1.3证明 （2）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
浙江版八年级数学上册第一章1.3证明
第2课时 证明（2）
【知识清单】
1.三角形的外角及外角的性质
外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三角形的外角.三角形一个顶点有两个外角.
2. 重要结论：
（1）三角形三个内角的和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形的外角和为360°.
3. 证明几何命题的一般格式
（1）按题意画出图形；
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（3）在“证明”中写出推理过程. 推理过程要结合图形，用“∵……”，“∴……”的形式表达出来. 在书写推理过程时要求学生弄清推理论证的结构和每一步推理的因果关系.
4.注意：
(1)有些题目已经画好图形，写好已知和求证，这时只需要写出“证明的过程”即可；
(2)证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.推理的依据主要有：已知的定义、基本事实、定理（包括推论）等.推理的书写格式一定要严密、规范；
(3)在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添加辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线.
5.考点：利用三角形的外角、内角和来计算角度和判定角的大小.
【经典例题】
例题1，如图，BF、CF分别是∠ABE、∠ACE的平分线，若∠BEC=145°，∠BFC=105°，则∠A度数为（ ）
A.60° B.65° C.75° D.79°
【答案】B
【考点】三角形内角和定理，角平分线性质.
【分析】连接BC，根据三角形内角和定理求出
∠EBC+∠ECB=35°，∠FBC+∠FCB=75°，所以∠FBE+∠FCE=40°，
再根据角平分线的定义求出∠ABF+∠ACF=40°，然后根据三角形
内角和定理即可求出∠A=65°．
【详解】解：连接BC，
∵∠BEC=145°（已知），
∴∠EBC+∠ECB=180°－145°=35°（三角形内角和定理）．
∵∠BFC=105°（已知），
∴∠FBC+∠FCB=180°－105°=75°（三角形内角和定理），
∴∠FBE+∠FCE=75°－35°=40°（等式的性质）．
∵BF是∠ABE的平分线、CF是∠ACE 的平分线（已知），
∴∠ABF+∠ACF=∠FBE+∠FCE=40°（等量代换）．
在△ABC中，∠A=180°－35°－40°－40°=65°（三角形内角和定理）．
故∠A的度数为65°．
【点评】解答此题利用了三角形的内角和定理和角平分线的性质，整体代入的数学思想的运用是解题的关键．
例题2，如图，在△ABC中，D是AB上的点，F是AC上的点，DF的延长线与BC的延长线相交于点G，若DE∥BC，求证: ∠1>∠G.
【考点】三角形的外角性质,平行线的性质
【专题】三角形、平行线
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠AED=∠ACB，
再根据三角形外角的性质进行解答．
【详解】∵DE∥BC（已知），
∴∠1=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
∵∠ACB是△ABC的外角，
∴∠ACB＞∠G(三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角)．
∴∠1>∠G(等量代换).
【点评】本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，理解并掌握相关的性质是解题的关键．
【夯实基础】
1.在△ABC中，已知∠B = 38°，∠C =66°，则∠A = 度.
2.在△ABC中，∠C+∠B = 3∠A，∠C 比∠B大= 25°，则∠B、∠C的度数分别为 .
3.如图，已知直线BD∥EF，∠E＝39°，∠A＝23°，则∠B＝( )
A．15° B．16° C． 18° D．20°
4. 若一个三角形的3个外角的度数之比为4︰5︰6，则与之相应的3个内角的度数之比为（ ）.
A ．7︰3︰5 B． 3︰5︰8 C．7︰5︰3 D ．5︰3︰1
5. 如图，在△ABC中，CF是外角平分线，DC⊥FC，若∠4=70°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠1=20° B．DC平分∠ACB C．CD⊥AB D．∠A=70°
6. 三角形的一个外角与它相邻的内角相等，则这个三角形是（ ）.
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
7.如图，BE是△ABC外角∠CBD平分线，与AC的延长线相交于点E，
求证：∠ACB＞∠A.
