6．1 几何图形
知识点1 几何图形的认识
1．下列图形属于平面图形的是( )
A．长方体 B．圆锥体
C．圆柱体 D．圆
2．下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是( )
A．③⑤⑥ B．①②③
C．③⑥ D．④⑤
3．如图6－1－1所示的几何体的面数是( )
图6－1－1
A．3
B．4
C．5
D．6
4．在下列几何体下面的横线上填上相应的名称：
图6－1－2
知识点2 点、线、面、体
5．足球比赛中，一名前锋队员起脚射门，球划出一道漂亮的弧线进入球门，在这个过程中，你认为下列判断正确的是( )
A．点运动成线 B．线运动成面
C．面运动成体 D．线与线相交得点
6．车轮旋转时看起来像一个圆面，这说明________；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明________．
7．如图6－1－3，第一排的平面图形绕轴旋转一周，可以得到第二排的立体图形，那么与甲、乙、丙、丁四个平面图形相对应的立体图形的编号依次为( )
图6－1－3
A．③④①② B．①②③④
C．③②④① D．④③②①
8．图6－1－4是把一个圆柱体纵向切开后的图形．
(1)图形中有几个面是平的？有几个面是曲的？
(2)图形中有几条线？它们是直线还是曲线？
(3)图形中线与线之间一共有多少个交点？
图6－1－4
9．2017·上杭期末如图6－1－5，一个正五棱柱的底面边长为2 cm，高为4 cm.
(1)这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积；
(2)这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？
(3)试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数．
图6－1－5
详解详析
1．D [解析] 长方体、圆锥体、圆柱体都是立体图形，圆是平面图形．
2．A 3.C
4．(1)圆柱体 (2)四棱柱 (3)圆锥体
(4)三棱锥 (5)球体
5． A
6．线动成面 面动成体
7．A
8．解：(1)图形中有4个面，3个面是平的，1个侧面是曲的．
(2)图形中有6条线，4条线是直线，2条线是曲线．
(3)图形中线与线之间一共有4个交点．
9．解：(1)这个棱柱共有7个面，其中侧面有5个，底面有2个．侧面积：5×2×4＝40(cm2)．
(2)这个棱柱共有10个顶点，有15条棱．
(3)n棱柱的顶点数为2n，面数为n＋2，棱的条数为3n.
6．2 线段、射线和直线
知识点1 线段、射线和直线的认识
1．如图6－2－1所示，判断下列说法的正误(在括号内打“√”或“×”)：
图6－2－1
(1)直线AB与直线BA是同一条直线；( )
(2)射线AB与射线BA是同一条射线；( )
(3)线段AB与线段BA是同一条线段；( )
(4)射线AB与射线BC是同一条射线；( )
(5)射线AB与射线AC是同一条射线；( )
(6)射线BA与射线BC是同一条射线．( )
2．如图6－2－2中的线段、直线或射线，能相交的是( )
图6－2－2
3．如图6－2－3所示，林林的爸爸只用两个钉子就把一根木条固定在墙上，其依据是____________．
图6－2－3
知识点2 画图
4．按下列语句，不能正确画出图形的是( )
A．延长直线AB
B．直线EF经过点C
C．线段m与n交于点P
D．经过点O的三条直线a，b，c
5．按照下列要求画图．
(1)如图6－2－4①，已知点A，B，C，画直线AB，射线AC，线段BC；
(2)如图6－2－4②，已知直线l和直线l外一点A，过点A画一条直线与直线l交于点B.
①
②
图6－2－4
6．如图6－2－5，A，B，C是直线l上的三个点，图中线段的条数是( )
图6－2－5
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在平面内，三条直线相交，则交点的个数最多有________个，最少有________个．
8．如图6－2－6，点A，B，C，D在同一直线上，回答下列问题：
(1)表示出图中所有的线段；
(2)图中有几条直线？怎样表示？
(3)仅用图中的字母表示出图中所有可以表示的射线．
图6－2－6
9．2017·上杭期末小明和小亮在讨论“枪管上为什么要有准星”．
小明：过两点有且只有一条直线，所以枪管上要有准星．
小亮：射击时，若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这不就有三个点了吗？多了一个点呀！
请你说说你的观点．
10. 往返于A，B两个城市的客车，途中有C，D，E三个停靠点．
(1)该客车有________种不同的票价；
(2)该客车上要准备________种车票．
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×
2．A 3.两点确定一条直线
4．A [解析] A项，直线本来就是无限延伸的，所以延长直线AB不能画出，故符合题意；
B项，直线EF经过点C，可以画出，故不符合题意；
C项，线段m与n交于点P，可以画出，故不符合题意；
D项，经过点O的三条直线a，b，c，可以画出，故不符合题意．
5．解：如图．
6．C
7．3 1
8． 解：(1)图中的线段为线段AB，AC，AD，BC，BD，CD.
(2)有一条直线，可以用直线AB表示，其他表示方法合理也可．
(3)射线AB，BC，CD，BA，CA，DA.
9．解：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，才能做到看哪儿打哪儿．
换句话说，要想射中目标，就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上．
10．(1)10 (2)20
[解析] (1)有10种不同的票价．(2)因车票需要考虑方向性，例如“A→B”与“B→A”虽然票价相同，但车票不同，故需要准备20种车票．
6.2 线段、射线和直线
一、选择题
1．手电筒发射出去的光线，给我们的形象似( )
A．线段 B．射线 C．直线 D．折线
2．关于线段，下列判断正确的是( )
A．只有一个端点 B．有两个以上的端点
C．有两个端点 D．没有端点
3．图1中直线的表示方法正确的是( )
图1
4．下列说法不正确的是( )
A．射线是直线的一部分
B．线段是直线的一部分
C．直线向两个方向无限延伸
D．射线AB与射线BA是同一条射线
5．下列说法正确的是( )
A．延长射线OA B．延长直线AB
C．延长线段AB D．作直线AB＝CD
6．如图2，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是( )
图2
7．杭州与某市之间开通了高铁，途中要停靠两个站点，那么要为这列高铁制作的火车票有( )
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
二、填空题
8．2017·江山期中 图3中以点O为端点的射线有________条，图中共有________条线段．
图3
9．班长小明在墙上钉木条挂报夹，钉一颗钉子时，木条还任意转动；钉两颗钉子时，木条再也不动了．用数学知识解释这种现象为____________．
三、解答题
10．按下列语句画图：
(1)直线l经过点P；
(2)点P在线段a，b上；
(3)作射线PC与射线PO.
11．如图4，A，B，C，D，E是同一直线上的五个点．
(1)图中共有几条射线？在不增加字母的情况下，能读写出来的射线共有几条？是哪几条？
(2)图中共有几条线段？
图4
12 探索发现 平面内有四个点，过其中的每两点画直线，可以画几条？
6．3 线段的长短比较
知识点1 线段的长短比较
1．如图6－3－1，在三角形ABC中，通过用刻度尺测量，比较3条边长度的大小，下列式子正确的是( )
图6－3－1
A．AB>BC>AC B．BC>AB>AC
C．AC>AB>BC D．AB>AC>BC
2．如图6－3－2所示，用刻度尺测量图中AB，AC，BC的长度，可以得出AB________AC，AC________BC，AB＋BC________AC.(填“>”“<”或“＝”)
图6－3－2
知识点2 两点之间线段最短及两点间的距离
3．A，B两点间的距离是指( )
A．连结A，B两点的线段的长度
B．过A，B两点的直线
C．连结A，B两点的线段
D．直线AB的长
4．点B在线段AC上，AB＝5，BC＝3，则A，C两点间的距离是________．
5．2017·随州改编如图6－3－3，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是________________．
图6－3－3
知识点3 线段作图
6．如图6－3－4所示，已知线段c，利用尺规，求作一条线段AB，使AB＝c.
