3．1 平方根
知识点1 平方根
1．(1)因为( )2＝16，所以16的平方根有______个，且它们互为________，分别是________，用数学式子表示为__________________；
(2)因为( )2＝0，所以0的平方根是______，用数学式子表示为______________．
2．“的平方根是±”，用式子来表示就是( )
A．±＝± B．±＝
C.＝ D.＝±
3．平方根是±的数是( )
A. B.
C. D．±
4．下列各数没有平方根的是( )
A．0 B．－82
C. D．－(－3)
5．下列说法正确的是( )
A．只有正数才有平方根
B．负数没有平方根
C．1的平方根是它本身
D．－9的平方根是±3
6．13是m的一个平方根，则m的另一个平方根是________，m＝________．
7．求下列各数的平方根：
(1)144；(2)12；(3)0.0625；(4)(－2)2.
知识点2 算术平方根
8．2017·徐州4的算术平方根是( )
A．±2 B．2
C．－2 D.
9．下列说法正确的是( )
A．因为52＝25，所以5是25的算术平方根
B．因为(－5)2＝25，所以－5是25的算术平方根
C．因为(±5)2＝25，所以5和－5都是25的算术平方根
D．以上说法都不对
10. 下列写法错误的是( )
A．±＝±0.2
B．±＝±0.1
C．－＝－10
D.＝±9
11．计算：
(1)－； (2)±；
(3)－； (4).
12.的算术平方根是( )
A．2 B．±2
C. D．±
13．已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为( )
A．1 dm B. dm
C. dm D．3 dm
14．平方根等于本身的数是________，算术平方根等于本身的数是________．
15．2017·湖州长兴期末若x2＝9，则x＝______，＝9，则x＝________．
16．计算：
(1)|－3|－＝________；
(2)|－6|－－(－1)2＝________.
17．若一个数的算术平方根是a，则比这个数大8的数是________．
18．观察下表，按你发现的规律填空：
a
0.0121
1.21
121
12100
0.11
1.1
11
110
若 ＝3.873，则的值为________．
19. 已知长方形的长为72 cm，宽为18 cm，求与这个长方形面积相等的正方形的边长．
20．若9的平方根是a，b的绝对值是4，求a＋b的值．
21．阅读理解．
观察下列变形：
＝＝2；
＝＝3；
＝＝4；
…
解答下列各题：
(1)填空：
＝＝________；
＝＝________；
＝＝________．
(2)请用含n(n为正整数)的等式反映上述变形的规律．
1．(1)±4 2 相反数 4，－4 ±＝±4
(2)0 0 ＝0
2．A
3．C [解析] ＝.故选C.
4．B [解析] 负数没有平方根．
5．B 6.－13 169
7．[解析] 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
解：(1)因为(±12)2＝144，所以144的平方根为±12，即±＝±12.
(2)12＝，因为(±)2＝，所以12的平方根是±，即±＝±.
(3)因为(±0.25)2＝0.0625，
所以0.0625的平方根是±0.25，
即±＝±0.25.
(4)因为(±2)2＝(－2)2＝4，所以(－2)2的平方根是±2，即±(－2)2＝±2.
8．B 9.A 10.D
11．(1)－8 (2)±0.9 (3)－ (4)3
12．C
13．B.
14． 0 0，1
15．±3 ±9 .
16． (1)1 (2)2
17．a2＋8.
18．387.3
19． 解：∵长方形的长为72 cm，宽为18 cm，
∴这个长方形的面积为72×18＝1296(cm2)，
∴与这个长方形面积相等的正方形的边长为＝36(cm)．
答：正方形的边长为36 cm.
20． 解：因为9的平方根是a，b的绝对值是4，
所以a＝±3，b＝±4.
当a＝3，b＝4时，a＋b＝7.
当a＝－3，b＝－4时，a＋b＝－7.
当a＝－3，b＝4时，a＋b＝1.
当a＝3，b＝－4时，a＋b＝－1.
21．解：(1)根据题意得＝＝8；＝＝23；＝＝32.
(2)根据题意得＝＝|n＋1|＝n＋1.
