1.5 全等三角形的判定（2）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

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浙江版八年级数学上册第一章1.5全等三角形的判定
第2课时 三角形全等的判定（2）
【知识清单】
1.全等三角形判定2: 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）；
2.注意书写格式：边角边中的角是指两对应边的夹角，在证明过程中角一定要放在两组对应边的中间.
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
3.灵活运用三角形全等判定（SSS、SAS）：在证明两个三角形全等时要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，然后再灵活运用三角形全等判定（SSS、SAS）判定两个三角形全等.
4.线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
5.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
6.全等变换的应用：全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换.
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换.
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换.
在三种变换，变换前后的图形的形状、大小不变，只是图形位置发生了改变，因此称之为全等变换.
7.考点：利用垂直平分线的性质、全等三角形以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系.
【经典例题】
例题1，如图AB=AD，∠1=∠2，AC=AE，试说明BC=DE.
【分析】由已知∠1=∠2，根据角的等量加（减）等量和（差）相等，所以∠BAE＋∠2 =∠1＋∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，再由已知AB=AD，AC=AE，利用三角形全等判定方法SAS，便得出BC=DE.
【详解】∵∠2=∠1（已知），
∴∠BAE＋∠2 =∠1＋∠BAE（等式的性质）.
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS）.
∴BC=DE（全等三角形对应边相等）.
【点评】：本题考查三角形全等的判定方法SAS公理，证明∠BAC=∠DAE，即理解并掌握等量加（减）等量和（差）相等这个基本事实是解决问题的关键.
例题2，如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，△ADC的周长为7cm，BC比AC大3 cm，若AB为奇数，求AB的长．
【分析】：由ED是AB的垂直平分线可得AD=BD，由△ADC的周长可以推出AC+AB的长度，再由BC比AC大3，得出BC－AC=3 cm，最后利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边性质定理，即可解决问题．
【详解】：∵ED是AB的垂直平分线（已知），
∴AD=BD（线段垂直平分线性质定理）.
∵△ADC的周长为7cm（已知），
∴△ADC的周长=AC＋CD＋AD=AC＋CD＋BD=AC＋BC=7 cm.
又∵BC比AC大3 cm（已知），
∴BC－AC=3 cm（由题意得到等式）.
∵BC－AC＜AB＜BC＋AC（三角形三边关系定理），
∴3＜AB＜7.（等量代换）
∵AB为奇数，
∴AB=5 cm.
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、三角形三边关系定理等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质和整体代入的数学思想，属于中考常考题型．
【夯实基础】
1.下列命题是假命题的是（ ）
A.用直尺和圆规作已知角的平分线的依据是SSS公理 B.一条线段只能被一条直线垂直平分
C.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.旋转是一种只改变位置的全等变换
2.如图，∠1=∠2，要用“SAS”证△ABC≌△ADC，还需添加的条件是（ ）
A. ∠B=∠D B. ∠BAC=∠DAC C.AB=AD D.BC=DC
3.若确定，则需要满足的条件是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，要用“SAS”证明AD=CB，需要添加的辅助线是 .（写出一条即可）
5.如图，把△ABC沿BC翻折得△DBC，连接AD，则BC与AD的位置关系是 .
6.如图①AB=CB，AD=CD时，则图中有一对全等三角形；
（1）如图②在BD上取一个点E时，图中共有全等三角形 对？
（2）如图③在线段BD上取两个点E，F时，图中共有全等三角形 对？
（3）若在线段BD上取n个点时（不包括端点B、D），图中共有全等三角形 对？（用含n的代数式表示即可）
7.如图，AF垂直平分BC，AD=CE，DB=AE，
求证:∠D=∠E.
【提优特训】
8.如图所示，△ABC中，AB=BC，BD=CE，∠ABC=∠C，
AD与BE相交于点F，若∠DFE=120°，则∠C的度数是（　　）
A．30° B．45° C．50° D．60°
9.如图，若DE和FG分别垂直平分AB和AC，若△AEG周长为15cm，则BC的长度为（　　）
A．30 cm B．22.5 cm C．15 cm D．7.5 cm
10.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是BC上的一点，过点B作BE∥AC，使BE=CD，连接CE与AD相交于点G，则AD与CE的数量关系是 ，位置关系是 .
11.如图，点C、D、E三点分别是AB、CG、CF的中点，若∠1=∠2，CD=CE，∠F=27°，∠A=22°则∠G = .
