1.5全等三角形的判定（4）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

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浙江版八年级数学上册第一章1.5全等三角形的判定
第4课时 三角形全等的判定（4）
【知识清单】
一、三角形全等条件的再探索：在和中，每个三角形都有三条边，三个角，共6个元素，边简称（S），角简称（A）；通过探究人们发现用三组对应元素相等，就可以简捷的判定两个三角形全等；因此，6组元素构成如下组合，即：SSS、SAS、SSA、ASA、AAS、AAA，我们已经学习了用SSS、SAS、ASA可以判定两个三角形全等；（1）AAA是指三个角对应相等两个三角形，如
图①在，点D是AB上的点，点E是AC上的点，DE∥BC，则有∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，满足三组角对应相等，但△ADE与△ABC不能全等. （2）SSA是指两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形，如图②△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不能全等.这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. AAS是指两角和其中一条角的对边对应相等的两个三角形，它是真命题，可由ASA定理推出.
二、（1）全等三角形判定4:两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；
（2）注意书写格式：角角边中的边是指其中一个角的对边，在证明过程中边一定不要放在两组对应角的中间.
如图③，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
三、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
四、选择证明三角形全等的方法与技巧（“题目中找，图形中看”）
1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三组条件（直角三角形除外），且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，一定要先寻找相等的边.
2.灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.
（1）已知两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）；②任一组等角的对边相等(AAS).
（2）已知两边对应相等，可找：①夹角相等（SAS）；②第三组边也相等(SSS).
（3）已知一边一角对应相等，可找：①任一组角相等(AAS或ASA) ；②夹等角的另一组边相等(SAS).
五、全等三角形中的基本图形的构造与运用
（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
（2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长中线）
（3）利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）
六、考点证明三角形全等，以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系.
【经典例题】
例题1，求证：全等三角形对应边上的高线相等.
如图，已知≌，、分别是边、上的高，求证：.
【分析】根据≌′，可得，′，再根据，分别是对应边与上的高，，利用AAS求证≌即可.
【证明】：∵≌，
∴，（全等三角形对应边相等、对应角相等）
∵、分别是、的高（已知），
∴（垂直定义）.
在和中，
∴≌（AAS），
∴（全等三角形的对应边相等）
【点评】证明文字叙述的真命题的一般步骤：（1）分清条件和结论；（2）画出图形；（3）根据条件写出已知，根据结论写出求证；（4）证明.
例题2，如图，已知AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，BC与DE相交于点P，求证：射线AP是∠MAN的平分线.
【分析】根据所给的条件AB=AD，AC=AE和公共角∠CAE，可以求得△ABC≌△ADE（SAS），进而得到∠6=∠5，再由∠3=∠4，BE=DC，推出△BPE≌△DPC（AAS），所以EP=CP；再由SSS或SAS定理得出△APE≌△APC，因此∠1=∠2.，射线AP是∠MAN的平分线.
【证明】：在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS）.
∴∠6=∠5（全等三角形对应角相等）.
∵AB=AD，AE=AC（已知），
∴AE－AB=AC－AD（等量减等量差相等）.
即BE=DC.
在△BPE和△DPC中，
∴△BPE≌△DPC（AAS）.
∴EP=CP（全等三角形对应边相等）.
在△APE和△APC中，
∴△APE≌△APC（SSS）.
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）.
∴射线AP是∠MAN的平分线（角平分线定义）.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造.
【夯实基础】
1. 如图，已知点D、E在BC上，∠1=∠2，BE=CD，要判断△ABD≌△ACE，
根据AAS，还需添加的条件是（ ）.
A．∠B=∠C B．AB=AC C．AD=AE D．∠BAD=∠CAE
2. 如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，∠B=∠E，还需添加一个条件才能使
△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是 （ ）
A．∠C=∠F B．AC=DF C．∠A=∠D D．BC=EF
3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠BAC的平分线，已知DC=5，则点D到AB的距离是 ．
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 如图，∠1=∠2，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C、D，则下列结论中错误的是（　　）
A．PD=OD B．PC=PD C．∠DPO=∠CPO D．OD=OC
5.三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点.
6.如图，A、B、C代表三个村庄，AB、AC边的垂直平分线相交于点D，则AD、BD、CD三条线段的大小关系是 .
7. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CF⊥AB于F，
点G为BC的中点，E为AB上的点，GE的延长线与CF的延长线
相交于D，若CE=BE，BC=2AC，则AB=CD．
请说明理由.
