21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 二次函数的性质
学习目标1．从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质．2．了解二次函数与二次方程的相互关系．3．探索二次函数的变化规律， 掌握函数的最 大值(或最小值 ) 及函数的增减性的概念，会求二次函数的最值， 并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性．
学习过程
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象有哪些性质？
根据函数图象填空：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是_______________，对称轴是____________，在_________侧，即_____时，随着的增大而增大；在_________侧，即_____时，随着的增大而减小．当______时，函数最大值是__________．当____时，．
根据函数图象填空：抛物线y＝2x2的顶点坐标是__________，对称轴是_____________，在________侧，即______时，随着的增大而减小；在_________侧，即______时，随着的增大而增大．当______时，函数最小值是__________．当____时，．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
条件 图象 增减性 最大(小)值
【例】已知函数y＝x2－2x－3．写出函数图象的顶点、对称轴，以及图象与坐标轴的交点，然后画出函数图象的草图；求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积；根据第题的图象草图，说出取哪些值时，①；②；③．
【练一练】已知函数y＝－x2－3x＋4． 写出函数图象的顶点、对称轴，以及图象与坐标轴的交点，然后画出函数图象的草图；求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积；根据第题的图象草图，说出取哪些值时， ①；②；③．
【再练一练】请快速画出以下二次函数的草图y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2．归纳
1、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：(1) a＋b＋c＜0；(2) a－b＋c＞0；(3) abc＞0；(4)b＝2a．其中正确的结论的个数是（ ） 个 个 个 个
2、二次函数y＝x2＋bx＋8的图象顶点在轴的负半轴上，那么等于多少？
作业题
1．已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6．(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象．(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ 何时y随x的增大而减小？并求函数的最大值或最小值．
2．求下列函数的最大值(或最小值)和对应的自变量的值．(1)y＝x2－4x＋5；(2)y＝－x2－x＋2．
3．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则（ ）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
4．求下列二次函数的图象与x轴交点的坐标．(1)y＝x2－6x，；(2)y＝－2x2－3x＋2．
5．根据下列条件，分别求二次函数的表达式．(1)已知图象的顶点坐标为(－1，－8)且过点(0，－6)．(2)已知图象经过(3，0)，(2，－3)，并以直线 x＝0为对称轴．
6．篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分(如图)，抛物线的对称轴为直线x＝2.5．求：(1)球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围．(2)球在运动中离地面的最大高度．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共18张PPT)
二次函数的性质
1.3 二次函数的性质
教学目标
1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.
2. 了解二次函数与二次方程的相互关系.
3. 探索二次函数的变化规律， 掌握函数的最 大值（或最小值 ） 及函数的增减性的概念，会求二次函数的最值， 并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性.
重点与难点
本节教学的重点是二次函数的最大值、 最小值及增减性的理解和求法．
本节范例是二次函数的性质的应用， 比较复杂，是本节教学的难点．
二次函数的图象有哪些性质？
最值？
增减性？
抛物线的形状,大小,开口方向完全由来决定.
二次函数的图象是一条抛物线.
根据函数图象填空：
抛物线的顶点坐标是________,对称轴是____________，
在_________侧，即_____时, 随着的增大而增大；在_________侧，即_____时，随着的增大而减小．当______时，函数最大值是____．当____时，．
(0,0)
直线
轴右
轴左
根据函数图象填空：
抛物线的顶点坐标是________,对称轴是_____________，
在________侧，即______时, 随着的增大而减小；在_________侧，即______时，随着的增大而增大．当______时，函数最小值是____．当____时，．
直线
轴右
轴左
函数基本性质回顾
二次函数的图象是一条抛物线
它的对称轴是直线，顶点坐标是．
当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点．
当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点．
二次函数的图象和性质
条件 图象 增减性 最大(小)值
当时，
随的增大而减小；
当时，
随的增大而减小．
当时，
随的增大而增大．
当时，
随的增大而增大；
当时，
达到最小值：．
无最大值.
当时，
达到最大值：．
无最小值.
【例】已知函数．
写出函数图象的顶点、对称轴，以及图象与坐标轴的交点，然后画出函数图象的草图；
求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积；
根据第题的图象草图，说出取哪些值时，
①；②；③．
【例】已知函数．
写出函数图象的顶点、对称轴，以及图象与坐标轴的交点，然后画出函数图象的草图；
解：∵ ，,，
∴ ，．
∴ 函数的顶点坐标是，
对称轴是直线．
由 得 ，
即图象与轴的交点为．
由 得 ，
解得，．
∴ 图象与轴的交点
是，．
五点法
【例】已知函数．
求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积；
根据第题的图象草图，说出取哪些值时，
①；②；③．
三个交点构成的三角形的面积
．
由图象可得：
当或时，；
当时，；
当或时，．
【练一练】已知函数．
写出函数图象的顶点、对称轴，以及图象与坐标轴的交点，然后画出函数图象的草图；
求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积；
根据第题的图象草图，说出取哪些值时，
①；②；③．
故而：
①当时，抛物线与轴两个交点；
②当时，抛物线与轴只有一个交点；
③当时，抛物线与轴没有交点．
【再练一练】请快速画出以下二次函数的草图
,
由 得 ，解得．
∴ 图象与轴的交点是 ．
由 得 ，此方程无实数解．
∴ 图象与轴没有交点．
、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
； ；
0； ．
其中正确的结论的个数是（ ）
．个 ．个 ．个 ．个
、二次函数的图象顶点在轴的负半轴上，那么等于多少？
1
【做一做】
课时小结
1.二次函数的增减性．
2.二次函数的最值．
3.二次函数的图象与坐标轴的交点的求法．21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1．已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6
(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象．
(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ 何时y随x的增大而减小？并求函数的最大值或最小值．
【答案】(1)y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8
令y＝0，得x1＝－1，x2＝3．
令x＝0，得y＝6．
∴函数图象的顶点坐标是(1，8)，与坐标轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，(0，6)，对称轴是直线x＝1．
(2)当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时， y随x的增大而减小；当x＝1时，y有最大值8．
2．求下列函数的最大值(或最小值)和对应的自变量的值．
(1)y＝x2－4x＋5；(2)y＝－x2－x＋2．
【答案】
(1))y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，当x＝2时，y有最小值1．
(2)y＝－x2－x＋2＝－＋，当x＝－时，y有最大值．
3．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
【答案】C
4．求下列二次函数的图象与x轴交点的坐标．
(1)y＝x2－6x，；(2)y＝－2x2－3x＋2．
【答案】(1)(0，0)，(9，0)．(2)(－2，0)，(，0)．
5．根据下列条件，分别求二次函数的表达式．
(1)已知图象的顶点坐标为(－1，－8)且过点(0，－6)．
(2)已知图象经过(3，0)，(2，－3)，并以直线 x＝0为对称轴．
【答案】
(1)设y＝a(x＋1)2－8．把点(0，－6)的坐标代入，得－6＝a－8，解得a＝2．∴y＝2x2＋4x－6．
(2)设y＝ax2＋c，且 解得所以y＝x2－．
6．篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分(如图)，抛物线的对称轴为直线x＝2.5．求：
(1)球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围．
(2)球在运动中离地面的最大高度．
【答案】
(1)设函数表达式为y＝a(x－2.5)2＋k，
根据题意，得解得
∴所求函数表达式为y＝－0.2x2＋x＋2.25，
自变量x的取值范围为0≤x≤4，
(2)球在运动中离地面的最大高度为3.5m．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