图6－3－4
7．下列判断错误的是( )
A．任意一条线段都能测量长度
B．因为线段有长度，所以它们之间能比较长短
C．利用圆规能比较线段的长短
D．两条直线也能通过测量长度来比较长短
8．如图6－3－5所示，某同学的家在A处，书店在B处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线( )
图6－3－5
A．A→C→D→B B．A→C→F→B
C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B
9．已知线段AB，延长AB到点C，使BC＝AB，在AB的反向延长线上截取AD＝AC，则DB∶AB＝________，CD∶BD＝________.
10．如图6－3－6所示，已知A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小．
图6－3－6
11．已知四边形ABCD(如图6－3－7所示)，用直尺和圆规画线段a，b，使a＝AB＋BC＋CD＋DA，b＝AC＋BD，然后比较a与b的长短．
图6－3－7
1．A [解析] 用刻度尺可量得，最长的边是AB，最短的边是AC，因此表示三边长度的大小关系正确的是A.
2．< > ＝
3．A [解析] 连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离．
4．8 [解析] 根据画图可知AC＝AB＋BC＝5＋3＝8.
5．两点之间线段最短 6.略 7.D
8．B [解析] 根据两点之间线段最短的原理可知，由C到B的各条线路中，线段BC最短，则B正确．故选B.
9． 3∶1 4∶3
10． 解：连结AC，BD，交点H即为所求．图略．
11． 解：根据要求，先画线段a，再画线段b，再比较．
作法：(1)在射线MN上顺次截取MA′＝AB，A′B′＝BC，B′C′＝CD，C′D′＝DA，则线段MD′＝a；
(2)在射线PQ上顺次截取PE＝AC，EF＝BD，则线段PF＝b.
如图所示，a>b.
6．4 线段的和差
知识点1 线段的中点
1．如图6－4－1所示，已知C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，那么AC＝____AB＝____DB，DB＝____CB＝____AD.
图6－4－1
2．如图6－4－2，P是线段AB上的点，其中不能说明P是线段AB中点的是( )
图6－4－2
A．AB＝2AP B. AP＝BP
C．AB＋BP＝AB D．BP＝AB
知识点2 线段的和差
3．如图6－4－3，看图填空：
(1)AC＝AD－________；
(2)BC＋CD＝________－AB.
图6－4－3
4．如图6－4－4，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是( )
图6－4－4
A．AC＞BD B．AC＜BD
C．AC＝BD D．无法确定
5．如图6－4－5，C，D是线段AB上的两点，D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长为( )
图6－4－5
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
知识点3 线段作图
6．如图6－4－6所示，已知线段a，b，利用尺规，求作一条线段AB，使AB＝a＋2b.(不写作法)
图6－4－6
7．已知线段AB＝6 cm，在直线AB上截取线段AC＝2 cm，则线段BC的长是( )
A．4 cm B．3 cm或8 cm
C．8 cm D．4 cm或8 cm
8．2017·鄞州期末如图6－4－7，线段AB被点C，D分成2∶4∶7三部分，M，N分别是AC，DB的中点．若MN＝17 cm，则BD＝________cm.
图6－4－7
9．2016·余杭区期末已知线段CD，按要求画出图形并计算：延长线段CD到点B，使DB＝CB，延长DC到点A，使AC＝2DB.若AB＝8 cm，求CD与AD的长．
10．如图6－4－8，已知C是线段AB上的一点，M，N分别是AC，BC的中点．
(1)若AB＝18 cm，AC＝10 cm，求MN的长度；
(2)若AB＝18 cm，AC＝x cm(0(3)根据(1)(2)，你能从中发现什么？
(4)若AB＝a cm，求MN的长度(用含a的代数式表示)．
图6－4－8
1. 2 2.C 3.(1)CD (2)AD
4．C [解析] ∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，∴AC＝BD.
5．B [解析] 因为D是线段AC的中点，所以AC＝2AD.因为AC＝AB－BC＝6 cm，所以AD＝3 cm.故选B.
6．解：如图所示，AC＝a，CD＝DB＝b，AB＝a＋2b.AB即为所求作的线段．
7．]D [解析] 如图所示，可知：
①当点C在线段AB上时，BC＝AB－AC＝4 cm；
②当点C在线段BA的延长线上时，BC＝AB＋AC＝8 cm.
8．14
9．解：如图：
∵DB＝CB，∴CD＝DB.
∵AC＝2DB，∴AC＝BC＝AB.
∵AB＝8 cm，
∴CD＝AB＝2 cm，AD＝AB＝6 cm.
故CD的长是2 cm，AD的长是6 cm.
10．解：(1)MN＝×10＋×(18－10)＝9(cm)．
(2)MN＝x＋(18－x)＝9(cm)．
(3)发现：线段MN的长度始终等于线段AB长度的一半．
(4)MN＝AB＝a cm.
6.4 线段的和差
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．线段中点到线段两个端点的距离相等
B．线段的中点可以有两个
C．到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点
D．乘火车从上海到北京要走1462千米，这就是说上海站与北京站之间的距离是1462千米
2．P是线段AB上的点，下列给出的四个式子中，不能说明P是线段AB的中点的是( )
A．AP＋BP＝AB B．AP＝BP C．BP＝AB D．AB＝2AP
3．如图1，C为线段AB的中点，D为线段AC的中点．已知AB＝8，则BD的长为( )
图1
A．2 B．4 C．6 D．8
4．A，B，C不可能在同一条直线上的是( )
A．AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝2 cm
B．AB＝8 cm，BC＝5 cm，AC＝13 cm
C．AB＝3 cm，BC＝11 cm，AC＝8 cm
D．AB＝17 cm，BC＝7 cm，AC＝12 cm
5．2017·鄞州期末 两根木条，一根长30 cm，另一根长16 cm，将它们的一端重合且放在同一直线上，此时，两根木条的中点之间的距离为( )
A．7 cm B．23 cm C．7 cm或23 cm D．14 cm或46 cm
6．已知线段AB，延长AB至点C，使BC＝AB，D为AC的中点．若DC＝4 cm，则AB的长是( )
A．3 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
7．如图2，AB＝CD，则下列结论不一定成立的是( )
A．AC＞BC B．AC＝BD
C．AB＋BC＝BD D．AB＋CD＝BC
图2
二、填空题
8．如图3所示，P，Q是线段AB上的两点，且PQ＝QB，则AQ＝________＋PQ＝AP＋________.
图3
9．已知线段AB，延长AB至点C，使BC＝AB，在AB的反向延长线上截取AD＝AC，则DB∶AB＝________，CD∶BD＝________.
