第3章 实数单元测试卷（含解析）

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第三章实数单元测试
　
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（　　）
A．a=±B B．a=B C．a=﹣B D．以上结论都不对
3．3的算术平方根是（　　）
A．± B． C．﹣ D．9
4．计算的结果是（　　）
A．±3 B．3 C．3 D．
5．如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）
A．a＞0 B．a+b＞0 C．a﹣b＞0 D．ab＜0
7．如图数在线的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，判断下列各式何者正确（　　）
A．（a﹣1）（b﹣1）＞0 B．（b﹣1）（c﹣1）＞0
C．（a+1）（b+1）＜0 D．（b+1）（c+1）＜0
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示用下列结论正确的是（　　）
A．a+b＞a＞b＞a﹣b B．a＞a+b＞b＞a﹣b
C．a﹣b＞a＞b＞a+b D．a﹣b＞a＞a+b＞b
　
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
9．﹣的相反数是　 　，绝对值是　 　，倒数是　 　．
10．已知：（x2+y2+1）2﹣4=0，则x2+y2=　 　．
11．已知x=，则x3+12x的算术平方根是　 　．
12．在3和4之间找出两个无理数：　 　和　 　．
13．a，b满足，分解因式（x2+y2）﹣（axy+b）=　 　．
14．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，，，…，，、如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选　 　个数．
15．对于任意不相等的两个实数a，b．定义运算※如下：a※b=，如3※2==，那么8※4=　 　．　
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
16．（12分）计算：
（1）；
（2）．
17．（12分）（1）求出下列各数：①2的算术平方根；②﹣27的立方根；③的平方根．
（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上，将这些数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
18．（12分）（1）填写下表．
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
想一想上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？
（2）利用规律计算：已知，，，用k的代数式分别表示a、b．
（3）如果，求x的值．
19．（10分）在实数范围内，方程x2=﹣1无解，为使开方运算在负数范围内可以进行，我们规定i2=﹣1．定义一种新数：Z=a+bi（{a、b为实数}），并规定实数范围内的所有运算法则对于新数Z=a+bi （{a、b为实数}）；仍然成立．例如：Z2=（a+bi）2=（a+bi） （a+bi）=a2+2a bi+（bi）2=a2﹣b2+2abi，若，则，依据上述规定，
（1）若，试求Z3的值；
（2）若，试求z2008的值．
20．（14分）阅读理解题：
几百年前的某一天，数字王国的国王召集他的臣民们开会．整数、分数等大批臣民纷纷到场，一时间会场里你推我挤，熙熙嚷嚷，吵个不休．国王非常生气，就想了一个办法，让他们排排站，他画了一条直线，指定直线上的某点O为数零的位置，叫原点，并且规定向右的方向为正方向，负整数和正整数分别站在原点左右两侧指定的位置上，正分数和负分数在数O的指挥下也找到了自己的位置，这时±，±，±…，还有π等无理数不干了：“国王，我们站在哪里呢？”“别着急，直线上有你们的位置”．于是国王亲自动手找到了他们各自的位置．这时这条直线排满了有理数、无理数，国王下令：“这条直线就叫做数轴吧．”
（1）请你画一条数轴．
（2）在你所画的数轴上，你能找出、、的位置吗？怎样找到的？
（3）﹣，﹣，﹣的位置呢？
（4）通过阅读以上材料和解题，你明白了什么？
　21. （12分）在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．
（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；
（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．解：在π、，﹣，，3.1416，0.中，
无理数是：π，共2个．
故选：B．
2．解：∵a是9的平方根，
∴a=±3，
又B=（）2=3，
∴a=±b．
故选：A．
3．解：3的算术平方根是，
故选：B．
4．解：==3，
故选：B．
5．解：∵=，
而（0＜x＜150）是一个整数，且x为整数，
∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式，
所以可以是6，24，54，96共有4个．
故选：B．
6．解：由数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，ab＜0，
∴选项D正确．
故选：D．
7．解：根据数轴可知c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，
A、∵a﹣1＜0，b﹣1＞0，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，故选项错误；
B、∵b﹣1＞0，c﹣1＜0，∴（b﹣1）（c﹣1）＜0，故选项错误；
C、a+1＞0，b+1＞0，∴（a+1）（b+1）＞0，故选项错误；
D、b+1＞0，c+1＜0，∴（b+1）（c+1）＜0，故选项正确．
故选：D．
8．解：由数轴上a，b两点的位置可知，
∵b＜0，a＞0，|b|＜|a|，
设a=6，b=﹣2，
则a+b=6﹣2=4，a﹣b=6+2=8，
又∵﹣2＜4＜6＜8，
