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1.4 二次函数的应用(1)
学习目标1．经历数学建模的基本过程．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值．
学习过程
温故而知新1、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)何时有最大值或最小值？2、如何求二次函数的最值？3、求下列函数的最大值或最小值： ① y＝x2－4x＋7 ② y＝－5x2＋8x－1
【合作探究】用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为 y (m2)．
【例1】如图窗户边框的上部分是由个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料的总长度为米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，才能使窗户的透光面积最大(结果精确到米)？
已知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长．
作业题
1．求下列二次函数的最大值或最小值：(1)y＝x2－4x＋7．(2)y＝－5x2＋8x－1．
2．已知二次函数的图象(0≤x≤3.4)如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A．有最大值2，无最小值．B．有最大值2，有最小值1.5．C．有最大值2，有最小值－2．D．有最大值1.5，有最小值－2．
3．把一根长1m的铅丝折成一个矩形，并使矩形的面积最大，应怎样折？最大面积是多少？
4．如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16m．求截面积S(m2)关于底部宽x(m)的函数表达式．当底部宽为多少时，隧道的截面积最大(结果精确到0.01m)？
5．有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？
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1.4二次函数的应用（1）
1.4 二次函数的应用(1)
教学目标
1.经历数学建模的基本过程.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值.
重点与难点
本节教学的重点是二次函数在最优化问题中的应用.
本节例员从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解，是本节教学的难点.
1、二次函数何时有最大值或最小值？
2、如何求二次函数的最值？
3、求下列函数的最大值或最小值：
①
②
温故知新：
【合作探究】用长为米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设窗户的宽为，则高为,
窗户的透光面积为,由题意得，
．
．
又∵，且满足，
∴ 当时，．
答：当窗户的宽为，高为时，窗户的最大透光面积为．
拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为,室内通道的尺寸如图,设一条边长为,种植面积为 ．
种植面积
通道
解：根据题意 得：．
∵，，
∴自变量的取值范围是．
当时，.
答：当为时，有最大种植面积为．
【例1】如图窗户边框的上部分是由个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料的总长度为米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，才能使窗户的透光面积最大（结果精确到米）？
根据题意，有,
解:设半圆的半径为米，如图，矩形的一边长为米，
即：
∵，
∴．
∴．
∵ = ＜0，，，
答：当窗户半圆的半径约为，矩形窗框的一边长约为时，窗户的透光面积最大，最大值为．
故透光面积：
())
又∵，且满足，
∴ 当时，． 此时．
课时小结
请你说说利用二次函数的性质解决实际问题的一般步骤．
已知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长．
解：设其中的一条直角边长为x，则另一条直角边长为（2-x），又设斜边长为y，
则.
∴当x=1时，斜边上有最小值，此时两条直角边的长均为1.21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.求下列二次函数的最大值或最小值：
(1).
(2).
答案:
(1).
∴当x=2时，y有最小值3.
(2).
∴当x=时，y有最小值.
2.已知二次函数的图象（）如图.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
（A）有最大值2，无最小值.
（B）有最大值2，有最小值1.5.
（C）有最大值2，有最小值－2.
（D）有最大值1.5，有最小值－2.
答案:
C.
3.把一根长1m的铅丝折成一个矩形，并使矩形的面积最大，应怎样折？最大面积是多少？
答案:
设矩形的面积为y（m），矩形的一条边长为x（m），则
.
∴当 ，即这个矩形为正方形，边长都为员m时，矩形的面积最大，为m.
4.如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16m.求截面积S(m)关于底部宽x(m)的函数表达式.当底部宽为多少时，隧道的截面积最大（结果精确到0.01m）？
答案:
,其中.
∴当（m）时，S有最大值.
5.有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？
答案:
如图，设矩形的一条边长为x（cm），面积为y（cm），则
.
∴当x=5cm时，y有最大值cm.
∴当矩形的一边长为5cm，另一边长为cm时，所得矩形的面积最大，最大面积为cm.
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