3．1 平方根
1．平方根：
定义：如果____________，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
记法：一个正数a的平方根用____________表示，读做____________，其中a叫做被开方数．
2．平方根的性质：
(1)一个正数有正、负两个平方根，它们____________．
(2)零的平方根是____________．
(3)负数____________平方根．
3．开平方：求____________的运算叫做开平方．
4．算术平方根：
定义：正数的____________平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0.
记法：一个数a____________的算术平方根记做____________．
A组 基础训练
1．下列各数中，没有平方根的数是( )
A．0 B. C．(－3)2 D．－|－3|
2．(湖州中考)4的算术平方根是( )
A．±2 B．2 C．－2 D.
3．下列计算正确的是( )
A.＝±4 B．－＝－3 C.＝－ D．－22＝4
4．下列说法正确的是( )
A．16的平方根是4
B．－4是16的一个平方根
C．－9的算术平方根是－3
D．(－2)2的平方根是－2
5．计算＋的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6.的平方根是____________，算术平方根是____________．
7．如果某数的一个平方根是－6，那么这个数是____________．
8．－1是____________的平方根，1的平方根是____________．
9．(1)算术平方根等于它本身的数是____________．
(2)平方根等于它本身的数是____________．
(3)的平方根是____________．
(4)＝____________.
(5)|－9|的平方根是____________．
(6)的算术平方根是____________．
(7)的平方根是____________．
10．计算：－＝____________；＝____________.
11．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)±.
12．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，试说明理由．
(1)2.25；
(2)(－5)2；
(3)－0.49.
13．例：试比较4与的大小．
解：∵42＝16，()2＝17，
又∵16<17，
∴4<.
请你参照上面的例子比较下列各数的大小．
(1)8与；
(2)1.8与；
(3)－5与－.
14．有一个面积为6400m2的广场，计划用10000块正方形大理石铺设．求所需正方形大理石每块的周长．
B组 自主提高
15．(1)一个自然数的算术平方根为m，则下一个自然数的平方根是____________．
(2)对于两个不相等的有理数a，b，定义一种新的运算如下：a*b＝(a＋b>0)，例如，3*2＝＝，则6*(5*4)的值是____________．
16．若数a满足|2015－a|＋＝a，求a－20152的值．
C组 综合运用
17．先填写下表，通过观察后再回答问题.
a
…
0.000001
0.0001
0.01
1
…
a
100
10000
1000000
…
…
…
…
(1)被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律；
(2)已知＝1800，－＝－1.8，你能求出a的值吗？
参考答案
3．1 平方根
【课堂笔记】
1．一个数的平方等于a ± 正、负根号a 2.(1)互为相反数 (2)零 (3)没有 3.一个数的平方根 4.正 (a≥0)
【分层训练】
1．D 2.B 3.B 4.B 5.B 6．± 7．36 8．1 ±1
9．(1)0或1 (2)0 (3)± (4)34 (5)±3 (6) (7)±3
10．－0.7 5 11．(1)12 (2)25 (3)±
12．(1)有，±1.5. (2)有，±5. (3)无平方根，理由略．
13．(1)8＜ (2)1.8＞ (3)－5＜－
14．4×＝3.2m.
15．(1)± (2)1
16．由题意得，a－2016≥0，∴a≥2016，
∴2015－a<0，∴|2015－a|＝a－2015.
∵|2015－a|＋＝a，
∴a－2015＋＝a，
∴＝2015，
∴a－2016＝20152，
∴a－20152＝2016.
17．填表略；(1)有规律，被开方数的小数点每向左(右)移动2位，算术平方根的小数点向左(右)移动1位； (2)a＝3240000.
3．2 实数
1．实数的概念：
无理数：____________叫做无理数．
实数：____________和____________统称为实数．
2．实数的分类：
按定义分类：实数
按大小分类：实数
3．实数与数轴上的点的关系：
关系：在实数范围内，每一个数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点____________．
大小比较：在数轴上表示的两个实数，____________.
