第3章 圆的基本性质单元测试卷（含解析）
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绝密★启用前
第三章圆的基本性质单元测试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
2．如图，AB是直径，，∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A．2cm B．cm C．cm D．1cm
6．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
7．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（ ）
A．（2.8，3.6） B．（﹣2.8，﹣3.6） C．（3.8，2.6） D．（﹣3.8，﹣2.6）
8．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
9．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲） 作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙） 连接、，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC= 度．
13．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，OA=6，则的长为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，
点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是 ．
16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论是 （填序号）
17．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是 ．
18．如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，==，则CM+DM的最小值为 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共6小题，共46分）
19．（6分）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
20．（6分）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE．
22．（8分）已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．
（1）∠E的度数为 ；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
23．（8分）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
24．（10分）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．
参考答案与试题解析
1．解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，
故选：A．
2．解：∵，∠BOC=40°，
∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°，
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=60°．
故选：D．
3．解：设AP=x，则PB=5x，那么⊙O的半径是（x+5x）=3x
∵弦CD⊥AB于点P，CD=10cm
∴PC=PD=CD=×10=5cm
由相交弦定理得CP PD=AP PB
即5×5=x 5x
解得x=或x=﹣（舍去）
故⊙O的半径是3x=3cm，
故选：C．
4．解：∵∠BOD=100°，
∴∠BAD=100°÷2=50°，
∴∠BCD=180°﹣∠BAD
=180°﹣50°
=130°
故选：D．
5．解：∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠1=30°（如图），
∴a=2cos∠1=，
∴a=2．
故选：A．
6．解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA=60°，
∴∠COB=120°，则∠COD=60°．
∴S扇形AOC=；
S扇形BOC=．
在三角形OCD中，∠OCD=30°，
∴OD=，CD=，BC=R，
∴S△OBC=，S弓形==，
＞＞，
∴S2＜S1＜S3．
故选：B．
7．解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，
∵P（1.2，1.4），
∴P1（﹣2.8，﹣3.6），
∵P1与P2关于原点对称，
∴P2（2.8，3.6），
故选：A．
8．解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=8，OD=13，
∴OC=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC==12，
∴AB=2BC=24．
故选：C．
9．解：甲，∵=，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°，
∴、为此圆直径，
∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
10．解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选：B．
11.解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴=，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC=AOC=35°，
故答案为35．
12．解：如图，
连接AE，
∵点D是的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形ADCE是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，
故答案为：100．
13．解：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOC=130°﹣60°=70°，
∴的长==π．
故答案为π．
14．解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=OM=，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE==，
∴CD=2DE=；
故答案为：．
15．解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点，
∵AD=AC，BE=BC，
∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，
∴O是△ABC的内心，
则r=（AC+BC﹣AB）=（AD+BE﹣AB）=DE=3，
∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r=9，
故答案为9．
16．解：设BE，DG交于O，
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BOG=90°，
∴BE⊥DG；故①②正确；
连接BD，EG，如图所示，
∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，
则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③正确．
故答案为：①②③．
17．解：如图，连接CE．
∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，
∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．
又∵OE∥AC，
∴∠ACB=∠COE=90°．
∴在直角△OEC中，OC=2，CE=4，
∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=2
∴S阴影=S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE=﹣π×22﹣×2×2=﹣2，
故答案为：﹣2．
18．解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理，=，
∴=，
∵==，AB为直径，
∴C′D为直径，
∴CM+DM的最小值是16．
故答案是：16．
19．证明：连接OC，
∵=，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE．
20．解：（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB=∠EFA=60°
∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B+∠FDB，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，
∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a，
在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，
∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=2a，
∴CE=AC﹣AE=2a，
∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AB．
21．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
又∵∠ADC=86°，
∴∠ABC=94°，
∴∠CBE=180°﹣94°=86°；
（2）证明：∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
又∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC，
∴AD=BE．
22．解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，
∵OD=OC=CD=2
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°
∴∠DBC=30°
∴∠EBD=30°
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°
∴∠E=90°﹣300=600
∠E的度数为600；
（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．
∵OD=OC=CD=2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EBD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠E=90°﹣30°=60°，
（3）如图3，连结OD，OC，
∵OD=OC=CD=2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ADB=90°，
∴∠BED=60°，
∴∠AEC=60°．
23．解：（1）连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴==，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣30°=60°；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，
∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，
∴DE=，
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×=π﹣．
24．（1）证明：∵CD⊥AB
∴∠CEB=90°
∴∠C+∠B=90°，
同理∠C+∠CNM=90°
∴∠CNM=∠B，
∵∠CNM=∠AND
∴∠AND=∠B，
∵，
∴∠D=∠B，
∴∠AND=∠D，
∴AN=AD；
（2）解：设OE的长为x，连接OA
∵AN=AD，CD⊥AB
∴DE=NE=x+1，
∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，
∴OA=OD=2x+1，
∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，
∴x2+42=（2x+1）2．
解得x=或x=﹣3（不合题意，舍去），
∴OA=2x+1=2×+1=，
即⊙O的半径为．