3.1 平方根
一、选择题
1．2017·甘肃 4的平方根是( )
A．4 B．－2 C．2 D．±2
2．下列各数没有平方根的是( )
A．0 B．(－1)2 C．－5 D．0.09
3．下列说法不正确的是( )
A．1是1的平方根
B．－1是1的平方根
C．±1是1的平方根
D．1的平方根是1
4．下列说法正确的是( )
A．－4是－16的平方根
B．4是(－4)2的平方根
C．(－6)2的平方根是－6
D.的算术平方根是±2
5．下列几种说法：
①任何数的平方根都有两个；
②只有正数才有平方根；
③因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负数；
④不是正数的数都没有平方根．
其中正确的有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
6．(－2)2的平方根是( )
A．－2 B．2
C．±2 D．4
7．已知x有两个平方根，且|x|＝3，则x的值为( )
A．9 B．3
C．－3 D．±3
8．如果3x＋6与2y－6都只有一个平方根，那么x，y必须满足的条件是( )
A．x＝y B．x＝y＝0
C．x＋y＝1 D．x＝－2，y＝3
二、填空题
9．2016·六盘水 3的算术平方根是________．
10．2017·平阳期末 的平方根是________.
11．平方根等于本身的数是________，算术平方根等于本身的数是________．
12．2017·湖州长兴期末 若x2＝9，则x＝________；若＝9，则x＝________．
13．13是m的一个平方根，则m的另一个平方根是________，m＝________．
14．若x＋1是36的算术平方根，则x＝________．
三、解答题
15．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，试说明理由．
(1)2； (2)(－4)2； (3)－0.49.
16．计算：
(1)－； (2)；
(3)－； (4).
17．求下列各式中x的值：
(1)x2－3＝0；
(2)4x2＋1＝10.
18．一个正数的两个平方根分别是a＋1和a－3，求这个正数.
19．若＋(y＋2)2＝0，求(x＋y)2018的值．
20．自由下落物体的高度h(米)和下落时间t(秒)的关系为h＝4.9t2.如果有一个铁球从19.6米高的建筑物上自由下落， 那么它到达地面需要多长时间？
21．已知2a－7的平方根是±5，2a＋b－1的算术平方根是4，求a＋b的算术平方根．
3．2 实数
知识点1 实数的相关概念及分类
1．在，，0，－2这四个数中，为无理数的是( )
A. B.
C．0 D．－2
2．下列说法正确的是( )
A．无理数都是实数，实数都是无理数
B．无限小数都是无理数
C．无理数是无限小数
D．不带根号的数一定是有理数
3．在实数，－，0.33，中，正确的是( )
A.是分数 B．－是无理数
C．0.33是分数 D.是无理数
4．－的相反数是________，绝对值是________．
5．把下列各数分别填在相应的横线上：
－，0，0.16，3，0.15，，－，，，－，3.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)．
有理数：___________________________________________________；
无理数：_____________________________________________________；
正实数：_____________________________________________________；
负实数：____________________________________________________.
知识点2 实数与数轴的对应关系
6．如图3－2－1，数轴上A，B，C，D四点中，与数－表示的点最接近的是( )
图3－2－1
A．点A B．点B
C．点C D．点D
7．数轴上表示－的点与原点的距离为________．
知识点3 实数的大小比较
8．下列四个实数中最小的是( )
A. B．2 C. D．1.4
9．2017·南京若
A．1＜a＜3 B．1＜a＜4
C．2＜a＜3 D．2＜a＜4
10．与无理数最接近的整数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
11．比较下列两个数的大小：
(1)与4；
(2)3与.
12．2017·温州在数轴上精确地表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来．
－1，，0，2.5.
图3－2－2
13．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“＜”连接．
－1，，0，2.
14．已知一个物体的高度为 cm，则这个物体可能是( )
A．火柴盒 B．粉笔盒
C．书桌 D．旗杆
15．如图3－2－3，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点到达点O′处，则点O′表示的数是________．
图3－2－3
16．写出一个比－4大的负无理数：________．
17．求5－的整数部分．
18．如图3－2－4，数轴上表示数1和的点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x，请你写出数x的值．
图3－2－4
19．如图3－2－5所示，每个小正方形的边长均为1.
(1)图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
(2)估计边长的值在哪两个相邻整数之间．
图3－2－5
20．利用5×5的方格作正方形，你能作出几个边长为无理数的正方形(要求顶点在格点上)？它们的边长分别是多少？
图3－2－6
1．A .
2．C 3.C
4.
5．解：有理数：－，0，0.16，3，0.15，；
无理数：，－，，－，3.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)；
正实数：0.16，3，0.15, ，，，3.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)；
负实数：－，－，－.
6．B
7. 8．D
9．B
10．C
11．解：(1)∵≈4.4，4.4>4，
∴>4.
