第2章 有理数的运算单元测试试题（含解析）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
第二章有理数的运算单元测试
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，108 000用科学记数法表示为（　　）
A．0.10×106 B．1.08×105 C．0.11×106 D．1.1×105
2．小华和小丽最近都测量了自己的身高，小华量得自己的身高约1.6米，小丽量得自己的身高约1.60米，下列关于她俩身高的说法正确的是（　　）
A．小华和小丽一样高 B．小华比小丽高
C．小华比小丽矮 D．无法确定谁高
3．计算（﹣2）2005+3×（﹣2）2004的值为（　　）
A．﹣22004 B．22004 C．（﹣2）2005 D．5×22004
4．若a、b为有理数，且a4=b4成立，则a与b的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．相等或互为相反数
5．在﹣（﹣8），﹣|﹣7|，﹣|0|，这四个数中，负数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．设n（n≥2）个正整数a1，a2，a3…an，任意改变它们的顺序后，记作b1，b2，b3…bn，若P=（a1﹣b1）（a2﹣b2）（a3﹣b3）…（an﹣bn），则（　　）
A．P一定是奇数 B．P一定是偶数
C．当n是奇数时，P是偶数 D．当n是偶数时，P是奇数
7．若a，b互为相反数，e的绝对值为2，m，n互为倒数，则+e2﹣4mn的值为（　　）
A．1 B． C．0 D．无法确定
8．25表示的意义是（　　）
A．5个2相乘 B．5与2相乘 C．5个2相加 D．2个5相乘
9．某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%．则a的值为（　　）
A．8 B．6 C．3 D．2
10．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2 000应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（　　）
A．110 B．109 C．108 D．107
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．9位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余分数的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数，该运动员得9.4分，那么如果精确到两位小数，该运动员得分应当是　 　分．
12．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的2015年的“双11”网上促销活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为　 　．
13．观察算式：1+3=，1+3+5=，1+3+5+7=…
按规律填空：1+3+5+7+…+99=　 　．
14．若|m﹣2|+（n+1）2=0，则2m+n=　 　．
15．若“!”是一种数学运算符号，并且：1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1，…，则=　 　．
16．当（a﹣）2+2有最小值时，2a﹣3=　 　．
17．相反数是的数为　 　，平方等于本身的数为　 　，到数轴上表示﹣5的点距离为2的数为　 　．
18．从1，4，7……295，298（隔3的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有　 　个．
19．“家电下乡”农民得实惠．村民小郑购买一台双门冰箱，在扣除13%的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了1726.13元钱，那么他购买这台冰箱节省了　 　元钱．
20．阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a b=n，可以使：（a+c） b=n+c，a （b+c）=n﹣2c，如果1 1=2，那么2010 2010=　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（15分）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作a⑧读作“a的圈n次方”
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③=　 　，（﹣）④=　 　
（2）关于除方，下列说法错误的是　 　
A．任何非零数的圈3次方都等于它的偶数
B．对于任何正整数n⑧=1
C．3③=4③
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈　 　次方写成幂的形式等于　 　
（5）算一算：122÷（﹣）④×（﹣）③﹣（﹣）④÷34．
22．（5分）如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数只要“算一遍”；若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数需要“算两遍”，以此类推：
（1）当输入数为2时，输出的结果为　 　；