10．如图4，D是AC的中点，BD＝7 cm，BC＝4 cm，则AC＝________cm，AB＝________cm.
图4
11．在长为4.8 cm的线段AB上取一点D，使AD＝AB，C为AB的中点，则CD＝________.
三、解答题
12．如图5，已知线段a，b，利用尺规，求作一条线段，使它等于a＋2b.
图5
13．已知线段a和b(如图6)，用直尺和圆规画一条线段，使它等于3a－2b.
图6
14．教材作业题第4题变式题 如图7，AB＝6 cm，延长AB至点C，使BC＝3AB，D是BC的中点，求AD的长．
图7
15．如图8所示，已知四边形ABCD，用直尺和圆规画线段a，b，使a＝AB＋BC＋CD＋DA，b＝AC＋BD，然后比较a与b的长短．
图8
16．已知A，B，C是同一条直线上的三点，且线段AC＝1，BC＝3，则线段AB的长是多少？
17．2017·萧山月考 如图9，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．
(1)如果AB＝20 cm，AM＝6 cm，求NC的长；
(2)如果MN＝6 cm，求AB的长.
图9
18 如图10，已知P是线段AB上一点，AP＝AB，C，D两点分别从A，P同时出发，分别以每秒2厘米、每秒1厘米的速度沿AB方向运动，当点D到达终点B时，点C也停止运动，设AB＝a厘米，点C，D的运动时间为t秒．
图10
(1)用含a和t的代数式表示线段CP的长；
(2)当t＝5时，CD＝AB，求线段AB的长；
(3)当CB－AC＝PC时，试说出AB与PD的数量关系．
6.5 角与角的度量
知识点1 角的定义及表示方法
1．下列说法中，正确的是( )
A．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
B．两条射线组成的图形叫做角
C．两条线段组成的图形叫做角
D．一条射线从一个位置移到另一个位置所形成的图形叫做角
2．下列四幅图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是( )
图6－5－1
3．2017·河北用量角器测量∠MON的度数，下列操作正确的是( )
图6－5－2
4．图6－5－3中角的个数是( )
图6－5－3
A．10
B．9
C．8
D．4
知识点2 角的单位换算
5．1周角＝________°，1平角＝________°，1°＝________′，1′＝________″.
6．把8.32°用度、分、秒表示正确的是( )
A．8°3′2″ B．8°30′20″
C．8°18′12″ D．8°19′12″
7．2017·天津期末下列关于角度的互化中，正确的是( )
A．63.5°＝63°50′
B．23°12′36″＝23.48°
C．18°18′18″＝18.33°
D．22.25°＝22°15′
8．把15°30′化成度的形式，则15°30′＝________度．
知识点3 角的计算
9．计算：50°－15°30′＝________．
10．计算：
(1)53°28′＋47°32′； (2)17°50′－3°27′；
(3)90°－57°23′27″； (4)15°24′×5.
知识点4 钟面角
11．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．在图6－5－4中，确定相应钟表上时针与分针所成的角的度数．
图6－5－4
13．如图6－5－5所示，下列说法错误的是( )
图6－5－5
A．∠DAO就是∠DAC
B．∠COB就是∠O
C．∠2就是∠OBC
D．∠CDB就是∠1
14．若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下列结论正确的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 D．∠1＝∠2＝∠3
15．如图6－5－6所示，回答下列问题：
(1)写出图中能用一个字母表示的角；
(2)写出图中以点B为顶点的角；
(3)图中共有几个角(小于平角)?
图6－5－6
16．(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图①中有多少个不同的角？
(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图②中有多少个不同的角？
(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有多少个不同的角？
(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图⑩中有多少个不同的角？
(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有多少个不同的角？
图6－5－7
17．某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午近7点回家，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算一算此人外出共用了多长时间．
1．A 2.D 3.C 4.A
5．360 180 60 60
6．D
7．D ．
8．15.5 9.34°30′
10．(1)101° (2)14°23′ (3)32°36′33″ (4)77°
11．D
12．解：①30°；②120°；③90°；④0°.
13．B
14． C
15．解：(1)图中能用一个字母表示的角是∠A，∠C.
(2)图中以点B为顶点的角有三个，分别是∠ABE，∠EBC，∠ABC.
(3)图中的角有∠A，∠C，∠ABE，∠EBC，∠ABC，∠AEB，∠BEC，共7个．
16．解：(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角．
(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角．
(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角．
(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1＋2＋3＋…＋10＋11＝66(个)不同的角．
(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)＝个不同的角．
17． 解：我们知道钟表的表盘是360°，共分成12个大格，时针12小时转动一圈，所以每个小时转动30°，每分钟转动0.5°.分针一个小时转动360°，每分钟转动6°.因为此人离开家不到一个小时，所以肯定是六点初离开家，快到7点回到家，这个过程中出现过2次时针与分针的夹角为110°的情况．
情况1，设出门时，已经是6点整过了x分钟，时针与分针指向数字12时的夹角大于180°，其度数为180°＋(0.5x)°，与此同时，分针与分针指向数字12时的夹角为(6x)°.因为两针夹角为110°，根据题意可列方程180＋0.5x－6x＝110，解得x＝.
情况2，设返回家时，时间为6点y分，夹角又为110°，同情况1的分析可列方程6y－180－0.5y＝110，
解得y＝.
y－x＝40，
所以此人外出共用了40分钟．
6.5 角与角的度量
一、选择题
1．下列语句正确的是( )
A．两条直线相交组成的图形叫做角
B．两条有公共端点的线段组成的图形叫做角
C．两条有公共端点的射线组成的图形叫做角
D．两条射线组成的图形叫做角
2．表示如图1所示的角，错误的是( )
图1
A．∠α B．∠O C．∠AOB D．∠OAB
3．2017·河北 用量角器测量∠MON的度数，操作正确的是( )
图2
4．在放大镜下看一个角，则这个角的度数( )
A．变大 B．变小
C．不变 D．无法确定
5．如图3所示，下列表示以AC，AD为边的角，不正确的是( )
图3
A．∠1
B．∠A
C．∠DAC
D．∠CAD
6．把一个周角n等分，每份是18°，则n等于( )
A．18 B．19 C．20 D．21
7．2017·天津期末 下列各式中，正确的角度互化是 ( )
A．63.5°＝63°50′ B．23°12′36″＝23.48°
C．18°18′18″＝18.33° D．22.25°＝22°15′
二、填空题
8．教材做一做变式题 将图4中的角用不同的方法表示出来，并填写下表：
图4
∠1
∠3
∠4
∠α
∠BCA
9．56.28°＝________度________分________秒．
10．时钟的分针每分钟转________°，时针每分钟转________°.
11．6′＝________°，平角＝________°.
12．若∠A＝27°55′40″，则90°－∠A＝________.
三、解答题
13．把下列角度化成度的形式：
(1)15°24′36″；(2)36°59′96″；(3)50°65′60″.
14．计算：
(1)90°3″－57°21′44″；
(2)175°16′30″－47°30′÷6＋4°12′50″×3.