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第三章圆的基本性质单元测试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
2．如图，AB是直径，，∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A．2cm B．cm C．cm D．1cm
6．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
7．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（ ）
A．（2.8，3.6） B．（﹣2.8，﹣3.6） C．（3.8，2.6） D．（﹣3.8，﹣2.6）
8．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
9．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲） 作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙） 连接、，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC= 度．
13．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，OA=6，则的长为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，
点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是 ．
16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论是 （填序号）
17．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是 ．
18．如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，==，则CM+DM的最小值为 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共6小题，共46分）
19．（6分）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
20．（6分）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE．
22．（8分）已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．
（1）∠E的度数为 ；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
23．（8分）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
24．（10分）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．
参考答案与试题解析
1．解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，
故选：A．
2．解：∵，∠BOC=40°，
∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°，
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=60°．
故选：D．
3．解：设AP=x，则PB=5x，那么⊙O的半径是（x+5x）=3x
∵弦CD⊥AB于点P，CD=10cm
∴PC=PD=CD=×10=5cm
由相交弦定理得CP PD=AP PB
即5×5=x 5x
解得x=或x=﹣（舍去）
故⊙O的半径是3x=3cm，
故选：C．
4．解：∵∠BOD=100°，
∴∠BAD=100°÷2=50°，
∴∠BCD=180°﹣∠BAD
=180°﹣50°
=130°
故选：D．
5．解：∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠1=30°（如图），
∴a=2cos∠1=，
∴a=2．
故选：A．
6．解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA=60°，
∴∠COB=120°，则∠COD=60°．
∴S扇形AOC=；
S扇形BOC=．
在三角形OCD中，∠OCD=30°，
∴OD=，CD=，BC=R，
∴S△OBC=，S弓形==，
＞＞，
∴S2＜S1＜S3．
故选：B．
7．解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，
∵P（1.2，1.4），
∴P1（﹣2.8，﹣3.6），
∵P1与P2关于原点对称，
∴P2（2.8，3.6），
故选：A．
8．解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=8，OD=13，
∴OC=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC==12，
∴AB=2BC=24．
故选：C．
9．解：甲，∵=，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°，
∴、为此圆直径，
∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
10．解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选：B．
11.解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴=，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC=AOC=35°，
故答案为35．
12．解：如图，
连接AE，
∵点D是的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形ADCE是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，
故答案为：100．
13．解：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOC=130°﹣60°=70°，
∴的长==π．
故答案为π．
14．解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=OM=，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE==，
∴CD=2DE=；
故答案为：．
15．解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点，
∵AD=AC，BE=BC，
∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，
∴O是△ABC的内心，
则r=（AC+BC﹣AB）=（AD+BE﹣AB）=DE=3，
∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r=9，
故答案为9．
16．解：设BE，DG交于O，
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BOG=90°，
∴BE⊥DG；故①②正确；
连接BD，EG，如图所示，
∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，
则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③正确．
故答案为：①②③．
17．解：如图，连接CE．
∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，
∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．
又∵OE∥AC，
∴∠ACB=∠COE=90°．
∴在直角△OEC中，OC=2，CE=4，
∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=2
∴S阴影=S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE=﹣π×22﹣×2×2=﹣2，
故答案为：﹣2．
18．解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理，=，
∴=，
∵==，AB为直径，
∴C′D为直径，
∴CM+DM的最小值是16．
故答案是：16．
19．证明：连接OC，
∵=，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE．
20．解：（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB=∠EFA=60°
∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B+∠FDB，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，
∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a，
在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，
∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=2a，
∴CE=AC﹣AE=2a，
∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AB．
21．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
又∵∠ADC=86°，
∴∠ABC=94°，
∴∠CBE=180°﹣94°=86°；
（2）证明：∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
又∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC，
∴AD=BE．
22．解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，
∵OD=OC=CD=2
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°
∴∠DBC=30°
∴∠EBD=30°
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°
∴∠E=90°﹣300=600
∠E的度数为600；
（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．
∵OD=OC=CD=2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EBD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠E=90°﹣30°=60°，
（3）如图3，连结OD，OC，
∵OD=OC=CD=2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ADB=90°，
∴∠BED=60°，
∴∠AEC=60°．
23．解：（1）连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴==，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣30°=60°；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，
∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，
∴DE=，
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×=π﹣．
24．（1）证明：∵CD⊥AB
∴∠CEB=90°
∴∠C+∠B=90°，
同理∠C+∠CNM=90°
∴∠CNM=∠B，
∵∠CNM=∠AND
∴∠AND=∠B，
∵，
∴∠D=∠B，
∴∠AND=∠D，
∴AN=AD；
（2）解：设OE的长为x，连接OA
∵AN=AD，CD⊥AB
∴DE=NE=x+1，
∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，
∴OA=OD=2x+1，
∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，
∴x2+42=（2x+1）2．
解得x=或x=﹣3（不合题意，舍去），
∴OA=2x+1=2×+1=，
即⊙O的半径为．
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