如图，E是BC边上一点，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，AB＝BC，∠A＝∠CBD，AE与BD交于点O．有下列结论：①AE＝BD；②AE⊥BD；③BE＝CD；④△AOB的面积等于四边形CDOE的面积．其中正确的结论有(D)
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
【解】 易证△ABE≌△BCD(ASA)，
可得AE＝BD，BE＝CD，S△ABE＝S△BCD，
∴S△ABE－S△BOE＝S△BCD－S△BOE，
即S△AOB＝S四边形CDOE，故①③④正确．
由∠A＝∠CBD，∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得∠A＋∠ABD＝90°，
∴∠AOD＝90°，即AE⊥BD，故②正确．
(第9题)
9．如图，E是△ABC外一点，点D在BC边上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：BC＝DE．
【解】 ∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE．
∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC，
∴∠C＝∠E．
在△ABC和△ADE中，
∵
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
∴BC＝DE．
10．如图，线段AC与线段BD相交于点O，连结AB，BC，CD，∠A＝∠D，OA＝OD．求证：∠1＝∠2．
(第10题)
【解】 在△AOB和△DOC中，
∵
∴△AOB≌△DOC(ASA)，
∴AB＝DC，OB＝OC．
∴OA＋OC＝OD＋OB，即AC＝DB．
在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠1＝∠2．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作AE 的垂线CF，垂足为F，过点B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D．
(1)求证：AE＝CD．
(2)若AC＝12 cm，求BD的长．
(第11题)
【解】 (1)∵AF⊥DC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠EAC＋∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝90°，即∠DCA＋∠DCB＝90°，
∴∠EAC＝∠DCB．
∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°＝∠ECA．
在△ACE和△CBD中，
∵
∴△ACE≌△CBD(ASA)，
∴AE＝CD．
(2)∵△ACE≌△CBD，
∴CE＝BD．
∵E为BC的中点，∴CE＝BC，
∴BD＝BC＝AC＝6 cm．
数学乐园
(第12题)
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E．试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．
【解】 CE＝BD．理由如下：
(第12题解)
延长CE交BA的延长线于点F，如解图．
∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2．
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°．
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEF(ASA)，
∴CE＝FE＝CF．
∵∠1＋∠4＝∠3＋∠5＝90°，∠4＝∠5，
∴∠1＝∠3．
又∵∠BAD＝∠CAF＝90°，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAF(ASA)，∴BD＝CF，
∴CE＝CF＝BD．
1.5 三角形全等的判定（二）
A组
1．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点．若BC的长为8 cm，则△ADE的周长为(A)
,(第1题))
A． 8 cm B． 16 cm
C． 4 cm D． 不能确定
2．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC的度数为(A)
A． 60° B． 50°
C． 45° D． 30°
(第2题)
(第3题)
3．如图，AC＝DC，BC＝EC，请添加一个适当的条件：∠ACB＝∠DCE(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEC．
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，BE＝CF．若∠A＝40°，则∠DEF的度数为__70°__．
(第4题)
(第5题)
5．如图，AB，CD，EF相交于点O，且它们均被点O平分，则图中共有__3__对全等三角形．
(第6题)
6．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：AC∥DF．
【解】 ∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF．
∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF．
7．如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，E，F分别是BC，BD的中点，连结AE，AF．求证：AE＝AF．
(第7题)
【解】 ∵BC＝BD，E，F分别是BC，BD的中点，
∴BE＝BF．
在△ABE和△ABF中，∵
∴△ABE≌△ABF(SAS)，
∴AE＝AF．
B组
(第8题)
8．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是(C)
A． 6B． 2C． 1D． 无法确定
【解】 延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE．
∵AC＋CE＞AE，且易证CE＝AB，
∴AC＋AB＞2AD，∴AD＜7．
同理可得AB－AC＜2AD，∴AD＞1．
∴1＜AD＜7．
(第9题)
9．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连结BD．
(1)求证：△BAD≌△CAE．
(2)试猜想BD，CE有何特殊的位置关系，并证明．
【解】 (1)∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
(2)BD⊥CE．证明如下：
由(1)知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E．
∵∠DAE＝90°，∴∠E＋∠ADE＝90°，
∴∠ADB＋∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°．
∴BD⊥CE．
(第10题)