∴a﹣b＞a＞a+b＞b．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．解：﹣的相反数是，绝对值是，倒数是﹣=．
故本题的答案是，，．
10．解：∵（x2+y2+1）2﹣4=0，
∴（x2+y2+1）2=4，
∵x2+y2+1＞0，
∴x2+y2+1=2，
∴x2+y2=1．
故答案为：1．
11．解：设=a，=b．则，．
又4==a3b3，
∴x=a2b﹣ab2，x2=a4b2﹣2a3b3+a2b4，
故原式=x（x2+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），
=ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），
=a3b3（a3﹣b3），
=，
=4×2=8．
则其算术平方根是2．
故答案为：2．
12．解：如π，等，
故答案为：π，．
13．解：∵a，b满足=0，
∴a+2=0，b﹣9=0，
解得：a=﹣2，b=9，
∴（x2+y2）﹣（axy+b）=（x2+y2）﹣（﹣2xy+9）=（x2+y2+2xy）﹣9=（x+y）2﹣9=（x+y+3）（x+y﹣3）．
故答案为：（x+y+3）（x+y﹣3）．
14．解：左边第一个数是1，
第二个是=≈0.7，
第三个数是=≈0.56，
第四个数是==0.5，
第五个数是=≈0.44，
第六个数是=≈0.41，
所以可以把这些数加起来，得出至少要5个数和才大于3．
故答案为：5．
15．解：根据题中的新定义得：8※4===，
故答案为：．
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
16．解：（1）原式=32﹣（）2=9﹣5=4；
（2）．
17．解（1）①2的算术平方根是；
②﹣27的立方根是﹣3；
③=4，4的平方根是±2．
（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上如下：
用“＜”连接为：﹣3＜﹣2＜＜2．
18．解：（1）0.01，0.1，1，10，100，
被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位．
（2）∵，，，
∴，b=10k．
（3）∵，
∴x=70000．
19．解：（1）Z3=z2×z
=（﹣﹣i）×（﹣+i）
=﹣（i）2
=﹣×（﹣1）
=1；
（2）z=﹣+i，z2=﹣﹣i，z3=1，z4=﹣+i，
∵2008÷3=669…1，
∴z2008应和z的值相等，z2008=﹣+i．
20．解：（1）如图；
（2）∵以单位1为直角边作一等腰直角三角形OAB，
∴OB=，
∴以OB为一直角边，B为直角顶点，1为另一直角边再建直角三角形，
∴斜边为．
∵以，为直角边再建立直角三角形，
∴斜边为，
∴这样，，，线段的长度就确定了．以O为圆心，
∴，，分别为半径画弧交于原点右方的点，
即为，，对应的点；
（3）交于原点左方的点即为﹣，﹣，﹣所对应的点；
（4）有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示，实数与数轴上的点具有一一对应的关系．
21.（1）解：设这个四位数为（1≤s≤9，0≤t≤9，0≤a≤9，0≤b≤9，且s、t、a、b为整数），
由题意得：s+b=t+a=4，
∴b=4﹣s，a=4﹣t，
∵四位数为能被11整除，
∴=1000s+100t+10a+b，
=1000s+100t+10（4﹣t）+4﹣s，
=999s+90t+44，
=1001s+88t+44+2t﹣2s，
=11（91s+8t+4）+2（t﹣s），
∵91s+8t+4是整数，
∴2（t﹣s）是11的倍数，即t﹣s是11的倍数，
∵1≤s≤9，
∴﹣9≤﹣s≤﹣1，
∵0≤t≤9，
∴﹣9≤t﹣s≤8，
∴t﹣s只能为0，即t=s，
∵是整数，4﹣s≥0，4﹣t≥0，
∴s=t=2或s=t=4，
当s=t=2时，a=b=2，
当s=t=4时，a=b=0，
综上所述，这个四位“对称等和数”有2个，分别是：2222，4400；
（2）证法一：
证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A=（1≤a≤9，a为整数），
∴2a=1+5，a=3，
∴A=135，
由题意设：B=，C=，则b+c=2x，d+e=2y，
∵A+B+C=1800，
∴B+C=1800﹣135=1665，
∴=1665，
∴15≤b+d≤16，
①当b+d=15时，x+y=16，c+e=5，
∴b+d+c+e=15+5=20，
即2x+2y=20，
x+y=10≠16，不符合题意；
②当b+d=15时，x+y=15，c+e=15，
∴b+d+c+e=15+15=30，
即2x+2y=30，
x+y=15，符合题意；
∴y=﹣x+15，
③当b+d=16时，x+y=6，c+e=5，
∴b+d+c+e=16+5=21，
即2x+2y=21，
x+y=10.5≠6，不符合题意；
④当b+d=16时，x+y=5，c+e=15，
∴b+d+c+e=16+15=31，
即2x+2y=31，
x+y=15.5≠5，不符合题意；
综上所述，则y=﹣x+15．
证法二：
证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A=（1≤a≤9，a为整数），
∴2a=1+5，a=3，
∴A=135，
由题意设：B=，C=，
∵A+B+C=1800，
即135++=1800，
+=1665，
100m+10x+2x﹣m+100n+10y+2y﹣n=1665，
99（m+n）+12（x+y）=1665，
33（m+n）+4（x+y）=555，
x+y==139﹣8（m+n）+，
∵0≤x≤9，0≤y≤9，且x、y是整数，
∴是整数，
∵1≤m≤9，1≤n≤9，
∴2≤m+n≤18，
∴3≤1+m+n≤19，
则1+（m+n）=4，8，12，16，
∴m+n=3，7，11，15，
当m+n=3时，x+y=139﹣8×3+=114（舍），
当m+n=7时，x+y=139﹣8×7+=81（舍），
当m+n=11时，x+y=139﹣8×11+=48（舍），
当m+n=15时，x+y=139﹣8×15+=15，
∴y=﹣x+15．
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