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1.4 二次函数的应用(3)
学习目标1．会运用一元二次方程求二次函数的图像与轴或平行于轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题．2．会用二次函数的图像求一元二次方程的解或近似解．3．进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要互相转换．
学习过程
利用函数解决实际问题的基本思想方法？解题步骤？
【例1】一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为，经过时求的高度为．已知物体竖直上抛运动中，h＝v0t－gt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，表示重力系数，取．问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到？
归纳总结
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图，当球离抛出地的水平距离为米时，达到最大高度10米．(1)求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；(2)求球被抛出多远；(3)当球的高度为5米时，球离抛出地的水平距离是多少？
例2 利用二次函数的图象求一元二次方程 x ＋x－1＝ 0 的近似解．
作业题
1．利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解．若有解，求出它的解(精确到0.1)．(1)x2－x＋1＝0． (2)x2－3x＋1＝0．
2．用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0 的解(精确到0.1)．
3．某拱形门建筑的形状是抛物线援若取拱形门地面上两点的连线为x轴，它可以近似地用函数y＝－(x－97)2＋194 表示(单位：m)援问：拱形门底部大约有多宽？有多高？
4．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙长＞50m)，中间用一道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x(m)，总占地面积为y(m2)．(1)求赠关于曾的函数表达式和自变量的取值范围．(2)画出函数的图象．(3)利用图象判断：若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到210m2吗？
5．已知一个二次函数的图象与曾轴的交点为(－2，0)，(4，0 )，且顶点在函数y＝2x的图象上．求这个二次函数的表达式．
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1.利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解.若有解，求出它的解（精确到0.1）.
(1).
(2).
【答案】
(1)作出函数的图像（图略），可知方程没有解.
(2)作出函数的图像（图略），可知方程有两个解.可得两解 为
2.用两种不同的图解法求方程 的解（精确到0.1）.
【答案】
解法一：作出函数的图象观察图象（如下图），与曾轴交点的横坐标可得方程的解为
解法二：分别作出函数与的图象（如下图），观察函数图象交点的横坐标，可得方程的解为
3.某拱形门建筑的形状是抛物线援若取拱形门地面上两点的连线为x轴，它可以近似地用函数 表示（单位：m）援问：拱形门底部大约有多宽？有多高？
【答案】
令，则，解得
∴拱形门大约194m宽，194m高.
4.某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图）.已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m）.
(1)求赠关于曾的函数表达式和自变量的取值范围.
(2)画出函数的图象.
(3)利用图象判断：若要使两间饲养室占地总面积达到200m，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到210m吗？
【答案】
(1)其中
(2)图略.
(3)当时，可得或
∴各道墙的长度分别为20m,10m或30m，m时,y有最大值，
∴占地总面积不可能达到210m.
5.已知一个二次函数的图象与曾轴的交点为（－2，0），（4 ，0 ），且顶点在函数y＝2x的图象上.求这个二次函数的表达式.
【答案】
设所求函数表达式为顶点的横坐标为x=1，则顶点的纵坐标为y=2.把顶点坐标（1，2）代入上述表达式，得2=-9a，∴.所以所求函数表达式为.
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)集合与函数
一、集合
1.集合的概念：由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集．组成集合的对象叫做这个集合的元素，一般采用大写英文字母A,B,C…表示集合，小写英文字母a,b,c…表示集合的元素．
2.元素的性质： (1)互异性：一个给定的集合中的元素都是互不相同的；只要
构成两个集合的元素是一样的，我们就说这两个集合相等。
(2)无序性：一个给定的集合中的元素排列无顺序；
(3) 确定性：一个给定的集合中的元素必须是确定的.
3.常用的数集： （1）所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作．
（2）所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作或．
（3）所有整数组成的集合叫做整数集，记作．
（4）所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作．
（5）所有实数组成的集合叫做实数集，记作．
（6）不含任何元素的集合叫做空集，记作．例如，方程x2+1=0
的实数解的集合里不含有任何元素，所以这个解集就是空集。
4.集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法
5.集合的基本关系：
（1）元素与集合：；．
（2）集合与集合：包含关系（子集），或(A包含于B，B含于A，A>B）
子集：
（1）任何一个集合都是它自身的子集，即．
（2）规定：空集是任何集合的子集，即．
（3）如果，同时，那么集合的元素都属于集合A，同时集合A的元素都属于集合，因此集合A与集合的元素完全相同，由集合相等的定义知
（4）如果集合，但存在元素，我们称集合A是集合B的真子集，记作 B。
（5）如果，同时，则 。
（6）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.
7.集合的基本运算：（1）并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B};
（2）交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
（3）补集（ U A＝{x| x∈U ，且x A}，U为全集．）
二、函数的基本概念
1.函数的定义
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.