A组 基础训练
1．与最接近的整数是( )
A．0 B．2 C．4 D．5
2．下列判断正确的是( )
A.<<2 B．2<＋<3 C．1<－<2 D．4<<5
3．估计20的算术平方根的大小在( )
A．2与3之间 B．3与4之间
C．4与5之间 D．5与6之间
4．实数－，－2，－3的大小关系是( )
A．－＜－3＜－2 B．－3＜－2＜－
C．－2＜－＜－3 D．－3＜－＜－2
5．写出一个比－3大的无理数________________．
6．有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数，带根号的数都是无理数；③是分数；④负数没有平方根；⑤无限小数都是无理数，无理数都是无限小数；⑥－2是4的平方根．其中正确的是____________．
7．(1)－的相反数是____________，倒数是____________．
(2)绝对值为的数为____________；－的绝对值是____________．
(3)－3的相反数是____________，绝对值是____________．
(4)比较大小：2____________；－____________－3；－____________0；____________.
(5)比－小的最大整数是____________，比－大的最小整数是____________．
(6)绝对值小于的整数共有____________个，它们的和是____________，积是____________．
8．已知下列实数：①；②－；③；④3.14；⑤；⑥；⑦3.1415926；⑧1.23；⑨2.020020002…(相邻两个2之间依次多一个0)．
属于有理数的有：____________；
属于无理数的有：____________.(填序号)
9．已知m，n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m＋n＝____________.
10．(1)在数轴上表示－的点与原点的距离等于____________．
(2)在数轴上，到原点的距离为个单位的点表示的数是____________．
(3)如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有____________个．
(4)如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则|x－|的值是____________．
第10题图
11．在数轴上画出表示下列各数的点，并用”<”连接．
2，，0，－，－2，0.5.
12．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，已知点A表示－，设点B所表示的数为m.
第12题图
(1)求m的值；
(2)求|m－1|＋|m＋2|的值．
13．一个长方体木箱，它的底面是正方形，木箱高1.25m，体积是11.25m3，求这个木箱底面的边长．
B组 自主提高
14．如图，以数轴的单位长度为边长画正方形，以正方形的对角线为半径，－1所在的点为圆心画弧，交数轴于点A，则点A表示的数为( )
第14题图
A. B．1－ C.－1 D.＋1
15．如图为4×4网格与数轴．
(1)求出阴影部分的面积；
(2)求出阴影部分正方形的边长；
(3)在数轴上作出表示的点．
第15题图
16.先阅读下面实例，再回答问题：
∵＝且1＜＜2，∴的整数部分是1.
∵＝且2＜＜3，∴的整数部分是2.
∵＝且3＜＜4，∴的整数部分是3.
回答：
(1)的整数部分是多少？
(2)(n为正整数)的整数部分是多少？
C组 综合运用
17．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数，如不能表示为互质整数的商，所以是无理数．可以这样证明：设＝，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2＝，∴a2＝2b2.∵b是整数且不为0，∴a是不为0的偶数．设a＝2n(n为整数)，则b2＝2n2，∴b也是偶数，这与a，b是互质的整数矛盾，∴是无理数．
仔细阅读上文，然后证明是无理数．
参考答案
3．2 实数
【课堂笔记】
1．无限不循环小数 有理数 无理数
2．无理数 正 负 3.一一对应 右边的数总比左边的数大
【分层训练】
1．B 2.A 3.C 4.D 5．如－，答案不唯一 6．①④⑥
7．(1) － (2)± (3)－＋3 3－ (4)> < < > (5)－5 －4 (6)9 0 0 8．①②④⑥⑦⑧ ③⑤⑨ 9．7 10．(1) (2)± (3)4 (4)2－2
11．数轴略 －2＜－＜0＜0.5＜2＜ 12．(1)m＝2－.
(2)|m－1|＋|m＋2|
＝|2－－1|＋|2－＋2|
＝|1－|＋|2＋|
＝－1＋2＋
＝2＋1.
13.＝3m. 14．C 15．(1)8 (2)2
(3)如图：
第15题图
16．(1)2017；
(2)n.理由：∵＝(n为正整数)，而＜＜，∴n＜＜n＋1.∴的整数部分为n.
