第3章 圆的基本性质单元测试卷（含解析）

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第三章圆的基本性质单元测试卷
　
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（　　）
A．60° B．80° C．90° D．100°
2．如图，等边△ABC内接于⊙O，动点P在劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（　　）
A．30° B．45° C．60 D．90°
3．如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1 A2 A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（　　）
A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm
4．用圆心角为60°，半径为24cm的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（　　）
A．4πcm B．8πcm C．4cm D．8cm
5．已知点P是半径为5的⊙O内的一个定点，且OP=3，则过点P的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
6．如图，一个长方体盒子，BC=CD=8，AB=4，则沿盒子表面从A点到D点的最短路程是（　　）
A．4 B．4+4 C．4+8 D．4
7．如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是（　　）
①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
8．一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（　　）
A．300° B．150° C．120° D．75°
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　）
A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA
10．如图，AB为⊙O的直径，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在下半圆上移动时，（不与点A、B重合），下列关于点P描述正确的是（　　）
A．到CD的距离保持不变 B．到D点距离保持不变
C．等分 D．位置不变
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．如图，点O是∠EPF的平分线上一点，⊙O和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D，根据上述条件，可以推出　 　．（要求：填写一个你认为正确的结论即可，不再标注其他字母，不写推理过程）
12．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为　 　cm．
13．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为　 　；当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为　 　．
14．如图，已知A、C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰Rt△ABC，∠C=90°．连接OB．则OB的最小值为　 　．
15．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′B′C′，则图中阴影部分图形的面积为　 　．（结果保留π）．
16．如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为6πcm，则该圆锥的侧面积为　 　．
17．如图，矩形木块ABCD放置在直线L上，将其向右作无滑动的翻滚，直到被正方形PQRS挡住为止，已知AB=3，BC=4，BP=16，正方形木块PQRS边长为2，则点D经过的路线长为　 　．
18．如图，已知在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=10，正方形FCDE的四个顶点分别在和半径OA、OB上，则CD的长为　 　．
19．A、B两点在数轴上，点A所表示的实数是﹣3，⊙A的半径为2，⊙B的半径为3，若⊙B与⊙A相切，则点B所表示的实数是　 　．
20．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD的长是　 　cm．
　
三．解答题（共6小题，满分50分）
21．（6分）如图，⊙O的直径EF为10cm，弦AB、CD分别为6cm、8cm，且AB∥EF∥CD．求图中阴影部分面积之和．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为4，求BC的长．
23．（8分）有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱项距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时，高度为5m的船是否能通过该桥？请说明理由．
24．（8分）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，圆O的半径为1，
（1）找出当AP+BP能得到最小值时，点P的位置，并证明
（2）求出AP+BP最小值．
25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．
26．（12分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）如图1，求证：KE=GE；
（2）如图2，连接CABG，若∠FGB=∠ACH，求证：CA∥FE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE=，AK=，求CN的长．