（2）当输入数为﹣1时，求输出的结果；
（3）当输入数为x时，该数需要算两遍，直接写出x的取值范围．
23．（6分）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
24．（8分）一张纸的厚度为 0.09mm（毫米），那么你的身高是纸的厚度的多少倍？将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么至少对折多少次后，所得的厚度可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．
25．（8分）我国约有9.6×106平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能相当于燃烧1.5×105吨煤所产生的能量
（1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤？（用科学记数法表示）
（2）若1吨煤大约可以发出8×103度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（用科学记数法表示）
26．（8分）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就
改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例．
（1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？
（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？
27．（10分）这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程．）
（3）你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗？为解决这个问题，我们先来看下面的解题过程：
用分数表示无限循环小数：．
解：设①．等式两边同时乘以10，得10x=②．
将②﹣①得：9x=2，则．∴
请参照以上解法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．解：108 000≈1.1×105．
故选：D．
2．解：因为都是近似数，则1.55≤1.6＜1.65，1.595≤1.60＜1.605，所以无法确定谁高．故选D．
3．解：原式=（﹣2）2004×（﹣2）+3×（﹣2）2004
=（﹣2）2004×（﹣2+3）
=（﹣2）2004×1
=22004．
故选：B．
4．解：∵a4=b4，
∴|a|=|b|．
故选：D．
5．解：∵﹣（﹣8）=8，﹣|﹣7|=﹣7，﹣|0|=0，=，
∴这四个数中，负数有1个，﹣|﹣7|=﹣7．
故选：A．
6．解：无论n是奇数偶数，可以假设an=bn，P=0为偶数，A、D不能选，
现在在B和C中选择，要让P为奇数，那么必须它的n个因式都是奇数，
也就是每个因式都是一个奇数与一个偶数的差，
因为b1，b2…bn都是an变来的，
所以原来如果是x个奇数与n﹣x个偶数的话，奇数与偶数的数目必须也是一样的，即x=n﹣x，n=2x为偶数，
也就是说，P若为奇数，n必须是偶数，可以推出，n为奇数，P必须为偶数．
所以B错，C正确．
故选：C．
7．解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∵e的绝对值为2，即|e|=2，
∴e2=4；
又∵m，n互为倒数，
∴mn=1，
∴+e2﹣4mn=+4﹣4=0．
故选：C．
8．解：25的意义就是5个2相乘．
故选：A．
9．解：把第一季度的销售额看作单位1；
则有56%×（1+23%）+（1﹣56%） （1﹣a%）=1+12%，
解可得：a=2；
故选：D．
10．解：∵每行的最后一个数是这个行的行数n的平方，
第n行的数字的个数是 2n﹣1，
∵442=1936，
所以2000在第45行，
∵452=2025，
∴45行最后一个数字是2025，
第45行有2×45﹣1=89个数字，第一个数字是2025﹣89+1=1937，进而得出2000是第64个数据，
∴m=45，n=64，
∴m+n=109．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．解：用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到9.4的数值范围是：（大于等于9.35和小于9.45之间）
∴9个裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是7个人的分数．
∴该运动员的有效总得分在大于或等于9.35×7=65.45分和小于9.45×7=66.15之间．
∵每个裁判给的分数都是整数，
∴得分总和也是整数，
在65.45和66.15之间只有66是整数，
∴该运动员的有效总得分是66分．
∴得分为：66÷7≈9.4286，
精确到两位小数就是9.43．
12．解：67 000 000 000=6.7×1010，
故答案为：6.7×1010．
13．解：1+3+5+7+…+99==2500．
14．解：根据题意得，m﹣2=0，n+1=0，
解得m=2，n=﹣1，
所以，2m+n=3．
故答案为：3．
15．解：∵100！=100×99×98×97×…×1，98！=98×97×…×1．
∴==100×99=9900．
