1.5 全等三角形的判定（3）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

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浙江版八年级数学上册第一章1.5全等三角形的判定
第3课时 三角形全等的判定（3）
【知识清单】
1. 全等三角形判定3: 两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；
2.注意书写格式：角边角中的边是指两对应角的夹边，在证明过程中边一定要放在两组对应角的中间.
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
3.灵活运用三角形全等判定（SSS、SAS、ASA）：在证明两个三角形全等时要灵活运用所给的条件，选择不同的判断方法，尤其一个题目需要多次全等才能完成的，所以在证明过程中一定要保持清醒的头脑，清晰的思路，规范的书写格式.
4.考点：证明三角形全等，以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系.
【经典例题】
例题1，下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）
A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
图丙的三角形中第三个角为61°，与△ABC满足三角形全等的判定方法：ASA，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，属于最基本题型.
例题2，如图，BE是∠MBN的平分线，点A是BN上的任意一点，过点A作AE⊥BE于点E，过A作AC⊥BM于C，AC与BE相交于点H，若AC=BC，试猜想AE与BH的数量关系，并说明理由．
【答案】：BH=2AE. 理由如下：
【分析】：要想得出AE与BH的关系，根据现有的知识只能用三角形全等来解决，而图中没有全等三角形可以利用，因此需要添加辅助线构造全等三角形.延长AE交BM于点G．便可得出△HBC≌△GAC（ASA），得到AG=BH；再由BE平分∠MBN，可得∠ABE=∠GBE；由AE⊥BE，可得∠AEB=∠GEB=90°，从而推出△BAE≌△BGE（ASA），得出AG=2AE，所以BH=2AE.
【详解】：延长AE交BM于点G．
∵AC⊥BM（已知），
∴∠HCB=∠GCA=90°（垂直定义）
∵∠HBC+∠BHC=90°，∠AHE+∠EAH=90°（直角三角形两锐角互余）
∵∠BHC=∠AHE（对顶角相等）．
∴∠HBC=∠EAH（等量代换）
在△HBC和△GAC中，
∴△HBC≌△GAC（ASA）.
∴BH=AG（全等三角形对应边相等）.
∵AE⊥BE（已知），
∴∠BEA=∠BEG=90°.
在△BAE和△BGE中，
∴△BAE≌△BGE（ASA）.
∴AE=EG（全等三角形对应边相等）.
∴
【点评】：主要考查三角形全等的判定，寻找三角形全等的条件是解决问题的关键.
【夯实基础】
1.如图，∠1=∠2， ∠3=∠4，下列结论错误的是（ ）
A. △ABC≌△DCB B. △AOB≌△DOC C. △ABD≌△DCA D. △AOD≌△BOC
2. 如图，AE=AD，∠1=∠2，∠E=∠D，结论①BF=CG；②OF=OG；③EF=DG；④AG=GC.其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图，所示某人将一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去.
A.① B.② C.③ D.④
4.如图∠1=∠2=∠3，AB=AD，AE=5，则AC的长度为 .
5.如图FB∥DE，AE=CF，要使△ABF≌△CDE，，（1）若以“SAS”为依据，需添加的条件
是______；（2）若以“ASA”为依据，需添加的条件是______．
6.如图，△ABC的两条高AD ， BE相交于点F ， 请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是________．
7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是AC边上的中线，过点A作AE⊥BD于H，过点C作EC⊥AC，交AE于E，求证：
【提优特训】
8.在， ∠A=43°，∠B=65° ，∠ ， ∠，且，那么这两个三角形（ ）.
A.不一定全等 B.一定全等 C.一定不全等 D.以上都不对
9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，过点D作DE⊥BC于E，且BC=10，则△DEC的周长为（ ）
A.5 B.10 C.15 D.不确定
10.如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC=110°，AB=6，AC=5，MN=2，结论①AP=MP；②BC=9；③∠MAN=35°；④AM=AN.其中不正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图，点A、B、E、D在同一直线上，已知AF∥DC，AF=DC，FE∥CB.求证：.
12.如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明.
13. 如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．（1）求证：DE=BD+CE．（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G （如图②、如图③），其他条件不变，请你探究DE、CE、BD的数量关系．
【中考链接】
14.2018年四川乐山19．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
15．2018广西柳州（6.00分）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．
16.2018莆田19.在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点.过的C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.求证：DB=CF.