15．观察图5中有哪些角小于平角？
图5
16．在图6中，确定相应钟表上时针与分针所成的角度．
图6
17．(1)请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
第一种表示
∠ABE
∠ACB
第二种表示
∠1
∠3
(2)用量角器测量∠A，∠2，∠ABE的度数，它们的度数之间有什么关系？
图7
1．拓展延伸 某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午近7点回家，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，则此人外出共用了多长时间？
2．探究规律题
(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角；
(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角；
(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角；
(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有________个不同的角；
(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有________个不同的角．
图8
6.6 角的大小比较
知识点1 角的分类
1．下列语句中正确的是( )
A．小于平角的角是锐角
B．大于直角的角是钝角
C．等于90°的角是直角
D．大于锐角的角是钝角
2．270°＝______直角＝______平角＝______周角．
3．观察图6－6－1：
图6－6－1
∠BAC是________角；
∠B是________角；
∠C是________角；
∠BAD是________角．
知识点2 角的大小比较
4．如图6－6－2，用“＞”或“＜”填空．
图6－6－2
∠AOB______∠AOC，∠POR______∠POQ.
5．若∠1＝50°5′，∠2＝50.5°，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2 D．无法确定
6．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( )
A．∠AOB>∠AOC B．∠AOC>∠BOC
C．∠BOC>∠AOC D．∠AOC＝∠BOC
知识点3 角的作图
7．用量角器画一个角等于已知角(如图6－6－3)．
图6－6－3
8．根据图6－6－4，比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角．
图6－6－4
9．如图6－6－5，回答下列问题：
(1)比较∠FOD与∠FOE的大小；
(2)借助三角尺比较∠DOE与∠BOF 的大小；
(3)借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小．
图6－6－5
10. 如图6－6－6，点E，A，F在同一条直线上，点B，D，C在同一条直线上，则图中小于平角的角有多少个？分别把它们表示出来．
图6－6－6
1．C 2.3 3.锐 锐 直 钝
4．＜ ＞ 5.C 6.A 7.略
8．解：根据图形可得：∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE.
锐角：∠AOB，直角：∠AOC，钝角：∠AOD.
9． 解：(1)∵OD在∠FOE的内部，∴∠FOD＜∠FOE.
(2)用含有45°角的三角尺比较，可得∠DOE＞45°，∠BOF＜45°，则∠DOE＞∠BOF.
(3)用量角器测得∠AOE＝30°，∠DOF＝30°，
则∠AOE＝∠DOF.
10．[解析] 在数角的个数时，为了避免重复和遗漏，先确定一个计数方案，在计算以A为顶点的角的个数时，首先选中射线AE，使AE逆时针旋转，依次转出∠EAB、∠EAD和∠EAC.再顺次选中射线AB，射线AD和射线AC，同样旋转，这样就不会重复或遗漏．
解：图中小于平角的角有13个，分别是∠EAB，∠EAD，∠EAC，∠BAD，∠BAC，∠BAF，∠DAC，∠DAF，∠CAF，∠ABD，∠ADB，∠ADC，∠C.
6.6 角的大小比较
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．角的两条边画得越长，这个角就越大
B．角的大小与角的两边画出的长短无关
C．角的大小和它们的度数的大小是不一致的
D．直线是一个平角
2．下列各角中，属于锐角的是( )
A.周角 B.平角 C.直角 D.平角
3．若∠1＝12.1°，∠2＝12°6′，比较∠1与∠2的大小，下列说法正确的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2 D．∠1，∠2的大小不能确定
4．一副三角尺有6个角，则最小角的度数是( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
5．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( )
A．∠AOB>∠AOC B．∠AOC>∠BOC
C．∠BOC>∠AOC D．∠AOC＝∠BOC
6．∠α和∠β的顶点和一边都重合，另一边都在公共边的同侧，且∠α＞∠β，那么∠α的另一边落在∠β的( )
A．另一边上 B．内部
C．外部 D．以上结论都不对
7．已知α，β是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四名同学算出了四种不同的答案，分别为24°，48°，76°，86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是( )
A．86° B．76°
C．48° D．24°
二、填空题
8．比较大小：直角________锐角；钝角________直角，平角________钝角．(填“＞”“＝”或“＜”)
9．如图1所示，其中最大的角是________，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是________________(用“>”连接)．
图1
10．如图2所示，将一个长方形沿图中的虚线折叠，请用量角器测量一下其中的∠α，∠β，得∠α______∠β.(填“>”“<”或“＝”)
图2
11．如图3，小于平角的角有________个，其中，最大的一个角是________．
图3
12．若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则这三个角中最大的角是________．
三、解答题
13．如图4，回答下列问题：
(1)比较∠FOD与∠FOE的大小；
(2)借助三角尺比较∠DOE与∠BOF的大小；
(3)借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小.
图4
14.教材例2变式题 如图5，∠BOD＝90°，∠COE＝90°，解答下列问题：
(1)图中有哪些小于平角的角？用适当的方法表示出它们；
(2)比较∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角．
图5
15．如图6，已知射线OA.
(1)画∠AOB＝30°；
(2)在∠AOB的外部画∠BOC＝40°；
(3)在∠AOC的外部画∠COD＝60°.
图6
16．如图7，∠ABC是平角，过点B作一条射线BD将∠ABC分成∠DBC和∠DBA，当∠DBA是什么角时，分别满足下列要求？
(1)∠DBA＜∠DBC；
(2)∠DBA＞∠DBC；
(3)∠DBA＝∠DBC.
图7
17 如图8所示，点P为直线l外一点，过点P画直线PA，PB，PC，…，分别交直线l于点A，B，C，…，请你用量角器量出∠1，∠2，∠3的度数，并量出PA，PB，PC的长度，你发现了什么？
图8
6.7 角的和差
知识点1 角平分线的定义
1．用长方形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是( )
图6－7－1
2．如图6－7－2所示，OB是∠AOC的平分线，则(1)∠AOC＝∠________＋∠
图6－7－2
________；
(2)∠AOB＝∠________；
(3)∠AOC＝2∠________＝2∠________．
知识点2 角的和差
3．如图6－7－3所示，∠AOB＋∠BOC＝________，∠BOC＝∠BOD－________，∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋________，∠DOB＝∠DOA－∠COA＋________．
图6－7－3
4．如图6－7－4所示，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，且∠AOB＝100°，则∠COD的度数为( )
图6－7－4
A．50° B．75° C．25° D．20°
5．如图6－7－5，∠AOD＝130°，∠AOC＝88°，OB是∠AOD的平分线，试求∠AOB＋∠COD.
图6－7－5
6. 如图6－7－6，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠AOD的度数．
图6－7－6
知识点3 三角尺与角
7．2017·武义月考把一副三角尺按图6－7－7所示的方式拼在一起，则∠ABC等于( )
图6－7－7
A．70° B．90° C．105° D．120°
8．用一副三角尺画角时可画出许多不同度数的角，下列哪个度数画不出来( )
A．15° B．75° C．105° D．65°
9．(1)平面内将一副三角尺按图6－7－8①所示的方式摆放，∠EBC＝________°.
(2)平面内将一副三角尺按图②所示的方式摆放，若∠EBC＝165°，则∠α＝________°.