(2)∵≈3.2，3<3.2，
∴3<.
12．解：在数轴上表示为：
－1＜0＜＜2.5.
13． 解：如图所示：
∴－2<－<－1<0<1<<2.
14．B
15． π
16． －(答案不唯一)
17． 解：∵－2＞－＞－3，∴5－2＞5－＞5－3，
∴2＜5－＜3，
∴5－的整数部分为2.
18．解：因为点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，所以OC＝AB.因为数轴上表示数1和的点分别为A，B，所以AB＝－1.设点C表示的数为x，所以x＝－1.
19． 解：(1)图中阴影部分的面积S＝17，边长是.
(2)∵42＝16，52＝25，()2＝17，
∴边长的值在4与5之间．
20． 解：(答案不唯一)如图所示：
3.2 实数
一、选择题
1． 实数－的绝对值是( )
A．2 B. C．－ D．－
2．实数2，，，0中，无理数是( )
A．2 B. C. D．0
3．下列说法正确的是( )
A．带根号的数是无理数
B．无限小数是无理数
C．分数都不是无理数
D．不能在数轴上表示的数是无理数
4.不是( )
A．分数 B．小数 C．无理数 D．实数
5．下列说法不正确的是( )
A．0是整数 B．0是有理数
C．0是无理数 D．0是实数
6．在实数－，－2，0，中，最小的是( )
A．－2 B．0 C．－ D.
7．下列说法中，正确的是( )
A．数轴上的点表示的数都是有理数
B．无理数不能比较大小
C．无理数没有倒数及相反数
D．实数与数轴上的点是一一对应的
8．估计的值在( )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
9．下列选项中的整数，与最接近的是 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
10．对于－2，下列说法中正确的是( )
A．它是一个无理数
B．它比0小
C．它不能用数轴上的点表示出来
D．它的相反数为＋2
二、填空题
11.的相反数是________．
12．绝对值最小的实数是________，到原点的距离为的数是________．
13．比较大小：2________.(填“<”“＝”或“>”)
14．写出一个比π小的无理数：________.
15．若两个连续整数x，y满足x＜＋1＜y，则x＋y的值是________．
16．观察分析，探求出规律：，2，，，，________，…，第n个数是________．
三、解答题
17．把下列各数填入相应的横线内：
－，0，0.16，3，0.15，，－ ，，，－，3.1415926….
属于有理数的有：_________________________________________________________；
属于无理数的有：_________________________________________________________；
属于正实数的有：_________________________________________________________；
属于负实数的有：_________________________________________________________.
18．请将数轴上的各点与下列实数对应起来，并把它们按从小到大的顺序排列(用“＜”连接).
π，－，3，－2，1.5，，－.
19．若a的平方根等于它本身，x，y互为倒数，p，q两数不相等，且数轴上表示p，q两个数的点到原点的距离相等，求(a＋1)2－(－xy)2018(p＋q)的值．
20．如图是一个数值转换器，原理如图所示．
(1)当输入的x值为16时，求输出的y值．
(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
(3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x＝______________．
21．2016·瑞安期中 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究，知道＝1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么谁能说出它的小数部分是多少呢？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用－1来表示它的小数部分．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．
现请你根据小明的说法解答：
已知8＋＝x＋y，其中x是一个整数，0＜y＜1，求2x＋(y－)2018的值．
3.3 立方根
知识点 立方根的意义及计算
1．(1)因为(____)3＝8，所以8的立方根是____，用数学式子表示为____________；
(2)因为(____)3＝－64，所以－64的立方根是____，用数学式子表示为______________；
(3)0的立方根是________．
2.的值是( )
A．3 B．－3 C. D．－
3．下列说法正确的是( )
A．一个数总大于它的立方根
B．负数没有立方根
C．任何非零数都和它的立方根的符号相同
D．正数有两个立方根
4．(1)如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________；
(2)如果一个数的立方根等于它的平方根，那么这个数为________．
5．求下列各数的立方根：
(1)－0.001； (2)3； (3)(－4)3.
6．计算：
(1)； (2)－； (3)－.