16．解：∵（a﹣）2+2有最小值，
∴（a﹣）2最小，
∴当a=时原式取到最小值，
当a=时，2a﹣3=1﹣3=﹣2．
故答案为：﹣2．
17．解：相反数是的数为﹣，平方等于本身的数为1和0，到数轴上表示﹣5的点距离为2的数为﹣3和﹣7．
故答案为：﹣；1和0；﹣3和﹣7．
18．解：1+4=5，
295+298=593，
和是隔3的自然数，
n=（593﹣5）÷3+1=588÷3+1=197．
故答案为：197．
19．解：根据题意可知：他购买这台冰箱节省的钱=（1726.13+100）÷（1﹣13%）﹣1726.13=372.87元．
20．解：由题意可得：
2010 2010=（1+2009） 2010
=1 2010+2009
=1 （1+2009）+2009
=1 1﹣2×2009+2009
=2﹣2009
=﹣2007．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：【概念学习】
（1）2③=2÷2÷2=，
（﹣）④=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1÷（﹣）÷（﹣）=（﹣2）÷（﹣）=4；
（2）A、任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； 所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1 都等于1； 所以选项B正确；
C、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，则 3④≠4③； 所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，故选AC；
【深入思考】
（4）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于a×（）；
（5）算一算：122÷（﹣）④×（﹣）③﹣（﹣）④÷34
=144÷[（﹣）×（﹣3）3]×[（﹣2）×（﹣）4]﹣[（﹣）×（﹣3）5]÷33
=144÷9×（﹣）3﹣（﹣3）4÷33
=16×（﹣）﹣3
=﹣2﹣3
=﹣5．
故答案为：，4；AC；n，a×（）．
22．解：（1）依题意有
2+4﹣（﹣3）﹣5=4．
故答案为：4；
（2）依题意有
﹣1+4﹣（﹣3）﹣5=1，
1+4﹣（﹣3）﹣5=3．
故输出的结果是3；
（3）依题意有
x+4﹣（﹣3）﹣5=x+2≤2，
解得x≤0，
x+2+4﹣（﹣3）﹣5=x+4＞2，
解得x＞﹣2．
故x的取值范围是﹣2＜x≤0．
23．解：（1）2+3+4=9，
9﹣6﹣4=﹣1，
9﹣6﹣2=1，
9﹣2﹣7=0，
9﹣4﹣0=5，
如图所示：
（2）﹣3+1﹣4=﹣6，
﹣6+1﹣（﹣3）=﹣2，
﹣2+1+4=3，
如图所示：
x=3﹣4﹣（﹣6）=5，
y=3﹣1﹣（﹣6）=8，
x+y=5+8=13．
24．解：1.62米=1620毫米，1620÷0.09=18000
∵折一次是这张纸的21，折两次就是这张纸的22，折三次就是这张纸的23，
∴这张纸连续对折8次时就是28，
又∵一张纸的厚度为0.09mm，
∴连续对折8次时这张纸的厚度是：0.09×28=0.09×256，
=23.04mm．
设对折n次后纸的厚度超过1.62m=1620mm，
则0.09×2n＞1620，
解得2n＞18000．
而214＜18000＜215，
因而n最小值是15．即至少对折15次后，所得的厚度可以超过你的身高．
25．解：（1）（9.6×106）×（1.5×105）
=（9.6×1.5）×（106×105）
=1.44×1012（吨）．
答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×1012吨煤．
（2）（1.44×1012）×（8×103）
=（1.44×8）×（1012×103）
=1.152×1016（度）．
答：（1）中的煤大约发出1.152×1016度电．
　
26．解：（1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7﹣5=2个手指，右手应伸出8﹣5=3个手指；
（2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a﹣5）个手指，未伸出的手指数为5﹣（a﹣5）=10﹣a；右手应伸出（b﹣5）个手指，未伸出的手指数为5﹣（b﹣5）=10﹣b
两手伸出的手指数的和为（a﹣5）+（b﹣5）=a+b﹣10，
未伸出的手指数的积为（10﹣a）×（10﹣b）=100﹣10a﹣10b+a×b
根据题中的规则，a×b的结果为10×（a+b﹣10）+（100﹣10a﹣10b+a×b）
而10×（a+b﹣10）+（100﹣10a﹣10b+a×b）=10a+10b﹣100+100﹣10a﹣10b+a×b=a×b
所以用题中给出的规则计算a×b是正确的．
27．解：（1）第64个格子，应该底数是2，指数63，所以为263；
（2）∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32…
∵63÷4=15…3，
∴263的末位数字与23的末位数字相同，是8；
（3）设x=1+2+22+…+263①．
等式两边同时乘以2，得2x=2+22+23+…+264②
②﹣①，得x=264﹣1．
答：国王输给阿基米德的米粒数为264﹣1．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)