(3)平面内将一副三角尺按图③所示的方式摆放，若∠EBC＝115°，求∠DBA的度数．
图6－7－8
10．如图6－7－9，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB＋∠DOC的度数( )
图6－7－9
A．小于或等于180°
B．等于180°
C．大于180°
D．大于或等于180°
11．2017·富阳期末已知∠AOB＝110°，OC平分∠AOB，过点O作射线OD，使得∠COD＝30°，则∠AOD度数是( )
A．90° B．85°或25°
C．90°或20° D．90°或30°
12. 如图6－7－10，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2∶5两部分，∠DBE＝24°，求∠ABC的度数．
图6－7－10
13．如图6－7－11，O是直线AB上一点，∠COE＝60°，OD是∠AOC 的平分线，OF是∠EOB的平分线，求∠DOF的度数．
图6－7－11
14．如图6－7－12，O为直线AB上一点，∠AOC＝46°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°.
(1)求∠BOD的度数；
(2)通过计算判断OE是否平分∠BOC.
图6－7－12
15．如图6－7－13，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度数；
(2)如果题目中∠AOB＝α，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；
(3)从(1)(2)的结果中你能得出什么结论？
图6－7－13
1．D
2．(1)AOB BOC (2)AOC (3)AOB BOC
3．∠AOC ∠COD ∠BOC ∠BOC
4．C
5．解：∵∠AOD＝130°，∠AOC＝88°，
∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝130°－88°＝42°.
∵OB平分∠AOD，
∴∠AOB＝∠AOD＝65°，
∴∠AOB＋∠COD＝65°＋42°＝107°.
6．解：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝2×40°＝80°，
∴∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝80°＋40°＝120°.
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠AOB＝×120°＝60°.
7．D [解析] ∠ABC＝30°＋90°＝120°.
8．D
9．解：(1)150 (2)15
(3)∵∠EBC＝115°，∠DBE＝90°，
∴∠DBC＝∠EBC—∠DBE＝25°.
∵∠ABC＝60°，
∴∠DBA＝∠ABC—∠DBC＝35°.
10．B [解析] ∠AOB＋∠DOC＝∠AOD＋∠DOB＋∠DOC＝∠AOD＋∠DOC＋∠DOB＝90°＋90°＝180°.
11．B [解析] 如图，①∠COD1＝30°，∵∠AOC＝∠AOB＝55°，∴∠AOD1＝85°；
②∠COD2＝30°，∴∠AOD2＝25°.
综上所述，∠AOD＝85°或25°.
12． 解：设∠ABE＝2x°，
则2x＋24＝5x－24，
解得x＝16，
∴∠ABC＝7x°＝7×16°＝112°.
13．解：由∠COE＝60°可知∠AOC＋∠BOE＝120°.
∵OD，OF分别是∠AOC和∠EOB的平分线，
∴∠DOC＝∠AOC，∠EOF＝∠EOB，
∴∠DOF＝∠DOC＋60°＋∠EOF＝∠AOC＋∠EOB＋60°＝(∠AOC＋∠EOB)＋60°＝60°＋60°＝120°.
14．解：(1)∵∠AOC＝46°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝×46°＝23°，
∴∠BOD＝180°－23°＝157°.
(2)OE平分∠BOC.理由如下：
∵∠AOC＝46°，
∴∠BOC＝180°－46°＝134°.
由(1)知∠COD＝23°，∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°－23°＝67°，
∴∠COE＝∠BOC，
即OE平分∠BOC.
15 解：(1)∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠MOB＝∠AOB＝45°，
∠BON＝∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOB＋∠BON＝60°.
(2)由(1)得∠MON＝∠MOB＋∠BON＝∠AOB＋∠BOC＝α＋β＝(α＋β)．
(3)有一个公共顶点、一条公共边，另一边分别在这条公共边两侧的相邻两个角的平分线组成的角等于这两个角和的一半．
6.7 角的和差
一、选择题
1．如图1所示，下列各个角中，能用∠AOC－∠BOC表示的是( )
A．∠BOD B．∠AOD C．∠AOB D．∠COD
图1
2．2017·武义月考 把一副三角尺按如图2所示拼在一起，则∠ABC等于( )
图2
A．70° B．90° C．105° D．120°
3．如图3所示，点A，O，C在同一直线上，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE是( )
图3
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角
4．如图4所示，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°，则∠AOB的度数为( )
A．50° B．75° C．100° D．120°
图4
5．如图5，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是 ( )
图5
A．20° B．40° C．50° D．80°
6．如图6所示，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，则下列各式中正确的是( )
图6
A．∠COD＝∠AOB B．∠AOD＝∠AOB
C．∠BOD＝∠AOD D．∠BOC＝∠AOD
二、填空题
7．如图7，∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝42°，则∠AOD等于________．
图7
8．已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为________.
图8
9．如图8所示，若∠AOB＝∠COD，则∠1________∠2.(填“>”“<”或“＝”)
10．如图9所示，∠AOB＝90°，直线CD过点O.若∠BOC＝∠AOD，则∠AOC＝________．
图9
11．若将一长方形纸片按如图10所示的方式折叠，BC，BD为折痕，折叠后点A′，E′，B在同一直线上，则∠CBD＝________°.
图10
12．将一副三角尺的直角顶点重合，如图11所示，若∠AOD＝128°，则∠BOC＝________.
图11
三、解答题
13．如图12，已知∠α，用量角器作∠β，使∠β＝3∠α.
图12
14．如图13所示，∠AOD＝130°，∠AOC＝88°，OB是∠AOD的平分线，试求∠AOB＋∠COD的值．
图13
15．如图14所示，BD平分∠ABC，∠ABE∶∠EBC＝2∶5，∠DBE＝21°，求∠ABC的度数．
图14
16．教材作业题第4题变式题 如图15，已知AB是一条直线，点O在直线AB上，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．若∠AOE＝140°，求∠AOC及∠DOE的度数．
图15
17 如图16所示，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)求∠DOE的度数．
(2)如果原题中的“∠AOC＝60°”这个条件改为“∠AOC是锐角”，其他条件不变，你能否求出∠DOE的度数？若能，请你求出来；若不能，请说明理由．
图16
6.8 余角和补角
知识点1 余角及其性质
1．如果∠α与∠β互为余角，那么( )
A．∠α＋∠β＝180° B．∠α－∠β＝180°
C．∠α－∠β＝90° D．∠α＋∠β＝90°
2．2016·嵊州市期末若一个角的余角是28°，则这个角的度数为( )
A．128° B．118° C．72° D．62°
3．如图6－8－1，∠1和∠2都是∠α的余角，则下列关系不正确的是( )
A．∠1＋∠α＝90° B．∠2＋∠α＝90°
C．∠1＝∠2 D．∠1＋∠2＝90°
知识点2 补角及其性质
4．2017·海宁期中已知∠A＝50°，则∠A的补角的度数是( )
A．150° B．130° C．50° D．40°
图6－8－1
5．如图6－8－2，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )
图6－8－2
A．50° B．60°
C．140° D．150°
6．如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4的理由是________________________________________________________________________．
知识点3 方位角
7．画出表示下列方向的射线：
(1)北偏东30°；(2)北偏西60°；(3)南偏东30°；(4)西南方向．
8．下列说法中正确的是( )
A．一个角的余角比它本身大
B．一个角的补角是钝角
C．任意一个角都有余角和补角
D．一个锐角的余角比它的补角小90°
9．∠α的余角比它的补角的还少20°，则∠α＝________°.