7.的立方根是________．
8．(1)观察并填表：
a
0.000001
0.001
1
1000
1000000
________
________
1
________
________
(2)根据你发现的规律填空：
①已知 ＝1.442，则＝________；
②已知＝0.07697，则＝________．
9．已知x2＝4，y3＝8，求x＋y的平方根．
10．已知一个正方体的体积是1000 cm3，现在要在它的八个角上分别截去一个大小相同的小正方体，使截后余下的体积是488 cm3，则截得的每个小正方体的棱长是多少？
11．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
(1)103＝1000，1003＝1000000，你能确定59319的立方根是几位数吗？答：________位数．
(2)由59319的个位数字是9，你能确定59319的立方根的个位数字是几吗？答：________．
(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，由此你能确定59319的立方根的十位数字是几吗？答：________．因此59319的立方根是________．
(4)现在换一个数148877，你能按这种方法说出它的立方根吗？
①它的立方根是________位数；
②它的立方根的个位数字是________；
③它的立方根的十位数字是________；
④148877的立方根是________．
1．(1)2 2 ＝2 (2)－4 －4 ＝－4
(3)0
2．B 3.C
4．(1)1，－1或0 (2)0
5．解：(1)∵(－0.1)3＝－0.001，
∴＝－0.1.
(2)∵3＝，()3＝，∴＝.
(3)＝－4.
6．解：(1)＝2. (2)－＝5.
(3)－＝－＝4－4＝0.
7． 2
8．解：(1)如下表所示：
a
0.000001
0.001
1
1000
1000000
__0.01__
__0.1__
1
__10__
__100__
(2)①14.42 ②7.697
9．解：∵x2＝4，y3＝8，
∴x＝2或x＝－2，y＝2，
∴当x＝2，y＝2时，x＋y的平方根为±2；
当x＝－2，y＝2时，x＋y的平方根为0.
10．解：8个小正方体的体积为1000－488＝512(cm3)，
故每个小正方体的体积为512÷8＝64(cm3)．
因为＝4(cm)，所以截得的每个小正方体的棱长为4 cm.
11．解：(1)∵1000<59319<1000000，
∴59319的立方根是两位数．
(2)∵9×9×9＝729，
∴59319的立方根的个位数字是9.
(3)∵27<59<64，
∴59319的立方根的十位数字是3，
∴59319的立方根是39.
(4)①∵1000<148877<1000000，
∴148877的立方根是两位数．
②∵3×3×3＝27，
∴148877的立方根的个位数字是3.
③∵125<148<216，
∴148877的立方根的十位数字是5.
④148877的立方根是53.
3.3 立方根
一、选择题
1．64的立方根是( )
A．4 B．8 C．±4 D．±8
2．下列计算不正确的是( )
A.＝－3 B.＝－3
C.＝0.1 D.＝0.1
3.的绝对值是( )
A．3 B．－3
C. D．－
4．下列说法正确的是( )
A．一个数总大于它的立方根
B．非负数才有立方根
C．任何非零数和它的立方根的符号都相同
D．任何数都有两个立方根
5．一个正方体的体积为27，则这个正方体的棱长的算术平方根为( )
A．± B.
C．±3 D．3
6．若是2－b的立方根，则( )
A．b<2 B．b＝2
C．b≤2 D．b可以是任意实数
二、填空题
7．计算：＝________．
8.的立方根为______，的平方根是______．
9．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________.
10．正方体M的体积是正方体N的体积的64倍，那么正方体M的棱长是正方体N的棱长的________倍．
11．(1)填表：
a
0.000001
0.001
1
1000
1000000
(2)由上可发现：被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向________移动________位．
(3)根据你发现的规律填空：
①已知＝1.442，则＝________；
②已知＝0.07697，则＝________．
三、解答题
12．计算：
(1)； (2)－；
(3)－.
13．求下列各式中的x：
(1)8x3＋27＝0;
(2)2(x－7)3－128＝0；
(3)1－(x＋1)3＝1001.
14.球的半径为R，球的体积V与R的关系式为V＝πR3.已知一个足球的体积为2048 cm3，试计算该足球的半径．(π取3)
15．一个数的两个平方根分别为2n＋1和－3，而4n是3m＋16的立方根，求m的值.
16．已知一个正方体的体积是1000 cm3，现在要在它的8个角上分别截去一个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488 cm3，则截得的每个小正方体的棱长是多少？
3.4 实数的运算
知识点1 实数的运算
1．2017·杭州计算：|1＋|＋|1－|＝( )
A．1 B. C．2 D．2
2．计算：(1)－；
(2)|1－|＋－；
(3)4－(－3)2×2－；
(4)－＋＋.