2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
3.函数相等：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．
4.函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
5．映射的概念
设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。
那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
6．区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间．
7．分段函数
8．函数单调性的定义
(1)增函数 (2)减函数
9．函数单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
10.最大值，最小值
11.用定义法证明函数单调性的一般步骤
单调区间——取值——作差——变形——定号——下结论．
12．求单调区间的方法：定义法、图象法．
13．复合函数y＝f[g(x)]在公共定义域上的单调性(同增异减，先求定义域，单调区间是定义域的子集．）
14．函数的奇偶性定义
对于函数f(x)的定义域内任意一个x：
(1)f(－x)＝f(x) f(x)是偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x) f(x)是奇函数．
15．函数的奇偶性的性质
(1)对称性：1）奇(偶)函数的定义域关于原点对称，
2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x必须成立；
(3)可逆性：f(－x)＝f(x) f(x)是偶函数；f(－x)＝－f(x) f(x)是奇函数；
(4)等价性：偶函数：f(－x)－f(x)＝0；奇函数：f(－x)＋f(x)＝0；
16．分类
奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数（f(x)=0），非奇非偶函数(y=kx+b)．
17．函数的奇偶性判断方法与步骤
利用定义判断：(1)定义域是否关于原点对称，(2)数量关系f(－x)＝±f(x)哪一个成立．
例1：以下五个写法中：①{0}∈{0，1，2}；② {1，2}；
③{0，1，2}={2，0，1}；④0∈ ；⑤A∩ =A，正确的个数有（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2：已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},（1）若B A,求a的值；
解：由于A={1，-1}，B A，当B= 时，有a=0；当B≠ 时，有B={1}或B={-1}，又B={1/a}所以a=±1,所以a=0或a=±1
（2）A∪B=A,求a的值 解：A∪B=A即B A
例3：已知函数f(x)=kx2-4x-8[5,20]上是单调函数，求实数k的取值范围。
解：(1)当k=0时，f(x)=-4x-8，是一次函数，满足在[5,20]上是单调递减函数；
(2)当k>0时，由于函数f(x)=kx2-4x-8的对称轴是x=2/k, 由题知2/k≤5或2/k≥20，即k≥2/5或k≤1/10, 综上k≥2/5或0
(3)当k<0时，由于函数f(x)=kx2-4x-8的对称轴是x=2/k<0,满足在[5,20]上是单调递减函数。
所以，k的取值范围为（-∞，1/10]∪[2/5,+∞)
例4：已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x（x+1）;当x<0, f(x)等于（ B ）
-x(1-x) B.x(1-x) C. -x(1+x) D.x(1+x)
解：设x<0，则-x>0，因为当x>0时，f(x)=x（x+1），所以f(-x)=-x（-x+1），又因为f(x)是奇函数，所以当当x<0时, f(x)=-f(-x)=-[-x（-x+1)]=x(1-x)
一、选择题
1.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( D )
A.3.14 B.－2 C. D.
2.已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为（ B ）．
A、1 B、－ C、1或－ D、不存在
3.如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是（ D ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣1
4.集合{1，2，3}的真子集的个数为（ C ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5.已知集合M＝{a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( D )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
6.若函数在区间上是增函数，则有（ C ）
A． B． C． D．
解：因=1+（a-b）/(x-a)，如果a>b,则f(x)在（-∞，a）∪（a，+∞）上单调递减；当a7.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（C ）
A． B． C． D．
二、填空题
1.若集合为{1，a， }={0，a2，a+b}，则b﹣a= 1 ．
2.函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B= [0，2] ．
3.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1解 当B＝ 时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，当B≠ 时，有
解得24.f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[1，＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围 ．
解 当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数．当a≠0时，对称轴x＝，
当a>0时，由，得05.若f(2x－1)＝x2，则 f(x)=_________．
解∵f(2x－1)＝x2，∴令t＝2x－1，则x＝，∴f(t)＝2，∴f(x)＝2.
三、解答题
1.求下列函数的增区间与减区间：
(1) y＝|x2＋2x－3|； (2)y＝.
解 (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
先作出f(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如下图所示．由图象易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．
(2)由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1.令u＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
在x∈[－3，－1]上是单调递增，在x∈[－1,1]上是单调递减.
而y＝在u≥0上是增函数．∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1,1]．
2.判断下列函数是否具有奇偶性．
(1) f(x)＝＋.