10．如图6－8－3，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)指出图中∠AOD与∠BOE的补角；
(2)试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．
图6－8－3
11．如图6－8－4，已知直线AB与CD相交于点O，OE，OF分别是∠BOD，∠AOD的平分线．
(1)指出∠DOE的补角；
(2)若∠BOD＝62°，求∠AOE和∠DOF的度数；
(3)求∠EOF的度数．
图6－8－4
1．D
2．D [解析] ∵一个角的余角是28°，∴这个角的度数为90°－28°＝62°.故选D.
3．D [解析] ∵∠1和∠2都是∠α的余角，
∴∠1＋∠α＝∠90°，∠2＋∠α＝∠90°，
∴∠1＝∠2.
只有当∠α＝45°时，∠1＋∠2＝90°，
∴关系不正确的是D.故选D.
4．B 5.C
6．等角的补角相等
7．解：(1)如图中的射线OA.
(2)如图中的射线OB.
(3)如图中的射线OC.
(4)如图中的射线OD.
8．D [解析] 60度角的余角是30度角，而60度角比30度角大，因此A选项错误；150度角的补角是30度角，因此B选项错误；钝角没有余角，因此C选项错误．故选D.
9．75 [解析] ∠α的余角为90°－∠α，补角为180°－∠α，根据题意可得90°－∠α＝(180°－∠α)－20°，解得∠α＝75°.
10．解：(1)∠AOD的补角为∠BOD，∠COD；
∠BOE的补角为∠AOE，∠COE.
(2)∠COD＋∠COE＝90°.
理由：因为OD平分∠BOC，所以∠COD＝∠BOC.
又OE平分∠AOC，所以∠COE＝∠AOC，
所以∠COD＋∠COE＝∠BOC＋∠AOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝90°.
11．解：(1)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝∠BOE.
又∵∠BOE＋∠AOE＝180°，
∠DOE＋∠COE＝180°，
∴∠DOE的补角是∠AOE和∠COE.
(2)∵OE是∠BOD的平分线，∠BOD＝62°，
∴∠BOE＝∠BOD＝31°，
∴∠AOE＝180°－31°＝149°.
∵∠BOD＝62°，∴∠AOD＝180°－62°＝118°.
∵OF是∠AOD的平分线，
∴∠DOF＝×118°＝59°.
(3)∵OE，OF分别是∠BOD，∠AOD的平分线，
∴∠DOE＝∠BOD，∠DOF＝∠AOD.
∵∠BOD＋∠AOD＝180°，
∴∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝(∠BOD＋∠AOD)＝90°.
6.8 余角和补角
一、选择题
1．若∠α与∠β互为余角，则( )
A．∠α＋∠β＝180° B．∠α－∠β＝180°
C．∠α－∠β＝90° D．∠α＋∠β＝90°
2．已知∠α＝35°，则∠α的补角的度数是( )
A．55° B．65° C．145° D．165°
3．如图1所示，射线OA表示的方向是( )
图1
A．西南方向
B．东南方向
C．西偏南20°
D．南偏西20°
4．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的( )
A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向
C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向
5．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
6．教材作业题第1题变式题 下列说法中正确的是( )
A．一个角的余角比它本身要大
B．一个角的补角是钝角
C．任意的一个角都有余角和补角
D．一个锐角的补角一定大于它的余角
7．若∠B是锐角∠A的补角，∠C是∠A的余角，则∠B－∠C等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图2所示，点O在直线AB上，则∠2与(∠1－∠2)之间的关系是( )
A．互补 B．互余 C．和为45° D．和为22.5°
图2
9．如图3所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，OF平分∠AOE，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是 ( )
图3
A．∠2＝45°
B．∠1＝∠3
C．∠AOD与∠1互为补角
D．∠1的余角等于164°30′
二、填空题
10．已知∠A与∠B互余，若∠A＝20°15′，则∠B的度数为________．
11．一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数为________．
12．如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4的理由是________________________________________________________________________．
13．已知∠A与∠B互为余角，∠A与∠C互为补角，∠B＋∠C＝100°，则∠A＝________，∠B＝__________，∠C＝________.
14．如图4所示，O是直线AE上的一点，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)图中互余的角有________对；
(2)图中互补的角有________对．
图4
三、解答题
15．一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°，求这个角的度数.
16．已知∠1与∠2互为余角，∠1的补角等于∠2的余角的2倍，求∠1和∠2的度数.
17．画出表示下列方向的射线：
(1)北偏东30°；(2)北偏西60°；(3)南偏东30°；(4)西南方向.
18．如图5，A，O，B三点在同一条直线上，∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°.
(1)图中∠2的余角是________，∠1的余角是________；
(2)请写出图中相等的锐角，并说明理由；
(3)∠1的补角是什么？∠2有补角吗？若有，请写出来．
图5
19．如图6所示，已知直线AB上一点O，∠AOD＝44°，∠BOC＝32°，∠EOD＝90°，OF平分∠COD，求∠FOD与∠EOB的度数．
图6
20 如图7所示，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝60°.
(1)求∠EOC的度数；
(2)在图中，哪些角互为余角？互为补角的角有几对？
图7
6.9 直线的相交
第1课时 对顶角
知识点1 对顶角的意义
1．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
图6－9－1
2．如图6－9－2所示，BE，CF相交于点O，OA，OD是射线，其中构成对顶角的角是____________．
图6－9－2
知识点2 对顶角的性质
3．如图6－9－3，直线a，b相交于点O，∠1＋∠3＝________，∠2＋∠3＝________(邻补角的定义)，所以∠1________∠2(同角的补角相等)．由此可知对顶角________．
图6－9－3
4．已知∠α和∠β是对顶角，∠α＝30°，则∠β的度数为( )
A．30° B．60° C．70° D．150°
5．如图6－9－4，图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是______________.
图6－9－4
6．如图6－9－5，直线AB，CD，EF交于一点O.
图6－9－5
(1)∠EOB的对顶角是________；
(2)________是∠AOE的对顶角；
(3)若∠AOC＝76°，则∠BOD的度数为________．
7．如图6－9－6所示，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC＋∠BOD＝90°，则∠BOC＝________°.
图6－9－6
8．如图6－9－7所示，∠1＝120°，∠2＋∠3＝180°，则∠4＝________°.