17．设＝，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝，∴a2＝5b2.∵b是整数且不为0，∴a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n为整数)，则b2＝5n2，∴b也是5的倍数，这与a，b是互质的整数矛盾，∴是无理数．
3.3 立方根
1．立方根：
定义：一般地，____________，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．
记法：a的立方根用””表示，读做”三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．
2．开立方：求一个数的____________的运算，叫做开立方．
3．立方根的性质：
(1)一个正数有一个____________的立方根，一个负数有一个____________的立方根，零的立方根是____________．
(2)立方根等于它本身的数有____________．
A组 基础训练
1．下列各式成立的是( )
A.＝－1 B.＝±1
C.＝－1 D.＝±1
2．立方根是－0.2的数是( )
A．0.8 B．0.08 C．－0.8 D．－0.008
3．下列各式：＝，＝0.1，－＝3，＝0.1，－＝27，＝±.其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列说法中：①每个正数都有两个立方根；②平方根是它本身的数有1，0；③立方根是它本身的数有±1，0；④如果一个数的平方根等于它的立方根，那么这个数是1或0；⑤没有平方根的数也没有立方根；⑥算术平方根是它本身的数有1，0.其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．(1)一个正方体的体积是216cm3，则这个正方体的棱长是____________cm；
(2)表示____________的立方根；
(3)的平方根是____________．
6．(1)1的平方根为____________，立方根为____________，算术平方根为____________．
(2)立方根是其本身的数是____________．
(3)的立方根是____________；－的立方根为____________．
(4)的平方根为____________．
7．计算：(1)＝____________；＝____________；＝________；＝____________；()3＝____________.
(2)－－＝____________；＋＝____________.
8．(1)若一个数的平方根为±8，则这个数的立方根为____________．
(2)若x3＝1000，则x＝____________；若x3＝－216，则x＝____________；若x＝－(－9)3，则x＝____________.
(3)若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则＋＝____________.
9．(1)若＋＝0，则x＋y＝____________.
(2)已知一个有理数的平方根和立方根相同，则这个数是____________．
(3)若a是169的算术平方根，b是－125的立方根，则a＋b＝____________.
10．计算：
(1)－；
(2)＋；
(3)＋－；
(4)－.
11．现有一个体积为125cm3的木块，将它锯成同样大小的8块小正方体，求每个小正方体木块的表面积．
12．如果一个球的体积为原来的8倍，那么它的半径为原来的多少倍？如果一个球的体积变为原来的27倍，那么它的半径变为原来的多少倍？(球的体积公式为V＝πr3)
B组 自主提高
13．(1)若的值为最大的负整数，则a的值是____________．
(2)若x2＝64，则＝____________.
14．(1)已知＝3，＝30，＝0.3，则＝____________；
(2)已知＝4，＝40，＝0.4，则＝____________；
(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向____________移动____________位；
(4)如果＝a，则＝____________，＝____________.
C组 综合运用
15．阅读下面的材料，并解答下列各题．
如果xn＝a(n为大于1的整数)，
那么x叫做a的n次方根．例如：
∵24＝16，(－2)4＝16，
∴16的四次方根有两个，分别是2和－2.
又如：
∵(－3)5＝－243，35≠－243，
∴－243的五次方根只有一个，是－3.
仿照上述解题过程，求：
(1)64的六次方根；
(2)－1的七次方根．
参考答案
3．3 立方根
【课堂笔记】
1．一个数的立方等于a 2.立方根
3．(1)正 负 零 (2)±1和0
【分层训练】
1．C 2.D 3.C 4.A
5．(1)6 (2)9 (3)±2
6．(1)±1 1 1 (2)±1，0 (3)1 －2 (4)±2
7．(1) －6 － 0.4 π (2)－2 0
8．(1)4 (2)10 －6 729 (3)1
9．(1)0 (2)0 (3)8
10．(1)－ (2)6 (3)1 (4)
11.＝cm，6×()2＝37.5cm2.
12．体积为原来的8倍时，半径为原来的2倍；体积为原来的27倍时，半径为原来的3倍．
13．(1)±4 (2)±2
14．(1)300 0.04 (3)左(或右) 1
(4)10a
15．(1)∵26＝64，(－2)6＝64，
∴64的六次方根为±2.
(2)∵(－1)7＝－1，17≠－1，
∴－1的七次方根是－1.
