1.5 全等三角形的判定（1）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

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浙江版八年级数学上册第一章1.5全等三角形的判定
第1课时 全等三角形的判定（1）
【知识清单】
1.全等三角形判定1:三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”） ；
2.三角形的稳定性:当三角形的三条边确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
3.证明两个三角形全等的过程的一般格式:（1）准备条件：把题中没有直接给出的相等条件证明出来，一般由线段的中点、两条线段的和或差、等量代换获得；（2）确定范围：在哪两个三角形中；（3）摆齐条件：把要证明的两个三角形全等的所需的三组条件按顺序摆好，并用大括号括在一起，注意对应元素放在对应位置上，依据写在每一步后面的括号内（如下图）；（4）得出结论：得出三角形全等的结论.
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
4.方法技巧:（1）证明两条线段相等和两个角相等可以通过两个三角形全等来实现；
（2）要充分挖掘隐含条件，如公共边、边的中点等；
（3）要抓住图形特征，有时需要运用等式的性质找出证明三角形全等缺少的相等的条件，从而实现两个三角形全等；
（4）巧妙作出辅助线，沟通图形的关系，为证明打开通道.
5.考点:证明三角形全等，以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系.
【经典例题】
例题1，如图，若点B、F、C、E在同一条直线上，AB=DE，BF=EC，AC=DF，∠B=62°, ∠DFE=31°，求∠A的度数.
【解析】先证明BC=EF，再运用“SSS”证明△ABC≌△DEF，进而可得∠ACB=∠DFE=31°，在△ABC中根据三角形内角和定理可求∠A的度数，从而可得结论.
【详解】∵BF=EC（已知），
∴BC=BF＋FC，EF=EC＋CF（等式的性质），
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
∴∠ACB=∠DFE=31°（全等三角形对应角相等）.
∵∠B=62°（已知），
∴∠A=180°－（∠B+∠ACB）=180°－（62°+31°）=87°（三角形内角和定理）.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法“SSS”公理和三角形内角和定理，证明BC=EF是解决问题的关键.
例题2，如图所示，BC=ED，BD=EC，求证：BC∥DE. 请你给下面的每一步填上依据.
【分析】因为四边形BCED中没有三角形，所以应该先构造三角形，就需要作辅助线，连接CD或BE皆可，再运用“SSS” 证明△BCD≌△EDC，从而得出∠B=∠E.
【详解】连接CD，
在△BCD和△EDC中，
∴△BCD≌△EDC(SSS).
∴∠BCD=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.
∴BC∥DE（内错角相等两直线平行）.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法“SSS”公理和平行线的判定．作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键.
【夯实基础】
1.不是利用三角形稳定性的是（　　）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条
2.如图，点E是BD的中点，AB=AD，BC=DC，图中全等三角形有（　　）
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
3.如图，点E，D分别在AB，AC上，若AB=AC，BE=CD，BD=EC，∠B=32°，∠A=41°，
则∠BOC度数是（ ）
A.135° B.125° C.115° D.105°
4.在△ABC中，已知AB=AC，AD是BC边上的中线，则∠ADC是（ ）
A. 直角 B. 锐角 C. 钝角 D.不能确定
5.如图，有一个简易平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将A点放在角的顶点处，AB和AD沿着角的两边张开，沿对角线AC画射线AE，AE就是∠BAD的平分线，这个平分角的仪器能平分角的原理是 .
6.如图，AB=AD，根据“SSS”判定△ABC≌△ADC，则需要补充的一个条件是 .
7.如图，点C是AE的中点，AB=CD，CB=ED．求证：AB∥CD.
【提优特训】
8.如图，木工师傅用4根木条钉成一个四边形木架ABCD，要使这个木架不变形，木工师傅至少要再钉上木条（ ）
A.4根 B.3根 C.2根 D.1根
9.如图，AB=AC，AD=AE，BE=CD，则△ABE≌ ，△ABD≌ .
10.如图，已知AB=DC，AC=DB，要想证明∠A=∠D，根据现有的知识你能添加的辅助线是，连接 ．
11. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是_．
12.如图，BC⊥DE，垂足为G，AB=AD，AC=AE，BC=DE，问AB与AD位置关系是 .
