第1章 三角形的初步知识单元测试卷（含解析）

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第一章三角形的初步知识单元测试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
　
第Ⅰ卷（选择题）
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评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．下列说法中，正确的个数是（　　）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（　　）
A．34° B．40° C．42° D．46°
4．如图，AE是△ABC的中线，已知EC=4，DE=2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E=（　　）
A．40° B．36° C．20° D．18°
6．在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，AB=3cm，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm．则△ABC与△DEF（　　）
A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．不确定
7．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．AD=AE B．AD＜AE C．BE=CD D．BE＜CD
8．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（　　）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
9．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
10．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
12．在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°，则∠CED的度数是　 　．
13．如图，把一个三角尺的直角顶点D放置在△ABC内，使它的两条直角边DE，DF分别经过点B，C，如果∠A=30°，则∠ABD+∠ACD=　 　．
14．在学习“用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：*作法：（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
（2）分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；
（3）作射线OC．
则OC就是所求作的射线．
小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC就是∠AOB的平分线．
小华的思路是连接DC、EC，可证△ODC≌△OEC，就能得到∠AOC=∠BOC．其中证明△ODC≌△OEC的理由是　 　．
15．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=5，CD=3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是　 　．
16．如图，在第1个△ABA1中，∠B=40°，∠BAA1=∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2=∠A1 A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3=∠A2 A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　 　； 第n个三角形中以An为顶点的内角的度数为　 　．
　
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，共46分）
17．（6分）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
18．（6分）如图，△ABC中，∠C=70°，AD、BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，
（1）求∠D的度数；
（2）若去掉∠C=70°这个条件，试写出∠C与∠D之间的数量关系．
19．（6分）如图，已知点B，C，D，E 在同一直线上，且AB=AE，AC=AD，BD=CE．
求证：△ABC≌△AED．
20．（6分）已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB，交CD于E，EF∥BC交AB于F，G为BC上一点，连接FG．
（1）求证：△AEC≌△AEF；
（2）若∠EFG=∠AEC，求证：FG∥AE．
21．（7分）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明．①AB=AC，②DE=DF，③BE=CF，
已知：EG∥AF，（　　）=（　　），（　　）=（　　）
22．（7分）如图，求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．
23．（8分）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
　
参考答案与试题解析
　
1．解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故选：A．
2．解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故选：A．
3．解：设∠GBC=x，∠DCB=y，
在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，
在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，
解得：①+②：3x+3y=138°，
∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，
故选：C．
4．解：∵AE是△ABC的中线，EC=4，
∴BE=EC=4，
∵DE=2，
∴BD=BE﹣DE=4﹣2=2．
故选：A．
5．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC=40°，∠ACD=76°，
∴∠ACD﹣∠ABC=36°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD=∠EBC+∠E，
∴∠E=∠ECD﹣∠EBC=∠ACD﹣∠ABC=18°．
故选：D．
6．解：∵在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm，AB=3cm
若是AB=DE，则可以推出两三角形全等
此处是EF与AB相等，设DE=3，则DE=EF，则∠D=∠E
显然与已知相违背，所以此假设不成立
所以两三角形一定不全等．故选C．
7．解：∵∠C＜∠B，
∴AB＜AC，
∵AB=BD AC=EC
∴BE+ED＜ED+CD，
∴BE＜CD．
故选：D．
8．解：∵DG是AB的垂直平分线，
∴GA=GB，
∵△AGC的周长为31cm，
∴AG+GC+AC=BC+AC=31cm，又AB=20cm，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=51cm，
故选：C．
9．解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
10．解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=∠ACD，∠DBE=∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE﹣∠DBE，
=（∠ACD﹣∠ABC）
=∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC=ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠1）
=90°+∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACB，∠ACE=ACD，
∴∠OCE=（∠ACB+∠ACD）=×180°=90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；
故选：C．
11．解：分情况讨论：
①当三边是2，2，5时，2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；
②当三角形的三边是2，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是12．
故填12．
12．解：∵∠ABC=100°，∠CBD=20°，
∴∠DBA=80°，
∴∠PBA=80°，
∴∠DBA=∠PBA，
∴BA是△CBD的外角平分线，
如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，
∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB，
∴EF=EH，
同理，EG=EH，
∴EF=EG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BD，
∴DE平分∠BDA，
∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，CE平分∠ACB，
∴∠ADB=40°，∠DCE=10°，
∴∠ADE=∠ADB=20°，
∴∠CED=∠ADE﹣∠DCE=10°．
故答案为：10°．
13．解：∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠DBA+∠DCA=150°﹣90°=60°．
故答案为：60°．
14．解：由作法可知：CD=CE，OD=OE，
又∵OC=OC，
∴根据SSS可推出△OCD和△OCE全等，
故答案为：SSS
15．解：①点Q在AB边上时，
∵AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=5，CD=3，
∴S△ABD=BD AD=×5×5=，∠B=45°
∵PQ⊥BC，
∴BP=PQ，
设BP=x，则PQ=x，
∵CD=3，
∴S△DCQ=×3x=x，
S△AQD=S△ABD﹣S△BQD=﹣×5×x=﹣x，
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴x=﹣x，
解得：x=，
②如图，
当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，
∵AD⊥BC，垂足为D，
∴Q'P'∥AD
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴AQ'=CQ'
∴DP'=CP'=CD=1.5
∵AD=BD=5，
∴BP'=BD+DP'=6.5，
综上所述，线段BP的长度是或6.5．
故答案为或6.5．
16．解：∵在△ABA1中，∠B=40°，AB=A1B，
∴∠BA1A=（180°﹣∠B）=（180°﹣40°）=70°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1=∠BA1A=×70°=35°；
同理可得，∠DA3A2=×70°=17.5°，∠EA4A3=×70°，
以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数=．
故答案为；17.5°，．
17．解：（1）如图，作AB的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求；
（2）如图，①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，③作EC的垂直平分线交BC于点F；
∴Rt△DEF即为所求．
18．解：（1）∵∠C=70°，
∴∠CAB+∠CBA=180°﹣70°=110°，
∴∠EAB+∠FBA=360°﹣110°=250°，
∵AD、BD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAB+∠DBA=（∠EAB+∠FBA）=125°，
∴∠D=180°﹣125°=55°；
（2）由题意可得，
∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C，
∴∠EAB+∠FBA=360°﹣（∠CAB+∠CBA），
=360°﹣（180°﹣∠C），
=180°+∠C，
∵AD、BD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAB+∠DBA=（∠EAB+∠FBA），
=（180°+∠C），
=90°+∠C，
∴∠D=180°﹣（90°+∠C），
=90°﹣∠C．
19．证明：
∵BD=CE，
∴BD﹣CD=CE﹣CD，即BC=ED，
在△ABC和△AED中
∴△ABC≌△AED（SSS）．
20．（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠B，
∴∠ACE=∠AFE，
∵∠EAC=∠EAF，AE=AE，
∴△AEC≌△AEF．
（2）∵△AEC≌△AEF．
∴∠AEC=∠AEF，
∵∠AEC=∠EFG，
∴∠AEF=∠EFG，
∴AE∥FG．
21．解：可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；
证明：∵EG∥AF，
∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA．
∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA（等边对等角），
∵∠BGE=∠BCA（已证），
∴∠B=∠BGE（等量代换）．
∴BE=EG．
在△DEG和△DFC中
∵∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，
∴△DEG≌△DFC．
∴EG=CF．
∵EG=BE，
∴BE=CF．
若选①AB=AC，③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF．
22．解：如图所示：点P即为所求．
23．证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
（3）延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
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