17.2018年湖南省怀化19．（10.00分）已知：如图，点A、F、E、C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．求证：△ABE≌△CDF；
参考答案
1.D 2.C 3.D 4.AC=5 5.（1）FB=ED，（2）∠A=∠C. 6.DC=EC或AC=BC或AD=BC.
8.B 9.B 10.C
7.证明：∵∠BAC=90°（已知），
∴∠BAH+∠EAC=90°（直角定义），
∵AE⊥BD（已知），
∴∠AHB=90°（垂直定义），
∴∠ABH+∠BAH=90°（直角三角形两锐角互余）.
∴∠ABH=∠CAE（等量代换）
∵EC⊥AC（已知）
∴∠ACE=90°（垂直定义）
∴∠BAC=∠ACE（等量代换）
在△ABD和△CAE，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD=CE（全等三角形对应边相等）.
∵D为AC的中点（已知），
∴（中点定义）.
∴（等量代换）.
11.证明：∵AF∥DC（已知），
∴ ∠A=∠D（两直线平行内错角相等）.
∵FE∥CB（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行内错角相等）
∵∠F=180－（∠A+∠1），∠C=180－（∠D+∠2）（三角形内角和定理）
∴∠F=∠C（等量代换）
在△AFE和△DCB中，
∴△AFE≌△DCB（ASA）
∴AE=DB（全等三角形对应边相等）.
∴AE－BE=DB－EB（等量减等量差相等）.
即AB=DE.
12.解：（1）你添加的条件是： BD=CD ；
（2）证明：∵CF∥BE（已知），
∴∠EBD=∠FCD（两直线平行内错角相等），
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（ASA）
13.证明：如图①，（1）∵BD⊥MN，CE⊥MN（已知），
∴∠BDA=∠AEC=90°（直角定义）
∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAE+∠ECA=90°（直角三角形两锐角互余）.
∵∠BAC=90°（已知），
∴∠DAB+∠CAE=90°（平角定义）.
∴∠DBA=∠EAC，∠DAB=∠ECA（等式性质）.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA（ASA），
∴BD=AE，AD=CE（全等三角形对应边相等），
DE=AD+AE=BD+CE（等量代换）.
解答：（2）如图②∵BD⊥MN，CE⊥MN（已知），
∴∠BDA=∠AEC=90°（直角定义）
∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAE+∠ECA=90°（直角三角形两锐角互余）.
∵∠BAC=90°（已知），
∴∠DAB+∠CAE=90°.
∴∠DBA=∠EAC，∠DAB=∠ECA（等式性质）.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA（ASA），
∴BD=AE，AD=CE（全等三角形对应边相等），
∴DE=AD－AE= CE －BD（等量代换）.
（2）如图③的证明过程与（2）如图②相同，
DE= AE－AD = BD －CE（等量代换）.
14.【分析】根据ASA证明△ADB≌△ACB，可得结论．
【解答】证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，
∴∠ABD=∠ABC
在△ADB和△ACB中，
∴△ADB≌△ACB（ASA），
∴BD=CD．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．
15.【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断．
【解答】证明：∵在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（ASA）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
16.【考点】全等三角形的判定与性质、平行线的性质．
【专题】三角形
【分析】根据E为CD的中点，得CE=DE，∠AED和∠CEF
是对顶角，CF∥AB，可得∠EDA=∠ECF，利用ASA
证明△ADE≌△FCE，可得AD=FC，因为D为AB的中点，
可得AD=BD即可得出结论．
【解答】证明：∵E为CD的中点，∴CE=DE，
∵∠AED和∠CEF是对顶角，∴∠AED=∠CEF.
∵CF∥AB，
∴∠EDA=∠ECF.
在△EDA和△ECF中，
∴AD=FC
∵D为AB的中点，
∴AD=BD.∴DB=CF.
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，属于简单题型.
17.【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥DC，∴∠A=∠C，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）.
例题1图
例题2图
例题2图
第2题图
第1题图
第4题图
第3题图
第6题图
第5题图
第7题图
第10题图
第9题图
第11题图
第12题图
第13题图③
第13题图②
第13题图①
第15题图
第14题图
第16题图
第17题图
第7题图
第11题图
第12题图
第13题图①
第13题图②
第13题图③
第14题图
第15题图
第16题图
第17题图
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