(2)f(x)＝
解(1)由得x＝－，或x＝.∴函数f(x)的定义域为{－，}．
又∵对任意的x∈{－，}，－x∈{－，}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
3.已知定义在R上的函数对任意实数都满足，且当时，
求（1）求
（2）判断函数的奇偶性，并证明
（3）解不等式
解：（1）令x=y=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0（2）f(x)是奇函数。对任意x∈R,取y=-x；则f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x)所以f(x)是R上的奇函数
任意取x1,x2∈R,x10)
所以f（x2）=f(x1+Δx)=f(x1)+f(Δx)
所以f（x2）-f(x1)=f(Δx)>0即f（x2）>f(x1)所以f(x)是R上的增函数，
对于不等式f(a-4)+f(2a+1)<0有f(2a+1)所以2a+1<4-a即a<1(共15张PPT)
浙教版 九年级上
1.4二次函数的应用(3)
教学目标
重点和难点
本节教学的重点是问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模式的相互转换．
例1涉及较多的“科学”知识，解题思路不易形成，是本节教学的难点．
利用函数解决实际问题的基本思想方法
解题步骤
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解
返回解释
检验
结论
从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴（或平行于横轴的直线）的交点坐标．
反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解．
例2 利用二次函数的图象求一元二次方程
x +x－1= 0 的近似解．
在例5中，我们把一元二次方程 x +x-1= 0 的解看做是抛物线 y=x +x-1 与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的近似解．
如果把方程x +x-1 = 0变形成 x = -x+1，那么方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？用不同图象解法试一试，结果相同吗？
在不使用计算机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？
利用二次函数的图象求一元二次方程 x +x-1= 0 的近似解．
1
2
0
-1
-2
x
1
2
3
4
5
6
y
y=x
y=1-x
｛
y1=x2
y2=-x+1
A
B
x1
x2
谢谢
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一、集合
1.集合的概念：由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集．组成集合的对象叫做这个集合的元素，一般采用大写英文字母A,B,C…表示集合，小写英文字母a,b,c…表示集合的元素．
2.元素的性质： (1)互异性：一个给定的集合中的元素都是互不相同的；只要
构成两个集合的元素是一样的，我们就说这两个集合相等。
(2)无序性：一个给定的集合中的元素排列无顺序；
(3) 确定性：一个给定的集合中的元素必须是确定的.
3.常用的数集： （1）所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作．
（2）所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作或．
（3）所有整数组成的集合叫做整数集，记作．
（4）所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作．
（5）所有实数组成的集合叫做实数集，记作．
（6）不含任何元素的集合叫做空集，记作．例如，方程x2+1=0
的实数解的集合里不含有任何元素，所以这个解集就是空集。
4.集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法
5.集合的基本关系：
（1）元素与集合：；．
（2）集合与集合：包含关系（子集），或(A包含于B，B含于A，A>B）
子集：
（1）任何一个集合都是它自身的子集，即．
（2）规定：空集是任何集合的子集，即．
（3）如果，同时，那么集合的元素都属于集合A，同时集合A的元素都属于集合，因此集合A与集合的元素完全相同，由集合相等的定义知
（4）如果集合，但存在元素，我们称集合A是集合B的真子集，记作 B。
（5）如果，同时，则 。
（6）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.
7.集合的基本运算：（1）并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B};
（2）交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
（3）补集（ U A＝{x| x∈U ，且x A}，U为全集．）
二、函数的基本概念
1.函数的定义
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.
2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
3.函数相等：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．
4.函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
5．映射的概念
设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。
那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
6．区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间．
7．分段函数
8．函数单调性的定义
(1)增函数 (2)减函数
9．函数单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
10.最大值，最小值
11.用定义法证明函数单调性的一般步骤
单调区间——取值——作差——变形——定号——下结论．
12．求单调区间的方法：定义法、图象法．
13．复合函数y＝f[g(x)]在公共定义域上的单调性(同增异减，先求定义域，单调区间是定义域的子集．）
14．函数的奇偶性定义
对于函数f(x)的定义域内任意一个x：
(1)f(－x)＝f(x) f(x)是偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x) f(x)是奇函数．
15．函数的奇偶性的性质
(1)对称性：1）奇(偶)函数的定义域关于原点对称，
2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x必须成立；
(3)可逆性：f(－x)＝f(x) f(x)是偶函数；f(－x)＝－f(x) f(x)是奇函数；
(4)等价性：偶函数：f(－x)－f(x)＝0；奇函数：f(－x)＋f(x)＝0；
16．分类
奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数（f(x)=0），非奇非偶函数(y=kx+b)．
17．函数的奇偶性判断方法与步骤
利用定义判断：(1)定义域是否关于原点对称，(2)数量关系f(－x)＝±f(x)哪一个成立．
例1：以下五个写法中：①{0}∈{0，1，2}；② {1，2}；
③{0，1，2}={2，0，1}；④0∈ ；⑤A∩ =A，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2：已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},（1）若B A,求a的值；
A∪B=A,求a的值
例3：已知函数f(x)=kx2-4x-8[5,20]上是单调函数，求实数k的取值范围。
例4：已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x（x+1）;当x<0, f(x)等于（ ）
-x(1-x) B.x(1-x) C. -x(1+x) D.x(1+x)
一、选择题
1.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A.3.14 B.－2 C. D.
2.已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为（ ）．
A、1 B、－ C、1或－ D、不存在
3.如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣1
4.集合{1，2，3}的真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5.已知集合M＝{a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
6.若函数在区间上是增函数，则有（ ）
A． B． C． D．
7.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1.若集合为{1，a， }={0，a2，a+b}，则b﹣a= ．
2.函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B= ．
3.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋14.f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[1，＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围 ．
5.若f(2x－1)＝x2，则 f(x)=_________．
三、解答题
1.求下列函数的增区间与减区间：
(1) y＝|x2＋2x－3|； (2)y＝.
2.判断下列函数是否具有奇偶性．
(1) f(x)＝＋.
(2)f(x)＝
3.已知定义在R上的函数对任意实数都满足，且当时，
求（1）求
（2）判断函数的奇偶性，并证明
（3）解不等式