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，又∠B=80°，
∴∠ADC=100°，
故选：D．
2．解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BPC=∠A=60°．
故选：C．
3．解：根据题意得：=4πcm，
故选：D．
4．解：根据扇形的弧长公式l===8π，
设底面圆的半径是r，
则8π=2πr
∴r=4cm，
这个圆锥底面的半径是4cm．
故选：C．
5．解：如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
Rt△OAP中，OP=3，OA=5；
根据勾股定理，得AP=4；
∴AB=2AP=8；
故过点P的弦的长度都在8～10之间；
因此弦长为8、9、10；
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有4条．
故选：C．
6．解：如图，把正面和左面展开，形成一个平面，AD两点之间线段最短．
即AD===4（cm）；
如图，把正上面和上面展开，形成一个平面，AD两点之间线段最短．
即AD===4（cm）．
如图，把右面和上面展开，形成一个平面，AD两点之间线段最短．
AD===4（cm），
故从A点到D点的最短路程为：4cm．
故选：D．
7．证明：①∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，
故①错误，
②如图1，连结CD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
假设AC平分∠BAF成立，则有DC=BC，
∴在RT△FDB中，DC=BC=FC，
∴AC⊥BF，且平分BF，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，与①中的AC垂直BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，
故②错误，
③如图2：
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴D、P、C、F四点共圆，
∴∠CFP和∠CDB都对应，
∴∠CFP=∠CDB，
∵∠CDB=∠CAB，
∴∠CFP=∠CAB，
又∵∠FPC=∠APM，
∴△AMP∽△FCP，
∠ACF=90°，
∴∠AMP=90°，
∴FP⊥AB，
故③正确，
④∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AF．
故④正确，
综上所述只有③④正确．
故选：D．
8．解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，
∴S=Rl，即60π=×R×10π，
解得：R=12，
∴S=60π=，
解得：n=150°，
故选：B．
9．解：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴=，AD=DC，故A、B正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，故C正确；
∵无法确定∠DAB=∠CBA，故D错误，符合题意．
故选：D．
10．解：不发生变化．
连接OP，
∵OP=OC，
∴∠P=∠OCP，
∵∠OCP=∠DCP，
∴∠P=∠DCP，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴=，
∴点P为的中点不变．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．解：如图：作OM⊥AB，交AB于点M，ON⊥CD，交CD于点N，
点O是∠EPF的平分线上一点，
∴OM=ON，根据在同圆中两弦的弦心距相等，则弦长相等，
知，AB=CD，
故弧AB=弧CD．
12．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5
故答案为：2.5
13．解：作GM⊥AC于M，连接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA=OB，
在Rt△AGO中，∵AG=2，OG=1，
∴AG=2OG，OA==，
∴∠GAO=30°，AB=2AO=2，
∴∠AGO=60°，
∵GC=GA，
∴∠GCA=∠GAC，
∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA=∠GAC=30°，
∴AC=2OA=2，MG=CG=1，
∵∠AFC=90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM=﹣1．
故答案为2，﹣1．
14．解：如图，作等腰直角三角形△OCO′，CO=CO′，∠OCO′=90°，
∵AC=CB，∠ACB=∠OCO′，
∴△ACO≌△BCO′，
∴OA=O′B，
∴当点C固定时，点B在以O′为圆心OA为半径的圆上运动，
∴当O、B、O′共线时，OB的值最小，最小值=OO′﹣O′B=2﹣2．
故答案为2﹣2．
15．解：根据旋转的性质和勾股定理得到：A′B2=AB2=22+32=13．
S阴影=﹣×2×3=．
故答案是：．
16．解：由题意得，=6π，
解得，OA=9，
∴该圆锥的侧面积=×6π×9=27π（cm2），
故答案为：27πcm2．
17．解：第一次旋转是以点C为圆心，CD为半径，旋转角度是90度，
所以弧长==1.5π；
第二次旋转是以点D为圆心，所以没有路程；
第三次旋转是以点A为圆心，AD为半径，角度是90度，
所以弧长==2π；
第四次是以点B为圆心，BD为半径，角度是30度，
所以弧长==π；
所以点D经过的路线长=1.5π+2π+π=π．
故答案为：π．
18．解：过点O作OH⊥CF于点H，交DE于点K，连接OF，
∵OH过圆心，
∴CH=HF，
∵四边形FCDE是正方形，
∴OH⊥DE，DK=EK，
∴△OEK是等腰直角三角形，OK=EK，
设CD=x，则HK=x，HF=OK=EK=，
在Rt△OHF中，OH2+HF2=OF2，即（x+）2+（）2=102，解得x=2．
