课题学习 问题解决的基本步骤
知识点1 方案选择问题
1．一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A是每月月租费58元，通话时间不超过160分钟的部分免费，超出160分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月月租费88元，通话时间不超过250分钟的部分免费，超过250分钟的按每分钟0.20元加收通话费．现设通话时间为x分钟．
(1)当通话时间超过160分钟时，请用含x的代数式表示采用计费方法A所需的费用；
(2)当通话时间超过250分钟时，请用含x的代数式表示采用计费方法B所需的费用；
(3)用计费方法A的用户一个月累计通话360分钟，在所需费用不变的条件下，若改用计费方法B，则可通话多少分钟？
2．为了开展阳光体育活动，七年级二班计划买一些乒乓球和乒乓球拍．体育委员到商店了解到的情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元．经洽谈后，甲商店给出的优惠是每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙商店给出的优惠是全部按定价的9折出售．该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不少于5盒)．
(1)当购买乒乓球多少盒时，从甲、乙两家商店购买付款一样？
(2)当购买15盒乒乓球时，去哪家商店购买较合算？
知识点2 分段计费问题
3．为增强居民节约用水的意识，深圳市在2011年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表：
一户居民一个月
用水量记为x立方米
水费价格
(单位：元/米3)
x≤22
a
当x>22时，超出22立方米的部分
a＋1.1
某户居民四月份用水10立方米时，缴纳水费23元．
(1)求a的值；
(2)若该户居民五月份所缴水费为71元，求该户居民五月份的用水量．
4．某市按以下规定收取煤气费：所用煤气如果不超过60立方米按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户12月份的煤气费平均每立方米是0.96元，那么该用户12月份煤气用了多少立方米？
5．某商场要印制商品宣传材料，经了解，甲、乙两厂的收费标准如下：
甲印刷厂：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；
乙印刷厂：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．
现印制x份材料．
(1)求分别在甲、乙两个印刷厂印制所需的费用(结果用含x的代数式表示)；
(2)印制800份商品宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？
(3)印制多少份商品宣传材料时，两家印刷厂收费相同？
(4)该商场计划花费3000元用于印制商品宣传材料，在哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？
6．某同学在A，B两家商场都发现了他看中的一种运动服和运动鞋，两家商场的运动服和运动鞋的单价都是相同的，运动服和运动鞋的单价之和是542元，且运动服是运动鞋单价的4倍少8元．
(1)求该同学看中的运动服和运动鞋各多少元；
(2)某一天该同学上街，恰好赶上商场促销，A商场所有商品打八折销售，B商场全场每满100元返购物券30元(不足100元不返券，购物券全场通用)．如果他只在一家商场买看中的两样商品，请你判断他在哪一家购物更省钱，并说明理由．
7．近年来，我市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度，享受医保的农民可在规定的医院就医并按规定报销部分医疗费用．下表是住院医疗费用报销的标准：
医疗费用
的范围
0元到5000
元的部分
超过5000元到
20000元的部分
超过20000
元的部分
每年报销
比例标准
30%
40%
50%
(1)设某农民在一年中住院的实际医疗费用为x元，当5000(2)若该农民一年内本人自付住院医疗费用为17000元，则该农民当年实际医疗费用为多少元？(提示：自付医疗费用＝实际医疗费用－按标准报销的费用)
详解详析
1．解：(1)58＋0.25(x－160)＝(0.25x＋18)元．
(2)88＋0.20(x－250)＝(0.20x＋38)元．
(3)由题意得0.20x＋38＝0.25×360＋18，
解得x＝350.
答：若改用计费方法B，则可通话350分钟．
2．解：(1)设购买x盒乒乓球时，从甲、乙两家商店购买付款一样，则在甲商店需付款30×5＋(x－5)×5＝(5x＋125)元；在乙商店需付款(30×5＋5x)×0.9＝(135＋4.5x)元．
由题意，得5x＋125＝135＋4.5x，
解得x＝20.
答：当购买乒乓球20盒时，从甲、乙两家商店购买付款一样．
(2)当购买15盒乒乓球时，在甲商店需付款5×15＋125＝200(元)；
在乙商店需付款135＋4.5×15＝202.5(元)．
因为200＜202.5，
所以当购买15盒乒乓球时，去甲店购买较合算．
3．解：(1)由题意，得10a＝23，解得a＝2.3.
答：a的值为2.3.
(2)设该用户五月份的用水量为x立方米，
∵用水22立方米时，水费为22×2.3＝50.6(元)＜71元，∴x＞22，
∴22×2.3＋(x－22)×(2.3＋1.1)＝71，
解得x＝28.
答：该户居民五月份的用水量为28立方米．
4．解：设该用户12月份煤气用了x立方米，由题意知该用户12月份所用煤气超过了60立方米，则
60×0.8＋1.2(x－60)＝0.96x.
解得x＝100.
答：该用户12月份煤气用了100立方米．
5．解：(1)在甲印刷厂印制所需的费用是(1500＋x)元，在乙印刷厂印制所需的费用是2.5x元．
(2)当x＝800时，
1500＋x＝1500＋800＝2300，
2．5x＝2.5×800＝2000.