12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AC=AF，过点F作EF∥CB ，交CD于点E，连接AE并延长交CB于M，CE=FE.求证:AM是∠CAB的平分线.
13.如图，点E、F在直线BD上，AD∥CB，DE=BF，AD=CB，求证：∠BAD=∠DCB.
14.阅读下列材料，并解决问题：
如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=7，AC=3，试确定AD的取值范围.
分析：确定AD的取值范围，根据我们已有的知识，只有在一个三角形中，利用三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边进行求解，而这个图形中的AB、AD、AC，并不在一个三角形中，因此必须通过辅助线，将其拉到一个三角形中，然后再解决问题.
解：如图②，延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD.
∵AD是BC边上的中线（已知），
∴BD=CD（中点定义），
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC=3（全等三角形对应边相等），
∵AB=7，AC=3(已知)，
∴7－3＜AE＜7＋3（三角形三边关系定理），
即4＜2AD＜10，
故答案为：2＜AD＜5．
本题考查了全等三角形的判定（SAS定理）、三角形三边关系定理，正确作出辅助线是解决问题的关键. 三角形中线的辅助线一般作法：延长加倍法，延长中线，使其延长的线段与原中线长度相等，构造全等三角形.
如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AD=3，则AC的取值范围是（ ）
A.1＜AC＜5 B. 2＜AC＜5 C. 2＜AC＜8 D. 1＜AC＜11
【中考链接】
15.2018浙江衢州13、山东省菏泽17、江苏苏州21．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　　（只需写一个，不添加辅助线）．
16.2018年四川广安13．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=　　度．
17. 2018 南充18．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．
求证：∠C=∠E．
18.2018 广州18.如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．
求证：∠A=∠C．
参考答案
1.C 2.D 3.B 4.AC或BD 5.BC垂直平分AD 6.（1）3 （3）6 （3）
7.证明：连接AB、AC，
∵ AF垂直平分BC（已知），
∴ AB=AC（线段垂直平分线的性质）.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA（SSS）
∴∠D=∠E（全等三角形对应角相等）.
12.证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB=90°（垂直定义），
∴∠3+∠B=90°（直角三角形中两锐角互余）.
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠1+∠3=90°（直角定义）.
∴∠1=∠B（等式的性质）.
∵EF∥CB （已知），
∴∠2=∠B（两直线平行同位角相等）.
∴∠1=∠2（等量代换）.
在△ACE和△AFE中，
∴△ACE≌△AFE（SAS）.
∴∠CAE=∠FAE(全等三角形对应角相等)
∴AM是∠CAB的平分线（角平分线定义）.
13.证明：∵AD∥CB（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行内错角相等），
∴∠ADE=180°－∠1，∠CBF=180°－∠2（邻补角定义）.
∴∠ADE=∠CBF（等量代换）
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS）.
∴∠E=∠F，∠DAE=∠BCF（全等三角形对应角相等）
∴AE=CF（全等三角形对应边相等）
∵DE=BF（已知）
∴DE+BD=BF+DB（线段的等量加等量和相等）
即：EB=FD
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
∴∠BAE=∠DCF（全等三角形对应角相等）
∴∠BAE－∠DAE=∠DCF－∠BCF（角的等量减等量差相等）
即：∠BAD=∠DCB.
14.解：如图④延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=6.
∵AD是BC边上的中线（已知），
∴BD=CD（中点定义），
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC=5（全等三角形对应边相等），
在△ABC中，
AE－EC＜AC＜AE＋EC（三角形三边关系定理）.
即6－5＜AC＜6＋5.
1＜AC＜11
故选D.
15.【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质
可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加AB=ED．
∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
即BC=EF．
∵AB∥DE，
∴∠B=∠E．
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AB=ED．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16.【考点】：线段垂直平分线的性质．
【专题】：推理填空题．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，
得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
故答案为：24．
17.【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【考点】：全等三角形的判定与性质．
【专题】：证明题；图形的全等．
【分析】：由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．
【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠C=∠E．
18.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形．
【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB
是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可．
【解答】证明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（SAS），
∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．
例题1图
例题2图
第2题图
第5题图
第4题图
第6题图①
第6题图②
第6题图③
第7题图
第9题图
第8题图
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图②
第14题图①
第14题图③
第15题图
第16题图
第17题图
第18题图
第7题图
第12题图
第13题图
第14题图④
第15题图
第16题图
第17题图
第18题图
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