10．如图，已知在△ABC中，AB＞AC，BE，CF都是△ABC的高线，P是BE上一点，且BP＝AC，Q是CF延长线上的一点，且CQ＝AB，连结AP，AQ，QP．求证：
(1)AQ＝PA．
(2)AP⊥AQ．
【解】 (1)∵BE，CF是△ABC的高线，
∴BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABP＋∠BAC＝∠ACQ＋∠BAC＝90°，
∴∠ABP＝∠ACQ．
在△AQC和△PAB中，∵
∴△AQC≌△PAB(SAS)，∴AQ＝PA．
(2)∵△AQC≌△PAB，∴∠BAP＝∠CQA．
∵∠CQA＋∠BAQ＝90°，
∴∠BAP＋∠BAQ＝90°，∴AP⊥AQ．
数学乐园
(第11题)
11．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t(s)，当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
【解】 ∵AB＝CD，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，
∴△ABP≌△DCE或△BAP≌△DCE．
当△ABP≌△DCE时，BP＝CE＝2，
此时2t＝2，解得t＝1．
当△BAP≌△DCE时，AP＝CE＝2，
此时BC＋CD＋DP＝BC＋CD＋(DA－AP)＝6＋4＋(6－2)＝14，即2t＝14，解得t＝7．
∴当t＝1或7时，△ABP和△DCE全等．
1.5 三角形全等的判定（四）
A组
1．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是(A)
A． AC＝BD B． ∠CAB＝∠DBA
C． ∠C＝∠D D． BC＝AD
(第1题)
(第2题)
2．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C)
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是__3__．
(第3题)
(第4题)
4．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请添加一个适当的条件：∠A＝∠D(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEF．
(第5题)
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，D，E为垂足．求证：DE＋BE＝CE．
【解】 ∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝∠BCE＋∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
在△ADC和△CEB中，∵
∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD＝BE，
∴DE＋BE＝DE＋CD＝CE．
(第6题)
6．如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，∠A＝∠D，BE＝CF，且AB∥CD．求证：AF∥ED．
【解】 ∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，∴BF＝CE．
∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．
在△ABF和△DCE中，∵
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
∴∠AFB＝∠DEC，∴AF∥ED．
(第7题)
7．如图，AD是△ABC的中线，过点C，B分别作AD的垂线CF，BE，垂足分别为F，E．求证：BE＝CF．
【解】 ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠E＝∠CFD＝90°．
在△BED和△CFD中，
∵
∴△BED≌△CFD(AAS)，∴BE＝CF．
B组
(第8题)
8．如图，已知∠1＝∠2，AD＝CB，AC，BD交于点O，MN经过点O，则图中全等三角形有(C)
A． 4对 B． 5对
C． 6对 D． 7对
【解】 △AOM≌△CON，△MOD≌△NOB，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，共6对．
9．如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于(A)
(第9题)
A． 50 B． 62
C． 65 D． 68
【解】 ∵EF⊥AC，BG⊥AC，
∴∠EFA＝∠AGB＝90°，
∴∠FEA＋∠EAF＝90°．
∵EA⊥AB，∴∠EAB＝90°，
∴∠EAF＋∠GAB＝90°，∴∠FEA＝∠GAB．
又∵AE＝BA，∴△EFA≌△AGB(AAS)，
∴AF＝BG，EF＝AG．
同理，△BGC≌△CHD，
∴GC＝HD，BG＝CH．
∴FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16．
∴S＝×(6＋4)×16－×3×4×2－×6×3×2＝50．
(第10题)
10．如图，BC，AD分别垂直于OA，OB，垂足分别为C，D，BC和AD相交于点E，且OE平分∠AOB．求证：EA＝EB．
【解】 ∵OE平分∠AOB，
且BC⊥OA，AD⊥OB，
∴EC＝ED，∠ACE＝∠BDE＝90°．
在△ACE和△BDE中，∵
∴△ACE≌△BDE(ASA)，∴EA＝EB．
(第11题)
11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，且点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD．
【解】 在BC上截取BF＝AB，连结EF．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠FBE ，∠DCE＝∠FCE．
又∵BE＝BE，AB＝FB，
∴△ABE≌△FBE(SAS)，∴∠A＝∠BFE．
∵AB∥DC，∴∠A＋∠D＝180°．
∵∠BFE＋∠CFE＝180°，∴∠D＝∠CFE．
又∵∠DCE＝∠FCE，CE＝CE，
∴△DCE≌△FCE(AAS)，∴CD＝CF，
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD．
数学乐园
(第12题)
12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，D，E分别在BC，AB上，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．导学号：91354005
【解】 连结BF．
∵F是∠BAC与∠ACB的平分线的交点，
∴BF是∠ABC的平分线．
又∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，∠EMF＝∠DNF＝90°．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°．
易得∠ACE＝45°，
∴∠CEB＝∠BAC＋∠ACE＝75°．
∴∠NDF＝∠MEF＝75°．
在△DNF和△EMF中，∵
∴△DNF≌△EMF(AAS)，∴FE＝FD．