∵2300＞2000，
∴选择乙印刷厂比较合算．
(3)由题意，得1500＋x＝2.5x，解得x＝1000.
答：当印制1000份商品宣传材料时，两家印刷厂收费相同．
(4)由题意，得1500＋x＝3000，解得x＝1500；
2．5x＝3000，解得x＝1200.
∵1500＞1200，
∴在甲印刷厂印制宣传材料多一些．
6．解：(1)设该同学看中的运动鞋x元，则运动服(4x－8)元，根据题意，得
x＋4x－8＝542，解得x＝110.
4x－8＝432.
答：该同学看中的运动服432元，运动鞋110元．
(2)他在B商场购物更省钱．
理由：∵A商场所有商品打八折销售，
∴在A商场所付金额为542×0.8＝433.6(元)．
∵B商场全场满100元返购物券30元(不足100元不返券，购物券全场通用)，
∴先购买运动服花432元，赠购物券120元，则买运动鞋不用花钱，
故在B商场所付金额为432元．
∵433.6＞432，∴他在B商场购物更省钱．
7．解：(1)(0.4x－500)
(2)若当年实际医疗费用是20000元，则按标准报销的费用为5000×30%＋(20000－5000)×40%＝7500(元)，
所以该农民当年实际医疗费用多于20000元．
设该农民当年实际医疗费用为z元，
则由题意可得z－17000＝5000×30%＋15000×40%＋(z－20000)×50%.
解得z＝29000.
答：该农民当年实际医疗费用为29000元．
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一、选择题
1．足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看做正五边形，白皮可看做正六边形，黑、白皮块的数目比为3∶5，求黑皮、白皮的块数．若设黑皮的块数为x，则列出的方程正确的是( )
A．3x＝32－x B．3x＝5(32－x)
C．5x＝3(32－x) D．6x＝32－x
2．A，B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是( )
A．2或2.5 B．2或10
C．10或12.5 D．2或12.5
二、填空题
3．某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20 m3，则每立方米收费2元；若每户每月用水超过20 m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水________m3.
4．2017?遵义 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图K－36－1)，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，那么剩余四两；如果每人分九两，那么还差八两，请问：所分的银子共有________两．(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)
图K－36－1
三、解答题
5．某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不少于5盒)．
(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
(2)当购买20盒、40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？
6．有一个允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36人等待通过(假定先到先过，王老师过道口的时间忽略不计)，通过道口后，还需7分钟到达学校．
(1)此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
(2)若在交警的维持下，几分钟后，秩序恢复正常(维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口)，结果王老师比拥挤情况下提前6分钟通过道口，则维持秩序的时间是多少？
7 方案设计 有一项修建公路的任务，若由甲工程队单独修需3个月完成，每月耗资12万元；若由乙工程队单独修需6个月完成，每月耗资5万元．
(1)甲、乙两工程队合做修建需几个月完成？共耗资多少万元？
(2)若要求最迟4个月完成修建任务，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度地节省资金(时间按整月计算)．
1．[答案] C
2．[解析] A (1)当甲、乙两车未相遇时，
根据题意，得120t＋80t＝450－50，
解得 t＝2；
(2)当两车相遇后，两车又相距50千米时，
根据题意，得120t＋80t＝450＋50，
解得 t＝2.5.
故选A.
3．[答案] 28
4．[答案] 46
[解析] 设有x人，依题意有7x＋4＝9x－8，
解得x＝6，
则7x＋4＝42＋4＝46.
故所分的银子共有46两．
5．解：(1)设该班购买乒乓球x盒，则
在甲店需花费100×5＋(x－5)×25＝(25x＋375)元，
在乙店需花费0.9×100×5＋0.9x×25＝(22.5x＋450)元，
当两种优惠办法付款一样时，
25x＋375＝22.5x＋450，
解得x＝30.
答：当购买30盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样．
(2)购买20盒乒乓球时，在甲店需花费25×20＋375＝875(元)，
在乙店需花费22.5×20＋450＝900(元)，故去甲店购买更合算；
购买40盒乒乓球时，在甲店需花费25×40＋375＝1375(元)，
在乙店需花费22.5×40＋450＝1350(元)，故去乙店购买更合算．
6．解：(1)∵＋7＝19(分钟)＞15分，
∴王老师应选择绕道去学校．
(2)设维持秩序的时间为t分钟，
依题意得－＝6，
解得t＝3.
答：维持秩序的时间是3分钟．
7 解：(1)设甲、乙两工程队合做修建需x个月完成，依题意得
x＝1，
解得x＝2.
(12＋5)×2＝34(万元)．
答：甲、乙两工程队合做修建需2个月完成，共耗资34万元．
(2)根据题意，有如下三种方案：
方案一：由甲工程队单独修建3个月完成任务，耗资12×3＝36(万元)．
方案二：由甲、乙两工程队合做修建2个月完成任务，耗资34万元．
方案三：由甲、乙两工程队合做修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成任务，
设甲、乙合做y个月，剩下的由乙来完成，
依题意得y＋＝1，
解得y＝1.
此时耗资1×12＋5×4＝32(万元)．
因为32＜34＜36，
故甲、乙合做1个月，剩下的由乙来做3个月，既保证按时完成任务，又最大限度地节省资金．