3．已知a＝，b＝－，c＝－|－4|，d＝1－(－)，e＝，请你列式表示上述5个数中“无理数的和”与“有理数的积”的差，并计算结果．
知识点2 运用计算器计算
4．用计算器计算(结果精确到0.01)：
≈________，±≈__________．
5．计算：(1)＋－5.021(精确到0.01)；
(2)＋3×－π＋(精确到0.001)；
(3)－＋2×(精确到十分位)．
6. 把一个长、宽、高分别为50 cm，8 cm，20 cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？表面积是多少平方厘米？(不计锻造过程中的损失)
7．在算式(－)□(－)的“□”中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是( )
A．加号 B．减号
C．乘号 D．除号
8．数轴上的点P，Q分别表示实数和－2，则P，Q两点之间的距离等于________．
9．若x，y都是无理数，且x＋y＝1，则x，y的值可以是x＝________，y＝________．(填上一组满足条件的值即可)
10．计算：
(1)＋＋×；
(2)(－1)2019＋2×(1－)(≈2.24)．
11．小明和小华做游戏，游戏规则如下：
(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数或算式；如果抽到灰色卡片，那么减去卡片上的数或算式．
(2)比较两人所抽的4张卡片的计算结果，结果大者为胜者．
图3－4－1
请你通过计算判断谁为胜者．
12．将一个半径为10 cm的圆柱形容器里的药液，倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度一样，那么底面是正方形的容器的底面边长是多少？(结果精确到0.1 cm)
13．利用计算器计算：(1)＝________；
(2)＝________；
(3)＝________；
(4)猜想：＝________．
______,sdo4(n个)) ______,sdo4(n个)) ________,sdo4(n个))
14. 观察下列等式：
|1－|＝－1，|－|＝－，|－|＝－.
将以上三个等式相加得|1－|＋|－|＋|－|＝－1＋－＋－＝－1＝2－1＝1.
(1)猜想并写出：|－|＝________；
(2)根据上面的算式求下列式子的计算结果(结果精确到0.01，参考数据：≈44.922)：
|1－|＋|－|＋…＋|－|.
1．D
2．(1)5 (2)－2 (3)－10 (4)－
3．解：无理数为b，d，有理数为a，c，e，则b＋d＝1，ace＝－22，(b＋d)－ace＝1－(－22)＝23.
4．177.20 ±0.79
5．(1)－1.07 (2)4.950 (3)3.1
6．解：棱长为＝20(cm)，表面积为202×6＝2400(cm2)．
答：锻造成的立方体铁块的棱长是20 cm，表面积是2400 cm2.
7． D
8．2
9． 答案不唯一，例如x＝1＋，y＝－
10．解：(1)原式＝9－3＋×5＝9－3＋1＝7.
(2)原式＝－1＋2－2×＝1－2×≈1－2×2.24＝－3.48.
11．解：小明抽到卡片的计算结果：－－＋≈4.243－1.414－2.828＋0.5＝0.501；
小华抽到卡片的计算结果：－3＋－≈4.472－3.354＋3－3.5＝0.618.
因为0.501<0.618，所以小华获胜．
12．解：设底面是正方形的容器的底面边长是x cm，
则利用体积公式可得x2h＝π×102×h，x2＝π×102，
解得x≈17.7(负值已舍去)．
答：底面是正方形的容器的底面边长约是17.7 cm.
13．(1)10 (2)100 (3)1000 (4)100…0,sdo4(n个))
14．解：(1)－
(2)原式＝－1＋－＋…＋－＝－1≈44.922－1≈43.92.
3.4 实数的运算
一、选择题
1． |1＋|＋|1－|＝( )
A．1 B. C．2 D．2
2．计算5＋20÷52－的结果，下列四个算式正确的是( )
A．25÷25－9 B．5＋－9
C．5＋20÷4 D．25÷4
3．估计×＋的运算结果应在( )
A．3到4之间 B．4到5之间
C．5到6之间 D．6到7之间
二、填空题
4．计算：－＋＋＝________．
5．小红做了一个棱长为5 cm的正方体盒子，小明说：“我做的正方体盒子的体积比你的大218 cm3.”则小明的盒子的棱长为______cm.
6．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：a△b＝(a＋b>0)，如3△2＝＝，那么6△(5△4)＝________．
三、解答题
7．计算：
(1)(－2)3＋－(－3)×5；
(2)2×－2(＋)．
8．用计算器计算：＋－5.021.(精确到0.01)
9．4－的整数部分为a，小数部分为b，求的值．(精确到0.001)
10．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A表示－，设点B所表示的实数为m.
(1)求实数m的值；
(2)求3m＋3×的值．