13.将推理过程的理由填入括号内：如图，AB=CD，AD=CB，O为BD上任意一点，过O点的直线分别交AD、BC的延长线于M、N点，试说明∠1=∠2.
解：在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（ ），
∴∠ADB=∠CBD（ ），
∴ AD∥BC（ ），
∴∠1=∠2（ ）.
14.在△ABC中，点E在边AC上， D是边AB的中点，若BE=AE， CE=DE，AD=BC，
求∠C的度数.
15.已知，如图，把△ABC和△DEF，叠放在一起，AB＝DE，BC＝EF，AF=DC.
（1）试说明AB∥DE；
（2）把图中的△DEF沿直线AD平移到图①、图②位置，仍有上面的结论吗？说明理由.
【中考链接】
16.（2018 泸州）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．
17.（2018徐州巿）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，
求证：∠A=∠C．
18.（2018桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌ΔDEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
参考答案
1.C 2.B 3.D 4.A 5.SSS 6.BC=DC 8.D 9. ΔACD 、ΔACE 10.BC 11. SSS
12.AB⊥AD.
7.证明：∵点C是AE的中点(已知)，
∴AC=CE（中点定义）.
在△ABC和△CDE中，
∵
∴△ABC≌△CDE（SSS），
∴∠A=∠ECD（全等三角形对应角相等）.
∴ AB∥CD（ 同位角相等两直线平行）.
13.解：在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠CBD（全等三角形对应角相等），
∴ AD∥BC（内错角相等两直线平行 ），
∴∠1=∠2（ 两直线平行内错角相等）.
14.【答案】∠C=90°
【分析】由D是边AB的中点，可得BD=AD，运用“SSS”公理证明△BED≌△AED，从而得出∠BDE=90°，再运用“SSS”公理证明△BCE≌△BED，便可得出∠C=∠BDE =90°的结论.
【详解】 ∵D是边AB的中点（已知），
∴BD=AD（中点定义）.
在△BED和△AED中，
∴△BED≌△AED(SSS).
∴∠BDE=∠ADE(全等三角形对应角相等).
∵∠BDE＋∠ADE=180°（平角定义），
∴∠BDE=∠ADE=90°.
∵BD=AD(已证)，AD=BC（已知）
∴BD=BC（等量代换）
在△BED和△BEC中，
∴△BED≌△BEC(SSS).
∴∠C=∠BDE =90°（等量代换）.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法“SSS”公理，并且是两次使用“SSS”公理．中点定义和公共边的使用是解决问题的关键.
15.证明：（1）如图，在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠BAC=∠EDF（全等三角形对应角相等）.
∴AB∥DE（内错角相等两直线平行）.
（2）上面的结论仍成立，图①、图②中，由AF=DC，可得AC=DF，以下证明过程同（1）.
16.【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形．
【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可；
【解答】证明：∵DA=EB，
∴DE=DA+AE，AB=AE+EB.
即DE=AB，
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠C=∠F．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考基础题目．
17.【分析】（A类）连接BD，由AB=AC、AD=CD、BD=BD知ΔABD≌ΔCBD，∠A=∠C.
【解答】证明：连接BD，
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD和△CBD（SSS）
∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）.
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等角对等边、等边对等角的性质．
18.【答案】（1）证明见解析；（2）37°
【解析】分析：（1）先证明AC=DF，再运用SSS证明△ABC≌△DEF；
（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB，从而可得结论.
【详解】（1）∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
【点评】本题考查三角形全等的判定方法SSS公理，证明AC=DF是解决问题的关键.
例题1图
例题2图
例题2图
第2题图
第3题图
第5题图
第7题图
第6题图
第9题图
第8题图
第10题图
第12题图
第11题图
第13题图
（ ）
（ ）
（ ）
第14题图
第15题图②
第15题图①
第15题图
第17题图
第16题图
第18题图
第7题图
第13题图
第14题图
第15题图
第15题图①
第15题图②
第16题图
第17题图
第18题图
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