图6－9－7
9. 如图6－9－8，直线AB，CD相交于点O，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数．
图6－9－8
10．如图6－9－9所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝35°，求∠BOD的度数．
图6－9－9
11．如图6－9－10，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD＝150°，∠EOD＝80°，求∠AOF的度数．
图6－9－10
12．如图6－9－11，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠DOB，则点E，O，F在同一直线上，请说明理由．(补全解答过程)
图6－9－11
解：∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC＝________(对顶角相等)．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠DOB，
∴∠AOE＝______∠AOC，∠BOF＝______∠DOB，
∴∠AOE＝________．
∵∠AOF＋∠BOF＝∠AOB＝180°，
∴∠AOF＋∠AOE＝∠EOF＝180°，
∴点E，O，F在同一直线上．
13．如图6－9－12，直线AB与CD相交于点O，∠BOE＝∠COF＝90°，且∠BOF＝32°，求∠AOC与∠EOD的度数．
图6－9－12
14．已知：如图6－9－13所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1∶∠3＝3∶1，∠2＝30°，求∠BOE的度数．
图6－9－13
15．观察图6－9－14，回答下列各题．
(1)图①中，共有________对对顶角，可以看作________＝________×________；
(2)图②中，共有________对对顶角，可以看作________＝________×________；
(3)图③中，共有________对对顶角，可以看作________＝________×________；
(4)通过(1)～(3)各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n(n≥2)条直线相交于一点，则可形成几对对顶角？
图6－9－14
1．C 2.∠EOF和∠BOC，∠COE和∠BOF
3．180° 180° ＝ 相等
4．A 5.对顶角相等
6．(1)∠AOF (2)∠BOF (3)76°
7．135 8.60
9．解：∵∠1＝40°，∠1＝∠2，∴∠2＝40°.
∵∠1＝40°，∠1＋∠3＝180°，∴∠3＝140°.
又∵∠3＝∠4，∴∠4＝140°.
10. 解：∵OE平分∠AOC，∠EOC＝35°，
∴∠AOC＝2∠EOC＝35°×2＝70°.
由对顶角相等可知：∠BOD＝∠AOC＝70°.
11．解：∵∠AOD＝150°，∠AOD＋∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°.
又∵∠EOD＝80°，∴∠EOB＝80°－30°＝50°，
∴∠AOF＝∠EOB＝50°.
12．∠DOB
∠BOF
13． 解：∵∠COF＝90°，∠BOF＝32°，
∴∠COB＝90°－32°＝58°＝∠AOD.
∵∠BOE＝90°，
∴∠EOA＝180°－90°＝90°，
∠EOC＝90°－∠COB＝32°，
∴∠AOC＝∠EOA＋∠EOC＝122°，
∠EOD＝∠EOA＋∠AOD＝148°.
14．解：∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
且∠1∶∠3＝3∶1，∠2＝30°，
∴∠1＝112.5°，∠3＝37.5°，
∴∠BOE＝∠1＝112.5°.
15．解：(1)共有2对对顶角，可以看作2＝2×1.
(2)单个角是对顶角的有3对，两个角组成复合角的对顶角有3对，共有6对，可以看作6＝3×2.
(3)单个角是对顶角的有4对，两个角组成复合角的对顶角有4对，三个角组成复合角的对顶角有4对，共有12对，可以看作12＝4×3.
(4)n(n≥2)条直线相交于一点，可形成n(n－1)对对顶角．
第1课时 对顶角
一、选择题
1．已知∠α和∠β是对顶角，∠α＝30°，则∠β的度数为( )
A．30° B．60° C．70° D．150°
2．如图1所示，直线AB，CD相交于点O，∠EOB＝90°，图中∠EOD与∠AOC的关系是( )
图1
A．对顶角 B．相等
C．互补 D．互余
3．以下四种说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③不是对顶角的两个角不相等；④不相等的两个角不是对顶角．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图2，三条直线l1，l2，l3相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3等于( )
A．90° B．120° C．180° D．360°
图2
5．2017·海淀期末 如图3，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.若∠COE＝160°，则∠AOC等于( )
图3
A．20° B．40°
C．60° D．80°
二、填空题
6．图4是对顶角量角器，用它测量角的原理是______________．
图4
7．如图5所示，BE，CF相交于点O，OA，OD是射线，其中构成对顶角的角是________．
图5
8．三条直线两两相交，其中对顶角共有________对．
9．如图6所示，已知直线AB，CD，EF交于一点O，则
(1)∠EOB的对顶角是________；
(2)________是∠AOE的对顶角；
(3)若∠AOC＝76°，则∠BOD的度数为________．
图6
10．如图7所示，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC＋∠BOD＝90°，则∠BOC＝________°.
图7
11．如图8所示，直线c与直线a，b分别交于点D，E，若∠1＝120°，∠2＋∠3＝180°，则∠4的度数为________．
图8
12．若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3＝60°，则∠1的度数为________．
三、解答题
13．如图9，已知直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝∠EOC，∠AOD＝2∠BOD，求∠AOE的度数.
图9
14.如图10，OA的方向是北偏东20°，OB的方向是北偏西40°，OD是OB的反向延长线．
(1)求OD的方向；
(2)若OC是∠AOD的平分线，求∠BOC的度数和OC的方向．
图10
15． 如图11，直线AB与CD相交于点O，∠EOB＝90°，∠FOD＝90°.
(1)请你写出图中与∠COE互补的角(把符合条件的角都写出来)；
(2)如果∠AOC＝∠EOF，求∠AOC的度数．
图11
16． 如图12所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2∶∠1＝4∶1. 求∠AOF的度数.
图12
6.9 第2课时 垂直
一、选择题
1．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( )
图1
2．如图2所示，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A．35° B．40° C．45° D．60
图2
3．2017·柳州 如图3，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出( )
图3
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．如图4所示，AD⊥BC，BA⊥AC，点B到AC的距离是指下列哪条线段的长度( )
图4
A．BC B．AD
C．AC D．AB
5．如图5，点O在直线AB上，且OC⊥OD.若∠AOC＝36°，则∠BOD的度数为( )
A．36° B．54° C．64° D．72°
图5
6．如图6，已知直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
图6
A．相等 B．互余
C．互补 D．互为对顶角
7．下列四种说法：①两点之间，直线最短；②连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③连结两点的线段，叫做两点的距离；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
8．如图7所示，已知ON⊥a，OM⊥a，所以OM与ON重合的理由是( )
A．过两点只有一条直线
B．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
图7
9．如图8，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，OB平分∠EOG，若∠FOD＝60°，则∠BOG的度数为( )
图8
A．90° B．60°C．30° D．无法确定
10．如图9，已知直线AB，CO⊥AB于点O，∠AOD＝∠BOD，则∠COD的度数为( )
图9
A．15° B．25° C．30° D．45°
11．已知∠α的两边分别与∠β的两边垂直，且∠α＝20°，则∠β的度数为( )
A．20° B．160°
C．20°或160° D．70°
二、填空题
12．如图10所示，直线AB，CD相交于点O，OE为射线．若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是________．
图10
13．如图11，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点B到AC的距离为________．
图11
14．如图12所示，OA⊥OB，OD⊥OC.若∠AOC＝32°，则∠BOD的度数为________．
图12
15．如图13所示，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为PA＝5.52米，PB＝5.13米，则小明的真实成绩为________米．
图13
三、解答题
16．如图14，要把河水引到C处，使所开水渠最短，请你设计出水渠的开挖路线，并说明设计依据．
图14
17．如图15，已知射线OA和点P.
(1)作射线OP；
(2)过点P作PM⊥OP，与OA交于点M；
(3)过点P作PN⊥OA，垂足为N；
(4)图中线段________的长表示点P到射线OA所在直线的距离．
图15
18．如图16，点B，O，C在同一直线上，AO⊥BC，DO⊥OE.