【提优特训】
8. 如图，△ABC中BC边上的高为，△DEF中DE边上的高为，若∠1与∠2互补，则下列结论正确的是（　）
A．＞ B．＜ C．= D．无法确定
9.在△ABC中，点P为三条角平分线的交点，AB、BC、AC的长度分别为15、18、9，△APB、
△BPC、△CPA分别为、、，则︰︰= .
10.如图，已知≌，、分别是边和的角平分线，
试说明.
11.如图，在△ABC中，高AD、BE相交于点H，连接CH并延长到G，使CG=AB，CG与AB相交于F，连接AG，若HD=CD，求证：AH = AG.
12.AD是∠MAN的平分线，点P在AD上，点C在AM上，
点B在AN上，AC＞AB，
求证：PC－PB＜AC－AB.
13.如图，已知AB=AE=4，CD=CB+DE=5，∠ABC=∠AED=90°，
求五边形ABCDE的面积.
【中考链接】
14.2018黑龙江龙东地区18．（3.00分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
15. 2018 成都、安顺、巴中如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
16.2018四川巴中招生3.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC 的三条中线的交点 B．△ABC 三边的中垂线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点 D．△ABC 三条高所在直线的交点
17..2018 河北如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，
设∠BPN=α．求证：△APM≌△BPN；
参考答案
1.D 2.B 3.C 4.A 5.C 6.DA=DB=DC 8.C 9.5︰6︰3 14.B 15.D 16.C
7.证明：∵G为BC的中点（已知），
∴CG=BG（中点定义），
∵BC=2AC（已知），
∴AC=CG（等量代换）
在△ECG和△EBG中，
∴△ECG≌△EBG（SSS）.
∴∠EGC=∠EGB（全等三角形对应角相等）.
∵∠EGC+∠EGB=180°（平角定义）
∴∠EGC=∠EGB=90°=∠ACB（等量代换）
∵CF⊥AB（已知），
∵∠DFE=∠EGB=90°（垂直定义），∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠D=∠B（三角形内角和定理）
△ABC和△CDG中，
∴△ABC≌△CDG（AAS）
∴AB=CD（全等三角形对应边相等）．
10.证明：∵≌（已知），
∴，，（全等三角形对应边相等、对应角相等）
∵、分别是边和的角平分线，
∴，（角平分线定义）
（等量代换）.
在和中，
∴≌（ASA），
∴（全等三角形对应边相等）.
11.证明：∵AD、BE是△ABC的高（已知），
∴∠BEC=∠ADC=∠ADB= 90°（垂直定义）.
∴∠2+∠BCA=90°，∠4+∠BCA =90°（直角三角形两锐角互余）.
∴∠2 =∠4（等式的性质）.
△BHD和△ACD中，
∴△BHD≌△ACD（AAS）.
∴BH=CA（全等三角形对应边相等）．
∵H是高AD、BE的交点（已知），
∴CF⊥AB（三角形三条高相交于一点），
∴∠BEA=∠CFA=90°（垂直定义）.
∴∠1+∠BAC=90°，∠3+∠BAC =90°（直角三角形两锐角互余）.
∴∠1 =∠3（等式的性质）.
△ABH和△GCA中，
∴△ABH≌△GCA（SAS）.
∴AH=AG（全等三角形对应边相等）．
12.证明：在AM上截取AE=AB，连接EP，
在△AEP和△ABP中，
∴△AEP≌△ABP（SAS）.
∴PE=PB（全等三角形对应边相等）．
在△EPC中，
∵PC－PE＜EC（三角形三边关系定理）
∴PC－PB＜AC－AE（等量代换）.
即PC－PB＜AC－AB（等量代换）.
13.解：延长DE到F，使EF=BC.
CD=CB+DE=EF+DE=DF=5（等量代换）.
连接AC、AD、AF.
∵∠AED=90°（已知），
∠AEF=90°（平角定义）
∠ABC=∠AEF（等量代换）.
在△ABC和△AEF中，
∴△AEP≌△ABP（SAS）.
∴AC=AF（全等三角形对应边相等）．
在△ACD和△AFD中，
∴△ACD≌△AFD（SSS）.
∴五边形ABCDE的面积
=△ADF的面积×2
=
17.【专题】几何综合题．
【分析】根据AAS证明：△APM≌△BPN；
【解答】证明：∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
∴△APM≌△BPN；
【点评】主要考查了三角形全等的判定.
图②
图①
图③
例题1图
例题2图
第1题图
第2题图
第4题图
第3题图
第6题图
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
第15题图
第16题图
第14题图
第17题图
第7题图
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
第17题图
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