【提优特训】
8. 如图，若∠1=33°，∠2=88°，∠3=37°，则∠4= 度．
9. 将一个三角形剪去一个角后，得到，∠1+∠2=220°，则∠A = 度．
10下列说法正确的是（ ）
A．三角形的一个外角一定大于与它相邻的内角 B．三角形的三个内角中最多有两个锐角
C．三角形的三个外角中只能有一个锐角 D．三角形的三个内角中最多有一个角大于60°
11.如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点A落在三角形所在平面内的点为，则∠A与∠1、∠2之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
12.如图，△ABC与△CDE叠放在一起，AB与DE相交于点F，则有下列结论：
（1）∠1+∠B=∠4+∠D （2）∠3+∠B+∠1=∠C+∠D+∠DEC
（3）∠2=∠B+∠C+∠D （4）∠1=∠2+∠C
其中真命题有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
13.如图，在△ABC中，
1. 当∠BAC=76°时，
（1）如图①，BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，相交于点O，求∠BOC的度数？
（2）如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACD的平分线，相交于点O，求∠BOC的度数？
（3）如图③，BO、CO分别是∠DBC、∠ECB的平分线，相交于点O，求∠BOC的度数？
2.当∠BAC=n时,直接写出三个图中，∠BOC与n的大小关系：
图①∠BOC= ；图②∠BOC= ； 图③∠BOC= .
（3）直接写出三个图中，∠BOC与∠BAC的大小关系：
图①∠BOC= ；图②∠BOC= ； 图③∠BOC= .
14.1.阅读下列材料，回答问题.
如图，∵AB与CD相交于点P（已知），
∴∠1=∠2（对顶角相等）.
∵∠A+∠D+∠1=∠C+∠B+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠D=∠C+∠B(等式的性质).
2.利用这个结论可以使复杂的图形中求多角和的问题变得简单明了，
请你解决如下问题：
(1)第14题图①∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
(2)第14题图②、图③、图④是五角星形的变形，它们的五个角之和（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）会变化吗？若不变化，可以选择一个情形进行说明；若变化，请说明理由.
【中考链接】
15.2018广西南宁4.如图，ACD 是ABC 的外角，CE 平分ACD ，若 A =60°，B =40°，则 ECD 等于（ ）
A.40° B.45° C.50° D.55°
16.2018黑龙江齐齐哈尔4．（3.00分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，
AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为（　　）
A．10° B．15° C．18° D．30°
17.2018年吉林长春5．（3.00分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　）
A．44° B．40° C．39° D．38°
18..2018年江苏苏州15．（3.00分）如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF=20°，则∠BED的度数为　　°．
参考答案
1.76° 2.55°、80° 3.B 4.C 5.D 6.C 8.22° 9.40° 10.C 11.B 12.C 15.C
16.B 17.C 18.80°
7.证明：∵BE平分∠CBD（已知），
∴∠CBE=∠DBE（角平分线定义）.
∵∠ACB是△BCE的外角（已知），
∴∠ACB＞∠CBE（三角形的一个外角大于任何一个与
它不相邻的内角）.
∴∠ACB＞∠DBE（等量代换）.
∵∠DBE是△ABE的外角（已知），
∴∠DBE＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）.
∴∠ACB＞∠A（不等式的性质）.
13.解：1.（1）如图①
∵∠BAC=76°，
∴∠ABC+∠ACB=180°－76°=104°
∵BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴，，
.
（2）∵BO是∠ABC的平分线，
∵CO是∠ACD的平分线，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠BAC+∠ABC.
同理∠4=∠2+∠O.
又
（3）∵∠DBC是△ABC的外角，
∴∠DBC=∠BAC+∠ACB.
同理∠ECB= ∠BAC+∠ABC.
∴∠DBC+∠ECB=∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC
= 76°+180°=256°
∵BO是∠DBC的平分线，
∵CO是∠ECB的平分线，
∴∠BOC=180°－（∠2+∠3）=52°.
14解：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.理由如下：
连接BC，则∠1+∠2=∠D+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠A+∠ABE+∠ACD+∠1+∠2
=∠A+∠ABE+∠1 +∠ACD +∠2
=∠A+∠ABC+∠ACB=180°.
（2）证明方法与（1）相同.
例题1图
例题1图
例题2图
第5题图
第3题图
第7题图
第9题图
第8题图
第12题图
第11题图
第13题图①
第13题图②
第13题图③
第14题图
第14题图②
第14题图③
第14题图④
第14题图①
第15题图
第16题图
第17题图
第18题图
第7题图
第13题图②
第13题图③
第14题图④
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)