(1)在不添加其他条件的情况下，请写出3个图中有关角的等量关系；
(2)找出图中所有互余的角．
图16
19．已知：如图17所示，AB，CD，EF三条直线相交于一点O，且OE⊥AB，∠COE＝20°，OG平分∠BOD，求∠BOG的度数．
图17
20一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N是位于公路AB两侧的村庄，如图18所示．
(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P，Q的位置；
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远(分别用文字表述你的结论，不必说明理由)?
图18
6.9 直线的相交
第2课时 垂线
知识点1 垂直的定义
1．如图6－9－15，直线AB与CD相交于点O，(1)若∠AOC＝90°，则AB________CD；(2)若AB⊥CD，则∠AOC的度数为________．
图6－9－15
2．如图6－9－16，点O在直线l上，当∠1与∠2满足条件：____________时，OA⊥OB.
图6－9－16
知识点2 垂直的性质及作图
3．2017·柳州如图6－9－17，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出( )
图6－9－17
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
4．在图6－9－18中，分别过点P作AB的垂线．
图6－9－18
知识点3 垂线段及其性质
5．如图6－9－19，三角形ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
图6－9－19
则点C到直线AB的距离是( )
A．线段CA的长
B．线段CD的长
C．线段AD的长
D．线段AB的长
6．2017·富阳期末点A为直线l外一点，点B在直线l上，若AB＝5厘米，则点A到直线l的距离( )
A．大于5厘米 B．等于5厘米
C．小于5厘米 D．不大于5厘米
7．如图6－9－20，要把河水引到C处，使所开水渠最短，请设计出水渠并说明设计依据．
图6－9－20
知识点4 与垂直相关的计算
8．如图6－9－21，已知AC⊥AB，∠1＝30°，则∠2的度数是( )
图6－9－21
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图6－9－22所示，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，则∠DOB的度数为( )
图6－9－22
A．36° B．54° C．64° D．72°
10．如图6－9－23，直线AB，CD相交于点O，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是________．
图6－9－23
11．如图6－9－24所示，OA⊥OB，OD⊥OC，若∠AOC＝32°，则∠BOD＝________°.
图6－9－24
12. 如图6－9－25，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，求∠AOC的度数．
图6－9－25
13．两条直线相交所构成的四个角中：①有三个角都相等；②有一对对顶角互补；③有一个角是直角．其中能判定这两条直线垂直的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
图6－9－26
14．2017·西湖月考如图6－9－26，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°31′，则下列结论不正确的是( )
A．∠AOD与∠1互为补角
B．∠1＝∠3
C. ∠1的余角等于75°29′
D．∠2＝45°
15．如图6－9－27，OA⊥OC，OB⊥OD，有下列结论：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＝∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.其中正确的是( )
图6－9－27
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
16．如图6－9－28所示，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为PA＝5.52米，PB＝5.13 米，则小明的真实成绩为________米．
图6－9－28
17．如图6－9－29，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，OF⊥CD，OG⊥OE，∠BOD＝52°.
(1)求∠AOF的度数；
(2)∠EOF与∠BOG是否相等？请说明理由．
图6－9－29
18．(1)在图6－9－30①中以点P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．
图6－9－30
(2)量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是________．
(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图②和图③中∠P和∠1之间的数量关系(不要求写出理由)．
图②：________；图③：________．
(4)由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角________(不要求写出理由)．
1．(1)⊥ (2)90°
2．∠1＋∠2＝90°
3．A
4．解：如图．
5．B
6．D [解析] AB不一定垂直于l.
7．解：如图所示，CM即为所开水渠．依据：垂线段最短．
8．C [解析] ∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∵∠1＝30°，∴∠2＝60°.故选C.
9．B [解析] 由OC⊥OD，可得∠COD＝90°，所以∠COA＋∠DOB＝90°.又∠COA＝36°，所以∠DOB＝54°.
10．垂直 [解析] 因为∠2＝55°，所以∠AOD＝55°，所以∠AOE＝35°＋55°＝90°，所以OE与AB垂直．
11．32
12．解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°.
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOD＝∠BOE＝45°，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°.
13．D.
14．C
15．C
16． 5.13 [解析] BP的长是垂直距离，是真实成绩．
17．解：(1)∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°.
又∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝52°，
∴∠AOF＝∠COF－∠AOC＝90°－52°＝38°.
(2)相等．
理由：由(1)知∠AOC＝∠BOD＝52°.
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE＝∠AOC＝26°.
又∵OG⊥OE，∴∠EOG＝90°，
∴∠BOG＝180°－∠AOE－∠EOG＝64°.
而∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝38°＋26°＝64°，
∴∠EOF＝∠BOG.
18． 解：(1)如图①所示：
(2)互补
(3)如图②、图③所示：
图②：相等；图③：相等或互补．
(4)相等或互补
第6章
1．下列图形中，属于立体图形的是( )
图6－K－1
2．下列说法中，正确的是( )
A．垂线最短
B．两点之间直线最短
C．如果两个角互补，那么这两个角中一个是锐角，一个是钝角
D．同角的补角相等
3．如图6－K－2，从A到B有三条路径，最短的路径是③，理由是( )
图6－K－2
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．过一点有无数条直线 D．直线比曲线和折线短
4．如图6－K－3，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，其中其长度能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )
图6－K－3
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 5条
5．如图6－K－4，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠EOF＝32°，则∠BOC的大小为( )
图6－K－4
A．120° B．122°
C．132° D．148°
6．若∠A＝36°24′，则∠A的余角的度数为________．
7．如图6－K－5，已知点A，B，C，D在同一直线上，且线段AB＝BC＝CD＝1 cm，那么图中所有线段的长度之和是________cm.
图6－K－5
8．作图题：如图6－K－6，平面内有四个点A，B，C，D，请你利用三角尺或量角器，根据下列语句画出符合要求的图.
(1)画直线AB，射线AC，线段BC；
(2)在直线AB上找一点M，使线段MD与线段MC之和最小；
(3)过点B作直线l⊥直线AB，垂足为B.
图6－K－6
9．已知：如图6－K－7，点C，D在AB上，D是AB的中点，AC＝AD，若CD＝4，求AB的长．
图6－K－7
10．如图6－K－8，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC∶∠AOD＝3∶7.
(1)求∠DOE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．
图6－K－8
1．C
2．D [解析] A．垂线段最短，故该选项错误；B.两点之间线段最短，故该选项错误；C.这两个角还可以为两个直角，故该选项错误；D.同角的补角相等，故该选项正确．故选D.
3．B 4.D 5.D
6．53°36′ [解析] ∠A的余角＝90°－36°24′＝53°36′.
7．10
8．解：(1)(2)(3)如图所示．
9．解：设AD＝x，则AC＝x，
CD＝AD－AC＝x＝4，
解得x＝6，∴AD＝6.
∵D是AB的中点，
∴AB＝2AD＝12.
故AB的长为12.
10．解：(1)∵两直线AB，CD相交于点O，∠AOC∶∠AOD＝3∶7，
∴∠AOC＝180°×＝54°，
∴∠BOD＝54°.
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOD＝×54°＝27°.
(2)∵OF⊥OE，∠DOE＝27°，
∴∠DOF＝90°－27°＝63°，
∴∠COF＝180°－63°＝117°.