即CD的长为2．
故答案为：2．
19．解：设数轴上点B所表示的实数是b，
如果⊙B与⊙A外切，则|b﹣（﹣3）|=2+3，
即|b+3|=5，
解得b=2或﹣8；
如果⊙B与⊙A内切，则|b﹣（﹣3）|=3﹣2，
即|b+3|=1，
解得b=﹣2或﹣4．
故答案为2或﹣8或﹣2或﹣4．
20．解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA=90°，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，
∴∠ABD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD2+BD2=AB2，
∵AB=10cm，∴AD=5cm．
故答案为5．
三．解答题（共6小题，满分50分）
21．解：如图，作直径MN，使MN⊥EF于O，交AB于G，交CD于H；连接OA、OB、OC、OD；
在Rt△OBG中，BG=3cm，OB=5cm，因此OG=4cm；
同理：在Rt△OCH中，CH=4cm，OC=5cm，因此OH=3cm；
sin∠DOF==，
sin∠BOF==，
sin∠COE==，
sin∠AOE==，
即∠DOF=∠AOM=∠COE=∠BOM，∠CON=∠DON=∠AOE=∠BOF，
因此S扇形OAE=S扇形OBF=S扇形CON=S扇形ODN
∴S阴影=S△ABE+S弓形AMB+S△CDF+S弓形CND
=S△OAB+S弓形AMB+S△OCD+S弓形CND
=S扇形OAB+S扇形OCN+S扇形ODN
=S扇形OAB+S扇形OAE+S扇形OBF
=S⊙O
=12.5πcm2．
故图中阴影部分面积之和为12.5πcm2．
22．（1）证明：延长CE交⊙O于点M，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴=，
∵C是的中点，
∴=，
∴=，
∴∠BCM=∠CBD，
∴CF=BF；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴∠BEF=∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠FBE，
∴Rt△ADB∽Rt△FEB，
∴，
∵AD=2，⊙O的半径为4，
∴AB=8，
∴，
∴BF=4EF，
又∵BF=CF，
∴CF=4EF，
利用勾股定理得：BE==EF，
又∵∠ACB=∠CEB=90°，∠ABC=∠CBE，
∴△EBC∽△ECA，
∴，
∴CE2=AE BE，
∴（CF+EF）2=（8﹣BE） BE，
∴25EF2=（8﹣EF） EF，
∴EF=，
∴BC==2．
23．解：不能通过．
设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18，
R2=302+（R﹣18）2，
R2=900+R2﹣36R+324
解得R=34m
连接OM，在Rt△MOE中，ME=16，
OE2=OM2﹣ME2即OE2=342﹣162=900，
∴OE=30，
∴DE=34﹣30=4，
∴不能通过． （12分）
24．（1）证明：过A作AA′⊥MN于E，连接BA′．
∵MN过圆心O，
∴AE=EA′，
∴AP=PA′，即AP+BP=PA′+BP，
根据两点间线段最短，当A′，P，B三点共线时，PA′+BP=BA'，
AP+BP此时为最小值，
∴P位于A′B与MN的交点处；
（2）解：∵点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠AON=∠A'ON=60°，
∵点B是弧AN的中点，
∴=，
∴∠BON=30°，
∴∠BOA'=∠A'ON+∠BON=90°，
∵OB=OA=1，
∴BA′=，即AP+BP最小值为．
25．证明：∵CD⊥AB，CO⊥AB，
∴∠OEC=∠OFA=90°，AD=2AF，CD=2CE，
在△OCE和△OAF中，
，
∴△OCE≌△OAF（AAS），
∴CE=AF，
∴AD=CD．
26．（1）证明：连接OG．
∵EF切⊙O于G，
∴OG⊥EF，
∴∠AGO+∠AGE=90°，
∵CD⊥AB于H，
∴∠AHD=90°，
∴∠OAG=∠AKH=90°，
∵OA=OG，
∴∠AGO=∠OAG，
∴∠AGE=∠AKH，
∵∠EKG=∠AKH，
∴∠EKG=∠AGE，
∴KE=GE．
（2）设∠FGB=α，
∵AB是直径，
∴∠AGB=90°，
∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，
∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，
∵∠FGB=∠ACH，
∴∠ACH=2α，
∴∠ACH=∠E，
∴CA∥FE．
（3）作NP⊥AC于P．
∵∠ACH=∠E，
∴sin∠E=sin∠ACH==，设AH=3a，AC=5a，
则CH==4a，tan∠CAH==，
∵CA∥FE，
∴∠CAK=∠AGE，
∵∠AGE=∠AKH，
∴∠CAK=∠AKH，
∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH==3，AK==a，
∵AK=，
∴a=，
∴a=1．AC=5，
∵∠BHD=∠AGB=90°，
∴∠BHD+∠AGB=180°，
在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，
∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，
∴∠AKH=∠ABG，
∵∠ACN=∠ABG，
∴∠AKH=∠ACN，
∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，
∵NP⊥AC于P，
∴∠APN=∠CPN=90°，
在Rt△APN中，tan∠CAH==，设PN=12b，则AP=9b，
在Rt△CPN中，tan∠ACN==3，
∴CP=4b，
∴AC=AP+CP=13b，
∵AC=5，
∴13b=5，
∴b=，
∴CN==4b=．
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