3.4 实数的运算
1．实数的运算法则：____________的运算律和运算法则在实数范围内仍适用．
2．实数的运算顺序：先算____________，再算乘除，最后算____________；如果遇到括号，则先进行____________的运算．
3．近似计算时按题目要求将用计算器算得的结果取____________．
A组 基础训练
1．下列说法中，正确的个数有( )
①两个无理数的和是无理数；②两个无理数的积是有理数；③无理数与有理数的和是无理数；④有理数除以无理数的商是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列运算中，正确的有( )
①－＝－；②＝±4；
③＝＋＝；④＝－＝－3.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．不小于4×的最小整数是( )
A．4 B．10 C．9 D．8
4．一个底面是正方形的水池，容积是11.52m3，池深2m，则水池底边长是( )
A．9.25m B．13.52m C．2.4m D．4.2m
5．用计算器计算(结果精确到0.01)
(1)≈____________；
(2)±≈____________；
(3)－≈____________.
6．计算下列各式：|1－|＝____________；－(－1)2＝____________；＋()2＝____________；－|－2|＝____________；－＝____________；7－8×(2－)＝____________.
7．(1)若a<－1，化简a＋|a＋1|＝____________；(2)＋＝____________；
(3)将，，这三个数按从小到大的顺序用”<”连接起来：____________；
(4)如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为，则输出的数值为____________；
―→―→―→
第7题图
(5)已知－18．某数的立方的一半等于－，求这个数．
9．计算：
(1)－＋－(－)2；
(2)2×[9－2×(－2)]；
(3)(－1)2＋|2－|－＋；
(4)2÷－(－1)2017＋|－2|.
10．已知一个立方体的棱长为6cm，再做一个立方体，使它的体积是原立方体的4倍，求所做立方体的棱长(精确到0.1cm)．
11．跳伞运动员跳离飞机，在未打开降落伞前，下降的高度d(m)与下降的时间t(s)之间有关系式t＝(不计空气阻力，结果精确到0.01s)．
(1)请完成下表：
下降高度d(m)
100
200
500
1000
下降时间t(s)
(2)如果共下降1000m，那么前一个500m与后一个500m所用的时间分别是多少？
B组 自主提高
12．(1)写出两个无理数，使它们的和为5：____________.
(2)对于实数a，b，给出以下三个判断：①若|a|＝|b|，则＝；②若|a|<|b|，则a(3)如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，则这四个点中最适合表示的点是____________．
第12题图
13．观察：＝＝＝2，
即＝2；
＝＝＝3，
即＝3.
请你猜想等于什么？并通过计算验证你的猜想．
C组 综合运用
14．小明是一位善于思考，勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根，比如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数i，使i2＝－1，那么(－i)2＝－1，因此－1就有两个平方根了．进一步，小明想：因为(±2i)2＝－4，所以－4的平方根就是±2i；因为(±3i)2＝－9，所以－9的平方根就是±3i.
请你根据上面的信息解答下列问题：
(1)求－16，－25的平方根；
(2)求i3，i4，i5，i6，i7，i8，…的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用式子表示出来．
参考答案
3．4 实数的运算
【课堂笔记】
1．有理数 2.乘方和开方 加减 括号里 3.近似值
【分层训练】
1．A 2.A 3.B 4.C 5．(1)177.20 (2)±0.79 (3)－0.08
6.－1 4 6 1 11 －9＋8
7．(1)－1 (2)－ (3)<< (4)2 (5)－>>－x>x2
8．由x3＝－×2，得x＝－.
9．(1)－ (2)26－4 (3)原式＝1＋2－－3＋2＝. (4)原式＝2－(－1)＋2－＝5－. 10．9.5cm 11．(1)4.47 6.32 10.00 14.14 (2)10.00s 4.14s
12．(1)答案不唯一：如－和＋5 (2)③ (3)P
13.＝5；验证：＝＝＝5.
14．(1)∵(±4i)2＝－16，∴±＝±4i，即－16的平方根是±4i.
∵(±5i)2＝－25，∴±＝±5i，即－25的平方根是±5i.
(2)i3＝i2·i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，
i5＝i4·i＝i，i6＝i5·i＝i2＝－1，
i7＝i6·i＝－i，i8＝i7·i＝1，…；
规律：i的n次方(n为正整数)的值每四个一循环，即i，－1，－i，1.
